《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第十一篇 計數(shù)原理 第1講　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第十一篇 計數(shù)原理 第1講　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理教案 理 新人教版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理 【2020年高考會這樣考】 考查分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的應用． 【復習指導】 復習時要弄清分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系，這是解排列組合問題的基礎．　　 基礎梳理 1．分類加法計數(shù)原理 完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，則完成這件事情共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法． 2．分步乘法計數(shù)原理 完成一件事情需要分成n個不同的步驟，完成第一步有m1種不同的方法，完成第二步有m2種不同的方法，……，完

2、成第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事情共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法． 兩個原理 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理是解決排列組合問題的基礎并貫穿始終．分類加法計數(shù)原理中，完成一件事的方法屬于其中一類并且只屬于其中一類，簡單的說分類的標準是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法計數(shù)原理中，各個步驟相互依存，在各個步驟中任取一種方法，即是完成這件事的一種方法，簡單的說步與步之間的方法“相互獨立，多步完成”． 類比加法與乘法的關系，在特定的情況下分步乘法計數(shù)原理可簡化運用分類加法計數(shù)原理的過程． 雙基自測 1．(人教A版教材習題改編)由0,1,2,3這四個數(shù)字組成的四位

3、數(shù)中，有重復數(shù)字的四位數(shù)共有(　　)． A．238個 B．232個 C．174個 D．168個 解析　可用排除法由0,1,2,3可組成的四位數(shù)共有3×43＝192(個)，其中無重復的數(shù)字的四位數(shù)共有3A＝18(個)，故共有192－18＝174(個)． 答案　C 2．(2020·廣州模擬)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．現(xiàn)在從這三個集合中取出兩個集合，再從這兩個集合中各取出一個元素，組成一個含有兩個元素的集合，則一共可以組成多少個集合(　　)． A．24個 B．36個 C．26個 D

4、．27個 解析　CC＋CC＋CC＝26，故選C. 答案　C 3．(2020·濱州調研)甲、乙兩人從4門課程中各選修2門，則甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法有(　　)． A．6種 B．12種 C．24種 D．30種 解析　分步完成．首先甲、乙兩人從4門課程中同選1門，有4種方法，其次甲從剩下的3門課程中任選1門，有3種方法，最后乙從剩下的2門課程中任選1門，有2種方法，于是，甲、乙所選的課程中恰有1門相同的選法共有4×3×2＝24(種)，故選C. 答案　C 4．(2020·湖南)在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復)表示一個信

5、息，不同排列表示不同信息．若所用數(shù)字只有0和1，則與信息0110至多有兩個對應位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為(　　)． A．10 B．11 C．12 D．15 解析　若4個位置的數(shù)字都不同的信息個數(shù)為1；若恰有3個位置的數(shù)字不同的信息個數(shù)為C；若恰有2個位置上的數(shù)字不同的信息個數(shù)為C，由分類計數(shù)原理知滿足條件的信息個數(shù)為1＋C＋C＝11. 答案　B 5．某電子元件是由3個電阻組成的回路，其中有4個焊點A、B、C、D，若某個焊點脫落，整個電路就不通，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了，那么焊點脫落的可能情況共有________種． 解析　法一　當線路不通時焊點

6、脫落的可能情況共有2×2×2×2－1＝15(種)． 法二　恰有i個焊點脫落的可能情況為C(i＝1,2,3,4)種，由分類計數(shù)原理，當電路不通時焊點脫落的可能情況共C＋C＋C＋C＝15(種)． 答案　15　　 考向一　分類加法計數(shù)原理 【例1】?(2020·全國)某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友一本，則不同的贈送方法共有(　　)． A．4種 B．10種 C．18種 D．20種 [審題視點] 由于是兩類不同的書本，故用分類加法計數(shù)原理． 解析　贈送一本畫冊，3本集郵冊，共4種方法；贈送2本畫冊，2本集郵

7、冊共C種方法，由分類計數(shù)原理知不同的贈送方法共4＋C＝10(種)． 答案　B 分類時，首先要確定一個恰當?shù)姆诸悩藴?，然后進行分類；其次分類時要注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，只有滿足這些條件，才可以用分類加法計數(shù)原理． 【訓練1】 如圖所示，在連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個． 解析　把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類： 第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個)； 第二類，有兩條公共邊的三角形共有8(個)． 由分類加法計數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個)

8、． 答案　40 考向二　分步乘法計數(shù)原理 【例2】?(2020·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(用數(shù)字作答)． [審題視點] 組成這個四位數(shù)須分4步完成，故用分步乘法計數(shù)原理． 解析　法一　用2,3組成四位數(shù)共有2×2×2×2＝16(個)，其中不出現(xiàn)2或不出現(xiàn)3的共2個，因此滿足條件的四位數(shù)共有16－2＝14(個)． 法二　滿足條件的四位數(shù)可分為三類：第一類含有一個2，三個3，共有4個；第二類含有三個2，一個3共有4個；第三類含有二個2，二個3共有C＝6(個)，因此滿足條件的四位數(shù)共有2×4＋C＝14(個)． 答案　1

9、4 此類問題，首先將完成這件事的過程分步，然后再找出每一步中的方法有多少種，求其積．注意：各步之間相互聯(lián)系，依次都完成后，才能做完這件事．簡單說使用分步計數(shù)原理的原則是步與步之間的方法“相互獨立，逐步完成”． 【訓練2】 由數(shù)字1,2,3,4， (1)可組成多少個3位數(shù)； (2)可組成多少個沒有重復數(shù)字的3位數(shù)； (3)可組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)，且百位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于個位數(shù)字． 解　(1)百位數(shù)共有4種排法；十位數(shù)共有4種排法；個位數(shù)共有4種排法，根據(jù)分步計數(shù)原理共可組成43＝64個3位數(shù)． (2)百位上共有4種排法；十位上共有3種排法；個位上共有2種排法

10、，由分步計數(shù)原理共可排成沒有重復數(shù)字的3位數(shù)4×3×2＝24(個)． (3)排出的三位數(shù)分別是432、431、421、321，共4個． 考向三　涂色問題 【例3】? 如圖，用5種不同的顏色給圖中A、B、C、D四個區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，求有多少種不同的涂色方法？ [審題視點] 根據(jù)乘法原理逐塊涂色，要注意在不相鄰的區(qū)域內(nèi)可使用同一種顏色． 解　法一　如題圖分四個步驟來完成涂色這件事： 涂A有5種涂法；涂B有4種方法；涂C有3種方法；涂D有3種方法(還可以使用涂A的顏色)． 根據(jù)分步計數(shù)原理共有5×4×3×3＝180種涂色方法．

11、法二　由于A、B、C兩兩相鄰，因此三個區(qū)域的顏色互不相同，共有A＝60種涂法；又D與B、C相鄰、因此D有3種涂法；由分步計數(shù)原理知共有60×3＝180種涂法． 涂色問題的實質是分類與分步，一般是整體分步，分步過程中若出現(xiàn)某一步需分情況說明時還要進行分類．涂色問題通常沒有固定的方法可循，只能按照題目的實際情況，結合兩個基本原理和排列組合的知識靈活處理． 【訓練3】 如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的染色方法種數(shù)． 解　法一　可分為兩大步進行，先將四棱錐一側面三頂點染色，然后再分類考慮另外兩頂點的染色數(shù)，用分步乘

12、法原理即可得出結論．由題設，四棱錐S -ABCD的頂點S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有5×4×3＝60種染色方法． 當S、A、B染好時，不妨設其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染3或4，有2種染法．可見，當S、A、B已染好時，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有60×7＝420(種)． 法二　以S、A、B、C、D順序分步染色 第一步，S點染色，有5種方法； 第二步，A點染色，與S在同一條棱上，有4種方法； 第三步，B點染色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法； 第四步，C點染色，也有3種

13、方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種染色方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種染色方法，D點也有2種染色方法．由分步乘法、分類加法計數(shù)原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種)． 法三　按所用顏色種數(shù)分類 第一類，5種顏色全用，共有A種不同的方法； 第二類，只用4種顏色，則必有某兩個頂點同色(A與C，或B與D)，共有2×A種不同的方法； 第三類，只用3種顏色，則A與C、B與D必定同色，共有A種不同的方法． 由分類加法計數(shù)原理，得不同的染色方法總數(shù)為A＋2×A＋A＝420(種)．

14、　　 規(guī)范解答20——如何解決涂色問題 【問題研究】 涂色問題是由兩個基本原理和排列組合知識的綜合運用所產(chǎn)生的一類問題，這類問題是計數(shù)原理應用的典型問題，由于涂色本身就是策略的一個運用過程，能較好地考查考生的思維連貫性與敏捷性，加之涂色問題的趣味性，自然成為新課標高考的命題熱點. 【解決方案】 涂色問題的關鍵是顏色的數(shù)目和在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以使用同一種顏色，具體操作法和按照顏色的數(shù)目進行分類法是解決這類問題的首選方法. 【示例】? (本小題滿分12分)用紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在“田”字形的4個小方格內(nèi)，每格涂一種顏色，相鄰兩格涂不同的顏色，如果顏色可以反復使用，共有多少種不同

15、的涂色方法？ 顏色可以反復使用，即說明在不相鄰的小方格內(nèi)可以使用同一種顏色，首先確定第一個小方格的涂法，再考慮其相鄰的兩個小方格的涂法． 1 2 3 4 [解答示范] 如圖所示，將4個小方格依次編號為1,2,3,4，第1個小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上，有5種不同的涂法．(2分) ①當?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時，有A＝12種不同的涂法，第4個小方格有3種不同的涂法．由分步計數(shù)原理可知，有5×12×3＝180種不同的涂法；(6分) ②當?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時，有4種涂法，由于相鄰西格不同色，因此，第4個小方格也有4種不同的涂法，由分步計數(shù)原理可知．有

16、5×4×4＝80種不同的涂法．(10分) 由分類加法計數(shù)原理可得，共有180＋80＝260種不同的涂法．(12分) 在涂色問題中一定要看顏色是否可以重復使用，不允許重復使用的涂色問題實際上就是一般的排列問題，當顏色允許重復使用時，要充分利用兩個計數(shù)原理分析解決問題． 【試一試】 (2020·湖北)給n個自上而下相連的正方形著黑色或白色．當n≤4時，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相鄰的著色方案如下圖所示： 由此推斷，當n＝6時，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有__________種，至少有兩個黑色正方形相鄰的著色方案共有________種．(結果用數(shù)值表示) [嘗試解答]　(1)當n＝6時，如果沒有黑色正方形有1種方案，當有1個黑色正方形時，有6種方案，當有兩個黑色正方形時，采用插空法，即兩個黑色正方形插入四個白色正方形形成的5個空內(nèi)，有C＝10種方案，當有三個黑色正方形時，同上方法有C＝4種方案，由圖可知不可能有4個，5個，6個黑色正方形，綜上可知共有21種方案．(2)將6個正方形空格涂有黑白兩種顏色，每個空格都有兩種方案，由分步計數(shù)原理一共有26種方案，本問所求事件為(1)的對立事件，故至少有兩個黑色正方形相鄰的方案有26－21＝43(種)． 答案　21　43