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江蘇省江陰市山觀高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)》冪函數(shù)期末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版必修1

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江蘇省江陰市山觀高級中學(xué)高中數(shù)學(xué) 第三章《指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)》冪函數(shù)期末復(fù)習(xí)學(xué)案 蘇教版必修1_第1頁
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1、冪函數(shù)期末復(fù)習(xí)學(xué)案 導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的圖象,了解它們的單調(diào)性和奇偶性. 自主梳理 1.冪函數(shù)的概念 形如________的函數(shù)叫做冪函數(shù),其中____是自變量,____是常數(shù). 2.冪函數(shù)的性質(zhì) (1)五種常見冪函數(shù)的性質(zhì),列表如下: 定義域 值域 奇偶性 單調(diào)性 過定點 y=x R R 奇  (1,1) y=x2 R [0,+∞) 偶 [0,+∞) (-∞,0] y=x3 R R 奇  Y=x [0,+∞) [0,+∞) 非奇 非偶 [0,+∞

2、) Y=x-1 (-∞,0) ∪(0,+∞) (-∞,0) ∪(0,+∞) 奇 (-∞,0) (0,+∞) (2)所有冪函數(shù)在________上都有定義,并且圖象都過點(1,1),且在第____象限無圖象. (3)α>0時,冪函數(shù)的圖象通過點____________,并且在區(qū)間(0,+∞)上是________,α<0時,冪函數(shù)在(0,+∞)上是減函數(shù),圖象______原點. 自我檢測 1.如圖中曲線是冪函數(shù)y=xn在第一象限的圖象.已知n取±2,±四個值,則相應(yīng)于曲線C1,C2,C3,C4的n值依次為________________. 2.已知函數(shù):①y=2x;②

3、y=log2x;③y=x-1;④y=x.則下列函數(shù)圖象(在第一象限部分)從左到右依次與函數(shù)序號的正確對應(yīng)順序是_____________________________________. 3.設(shè)α∈{-1,1,,3},則使函數(shù)y=xα的定義域為R且為奇函數(shù)的所有α值為________. 4.與函數(shù)y=的圖象形狀一樣的是________(填序號). ①y=2x;②y=log2x;③y=;④y=x+1. 5.已知點(,3)在冪函數(shù)f(x)的圖象上,則f(x)的表達(dá)式是____________. 探究點一 冪函數(shù)的定義與圖象 例1 已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(,2),冪函數(shù)g(

4、x)的圖象過點(2,). (1)求f(x),g(x)的解析式; (2)求當(dāng)x為何值時:①f(x)>g(x);②f(x)=g(x);③f(x)

5、_____0.40.3. (2)已知(0.71.3)m<(1.30.7)m,則m的取值范圍為_____________________________. 探究點三 冪函數(shù)的綜合應(yīng)用 例3 (2020·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)=xm2-2m-3(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對稱,且在(0,+∞)上是減函數(shù),求滿足(a+1)-<(3-2a)-的a的范圍. 變式遷移3 已知冪函數(shù)f(x)=(m∈N*). (1)試確定該函數(shù)的定義域,并指明該函數(shù)在其定義域上的單調(diào)性; (2)若該函數(shù)還經(jīng)過點(2,),試確定m的值,并求滿足條件f(2-a)>f(a-1)的實數(shù)a的取值范圍

6、. 課堂小結(jié): 1.冪函數(shù)y=xα(α∈R),其中α為常數(shù),其本質(zhì)特征是以冪的底x為自變量,指數(shù)α為常數(shù),這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標(biāo)準(zhǔn). 2.在(0,1)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”),在(1,+∞)上,冪函數(shù)中指數(shù)越大,函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離x軸.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi),一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi),至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi),要看函數(shù)的奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交,則交點一定是原點. (滿分:90分) 一、填空題(每小題6分,共48分) 1.若函數(shù)f(x)

7、是冪函數(shù),且滿足=3,則f()的值為________. 2.已知n∈{-1,0,1,2,3},若(-)n>(-)n,則n=________. 3.下列函數(shù)圖象中,正確的序號有________. 4.(2020·安徽改編)設(shè)a=,b=,c=,則a,b,c的大小關(guān)系為____________. 5.下列命題中正確的是________(填序號). ①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(1,1)和點(0,0); ②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限; ③當(dāng)n=0時,函數(shù)y=xn的圖象是一條直線; ④冪函數(shù)y=xn當(dāng)n>0時是增函數(shù); ⑤冪函數(shù)y=xn當(dāng)n<0時在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小

8、. 6.(2020·徐州模擬)若冪函數(shù)y=的圖象不經(jīng)過原點,則實數(shù)m的值為________. 7.已知a=xα,b=,c=,x∈(0,1),α∈(0,1),則a,b,c的大小順序是______________. 8.已知函數(shù)f(x)=xα(0<α<1),對于下列命題:①若x>1,則f(x)>1;②若00時,若f(x1)>f(x2),則x1>x2;④若0

9、達(dá)式是冪函數(shù),且經(jīng)過點(,).求函數(shù)在[2k-1,2k+1)(k∈Z)上的表達(dá)式. 10.(14分)已知f(x)=(n=2k,k∈Z)的圖象在[0,+∞)上單調(diào)遞增,解不等式f(x2-x)>f(x+3). 11.(14分)(2020·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=(k∈Z)滿足f(2)0,使函數(shù)g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在區(qū)間[-1,2]上的值域為[-4,]?若存在,求出q;若不存在,請說明理由. 答案 自主

10、梳理 1.y=xα x α 2.(2)(0,+∞) 四 (3)(0,0),(1,1) 增函數(shù) 不過 自我檢測 1.2,,-,-2 解析 方法一 由冪函數(shù)的圖象與性質(zhì),n<0時不過原點,故C3,C4對應(yīng)的n值均為負(fù),C1,C2對應(yīng)的n值均為正; 由增(減)快慢知n(c1)>n(c2)>n(c3)>n(c4). 故C1,C2,C3,C4的n值依次為2,,-,-2. 方法二 作直線x=2分別交C1,C2,C3,C4于點A1,A2,A3,A4,則其對應(yīng)點的縱坐標(biāo)顯然為,2-2,故n值分別為2,,-,-2. 2.④③①② 解析 第一個圖象過點(0,0),與④對應(yīng);第二個圖象為反比例函數(shù)

11、圖象,表達(dá)式為y=,③y=x-1恰好符合,∴第二個圖象對應(yīng)③; 第三個圖象為指數(shù)函數(shù)圖象,表達(dá)式為y=ax,且a>1,①y=2x恰好符合,∴第三個圖象對應(yīng)①; 第四個圖象為對數(shù)函數(shù)圖象,表達(dá)式為y=logax,且a>1,②y=log2x恰好符合,∴第四個圖象對應(yīng)②. ∴四個函數(shù)圖象與函數(shù)序號的對應(yīng)順序為④③①②. 3.1,3 4.③ 5.f(x)=x-3 課堂活動區(qū) 例1 解 (1)設(shè)f(x)=xα, ∵圖象過點(,2),故2=()α, 解得α=2,∴f(x)=x2. 設(shè)g(x)=xβ,∵圖象過點(2,), ∴=2β,解得β=-2. ∴g(x)=x-2. (2)在同

12、一坐標(biāo)系下作出f(x)=x2與g(x)=x-2的圖象,如圖所示. 由圖象可知,f(x),g(x)的圖象均過點(-1,1)和(1,1). ∴①當(dāng)x>1,或x<-1時, f(x)>g(x); ②當(dāng)x=1,或x=-1時,f(x)=g(x); ③當(dāng)-1

13、,還是指數(shù)相同,若底數(shù)相同,利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì);若指數(shù)相同,利用冪函數(shù)的性質(zhì);若底數(shù)、指數(shù)皆不相同,考慮用中間值法,常用0和1“搭橋”進(jìn)行分組. 解 (1)函數(shù)y=3x是增函數(shù),∴30.8>30.7. (2)函數(shù)y=x3是增函數(shù),∴0.213<0.233. (3)∵, ∴. (4)=1;0<=1; <0,∴ <. 變式遷移2 (1)①0 解析 根據(jù)冪函數(shù)y=x1.3的圖象, 當(dāng)01時,y>1,∴1.30.7>1. 于是有0.71.3<1.30.7. 對于冪函數(shù)

14、y=xm,由(0.71.3)m<(1.30.7)m知,當(dāng)x>0時,隨著x的增大,函數(shù)值也增大,∴m>0. 例3 解 ∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上遞減, ∴m2-2m-3<0,解得-13-2a>0, 或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3-2a, 解得a<-1或

15、)m2+m=m(m+1),m∈N*, 而m與m+1中必有一個為偶數(shù), ∴m(m+1)為偶數(shù). ∴函數(shù)f(x)=x(m2+m)-1(m∈N*)的定義域為[0,+∞),并且在定義域上為增函數(shù). (2)∵函數(shù)f(x)經(jīng)過點(2,), ∴=2(m2+m)-1,即2=2(m2+m)-1. ∴m2+m=2. 解得m=1或m=-2.又∵m∈N*,∴m=1. 由f(2-a)>f(a-1)得 解得1≤a<.∴a的取值范圍為[1,). 課后練習(xí)區(qū) 1. 解析 依題意設(shè)f(x)=xα(α∈R), 則有=3,即2α=3,得α=log23, 則f(x)=,于是f()===. 2.-1或2

16、 解析 可以逐一進(jìn)行檢驗,也可利用冪函數(shù)的單調(diào)性求解. 3.③ 解析 對①、②,由y=x+a知a>1,可知①、②圖象不正確; ③④中由y=x+a知0c>b 解析 ∵y=在x∈(0,+∞)上單調(diào)遞增, ∴,即a>c, ∵y=()x在x∈(-∞,+∞)上單調(diào)遞減, ∴,即c>b,∴a>c>b. 5.②⑤ 6.1或2 解析 由解得m=1或2. 經(jīng)檢驗m=1或2都適合. 7.cα>. 又∵x∈(0,1),∴x

17、xα(0<α<1)在第一象限內(nèi)的圖象,如圖所示, 可判定①②③正確, 又表示圖象上的點與原點連線的斜率, 當(dāng)0, 故④錯. 9.解 設(shè)在[-1,1)中,f(x)=xn, 由點(,)在函數(shù)圖象上,求得n=3.…………………………………………………(5分) 令x∈[2k-1,2k+1),則x-2k∈[-1,1), ∴f(x-2k)=(x-2k)3.……………………………………………………………………(10分) 又f(x)周期為2,∴f(x)=f(x-2k)=(x-2k)3. 即f(x)=(x-2k)3(k∈Z).………………………………………………………

18、………(14分) 10.解 由條件知>0, -n2+2n+3>0,解得-1f(x+3)轉(zhuǎn)化為x2-x>x+3. 解得x<-1或x>3. ∴原不等式的解集為(-∞,-1)∪(3,+∞).………………………………………(14分) 11.解 (1)∵f(2)0,解得-1

19、 又∵k∈Z,∴k=0或k=1. 當(dāng)k=0或k=1時,-k2+k+2=2, ∴f(x)=x2.…………………………………………………………………………………(6分) (2)假設(shè)存在q>0滿足題設(shè),由(1)知 g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2]. ∵g(2)=-1,∴兩個最值點只能在端點(-1,g(-1))和頂點(,)處取得. ……………………………………………………………………………………………(8分) 而-g(-1)=-(2-3q)=≥0, ∴g(x)max==,………………………………………………………………(12分) g(x)min=g(-1)=2-3q=-4. 解得q=2.∴存在q=2滿足題意.……………………………………………………(14分)

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