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河南省衛(wèi)輝一中2020屆高三數(shù)學(xué)二輪 備考抓分點透析專題11 高考中填空題的解題方法與技巧 理

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1、2020屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習 專題十一 高考中填空題的解題方法與技巧 【重點知識回顧】 填空題是將一個數(shù)學(xué)真命題,寫成其中缺少一些語句的不完整形式,要求學(xué)生在指定的空位上,將缺少的語句填寫清楚·準確 。它是一個不完整的陳述句形式,填寫的可以是一個詞語·數(shù)字·符號·數(shù)學(xué)語句等。 填空題的主要作用是考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能及思維能力和分析問題、解決問題的能力,填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準確、形式規(guī)范、表達式(數(shù))最簡,結(jié)果稍有毛病,便得零分. 填空題的基本特點: 1.方法靈活,答案唯一; 2.答案簡短,具體明確. 學(xué)生在解答填空題時注意以下幾點; 1.對于

2、計算型填空題要運算到底,結(jié)果要規(guī)范; 2.填空題所填結(jié)果要完整,不可缺少一些限制條件; 3.填空題所填結(jié)論要符合高中數(shù)學(xué)教材要求; 4.解答填空題平均每小題3分鐘,解題時間應(yīng)控制在12分鐘左右. 總之,解填空題的基本原則是“小題小做”,要“準”、“活”、“靈”、“快”. 【典型例題】 (一)直接法 直接法求解就是從題設(shè)條件出發(fā),運用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識,通過變形、推理、計算等,得出正確的結(jié)論. 例1、不等式的解集是: 【解析】當時,原不等式等價于, ∴,此時應(yīng)有:; 當時,原不等式等價于, ∴,此時應(yīng)有:; ∴

3、不等式的解集是:. 例2、在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的前n項和Sn的最小值為: 【解析】設(shè)公差為d,則, ∴,∴數(shù)列為遞增數(shù)列, 令,∴,∴, ∵,∴,∴前6項和均為負值, ∴Sn的最小值為. 【題后反思】 由于填空題不需要解題材過程,因此可以透過現(xiàn)象看本質(zhì),自覺地、有意識地采用靈活、簡潔的解法,省去某些步驟,大跨度前進,也可配合心算、速算、力求快速,辟免“小題大做”. (二)特殊值法 當填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個定值時,我們只需把題材中的參變量用特殊值代替之,即可得到結(jié)論. 例3、函數(shù)在(0,2)上是一增函數(shù),函數(shù)是偶函數(shù),則的大小關(guān)系為:

4、 (用“<”號連接) 【解析】取,則, 例4、橢圓的焦點為,點P為其上的動點,當為鈍角時,點P橫坐標的取值范圍是: 【解析】設(shè)P(x,y),則當時,點P的軌跡方程為,由此可得點P的橫坐標,又當點P在x軸上時,;點P在y軸上時,為鈍角,由此可得點P橫坐標的取值范圍是:. 【題后反思】 特殊值法一般可取特殊值、特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、圖形的特殊位置、特殊性點、特殊方程、特殊模型等. (三)數(shù)形結(jié)合法 x y -1 1 根據(jù)題目條件,畫出符合題意的圖形,以形助數(shù),通過對圖形的直觀分析、判斷,往往可以簡捷地得出正確的結(jié)果

5、,它既是方法,也是技巧,更是基本的數(shù)學(xué)思想. 例5、已知直線與函數(shù)的圖像有兩個 不同的交點,則實數(shù)m的取值范圍是: . 【解析】∵函數(shù)的圖像如圖所示, ∴由圖可知:. …. …… ……… ……… ……… … … x y A(1,2) (-3,1) -2 -1 -2 a+2b+1=0 a+b+1=0 例6、設(shè)函數(shù),若當時,可取得極大值;當時,可取得極小值,則的取值范圍是: 【解析】,由條件知,的一個 根在(0,1)上,另一個根在(1,2)上, ∴,即 如圖所示,在平面直角坐標系xOy中作出上述區(qū)域,得點P(a

6、,b)在圖中的陰影區(qū)域內(nèi),而的幾何意義是過兩點P(a,b)與A(1,2)的直線的斜率,易知. 【題后反思】 數(shù)形結(jié)合法,常用的有Venn圖,三角函數(shù)線,函數(shù)圖像及方程的曲線等,另一面,有些圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系,如直線垂直可轉(zhuǎn)化為斜率關(guān)系或向量積等. (四)等價轉(zhuǎn)化法 通過“化復(fù)雜為簡單,化陌生為熟悉”將問題等價轉(zhuǎn)化為便于解決的問題,從而等到正確的結(jié)果. 例7、若不論k為何實數(shù),直線與圓恒有交點,則實數(shù)a的取值范圍是: 【解析】題設(shè)條件等價于直線上的定點(0,1)在圓內(nèi)或圓上,或等價于點(0,1)到圓心(a,0)的距離小于或等到于圓的半徑,所以 例8、計算

7、 【解析】分別求這兩個二重根式的值顯然不是那么容易,不妨從整體考慮,通過解方程求之. 設(shè),兩邊同時立方得:,即:, ∵,∴,即2,因此應(yīng)填2. 【題后反思】 在研究解決數(shù)學(xué)問題時,常采用轉(zhuǎn)化的手段將問題向有利于解答的方面轉(zhuǎn)化,從而使問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、規(guī)范的、甚至模式的問題,把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題. (五)構(gòu)造法 根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式,并借助于它來認識和解決問題. 例9、如果,那么角的取值范圍是: . 【解析】設(shè)函數(shù),則,所以是增函數(shù),由題設(shè),得出,得,所以. A B C D C1 A1 B1 D1 P

8、 R Q Q/ R/ P/ 例10、P是正方體ABCD—A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1內(nèi)任意一點,AP與三條棱AA1,AB1,AD的夾角分別為,則 【解析】如上圖,過P作平面PQQ/P/,使它們分別與平面B1C1CB 和平面C1D1DC平行,則構(gòu)造一個長方體AQ/P/R/—A1QPR,故 . 【題后反思】 凡解題時需要根據(jù)題目的具體情況來設(shè)計新模式的的問題,通常要用構(gòu)造法解決. (六)分析法 根據(jù)題設(shè)條件的特征進行觀察、分析、從而得出正確的結(jié)論. 例11、以雙曲線的左焦點F和左準線為相應(yīng)的焦點和準線的橢圓截直線,所得的弦恰好被x軸平分,則k的

9、取值范圍是: . 【解析】雙曲線的左焦點為F(-2,0),左準線為,因為橢圓截直線所得的弦恰好被x軸平分,故根據(jù)橢圓的對稱性,知橢圓的中心即為直線與x軸的交點(),故,得. 例12、(2020福建)某射手射擊1次,擊中目標的概率為0.9,他連續(xù)射擊4次,且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響,有下列結(jié)論: ①他第3次擊中目標的概率是0.9;②他恰好擊中目標3次的概率是;③他至少擊中目標1次的概率是. 【解析】①第3次擊中目標意味著1、2、4次可擊中,也可不擊中,從而第3次擊中目標的概率為;②恰好擊中目標3次的概率是獨立重復(fù)試驗,故概率為;③運用對立事件4次射擊,一次也沒有擊

10、中的概率為,從而至少擊中目標一次的概率為.故正確結(jié)論的序號為①、③. 【題后反思】 分析法是解答問題的常用方法,該方法需要我們從題設(shè)出發(fā),對條件進行觀察、分析,找到相應(yīng)的解決方法. (七)歸納法 例13、?蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂 巢可以近似地看作是一個正六邊形,如圖為一組蜂 巢的截面圖. 其中第一個圖有1個蜂巢,第二個圖 有7個蜂巢,第三個圖有19個蜂巢,按此規(guī)律,以 表示第幅圖的蜂巢總數(shù).則=_____;=___________. 【解析】找出的關(guān)系式 [解析] 【題后反思】 處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系 (1)

11、先猜后證是一種常見題型;(2)歸納推理的一些常見形式:一是“具有共同特征型”,二是“遞推型”,三是“循環(huán)型”(周期性) (八)類比法 例14、已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的,把這個結(jié)論推廣到空間正四面體,類似的結(jié)論是______。 【解析】從方法的類比入手 [解析]原問題的解法為等面積法,即,類比問題的解法應(yīng)為等體積法, 即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 【題后反思】 (1)不僅要注意形式的類比,還要注意方法的類比。(2)類比推理常見的情形有:平面向空間類比;低維向高維類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;實數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比;圓錐曲線間的類比等。 (九)推理法 例15、某校

12、對文明班的評選設(shè)計了五個方面的多元評價指標,并通過經(jīng)驗公式樣來計算各班的綜合得分,S的值越高則評價效果越好,若某班在自測過程中各項指標顯示出,則下階段要把其中一個指標的值增加1個單位,而使得S的值增加最多,那么該指標應(yīng)為 。(填入中的某個字母) 【解析】從分式的性質(zhì)中尋找S值的變化規(guī)律 。 [解析] 因都為正數(shù),故分子越大或分母越小時, S的值越大,而在分子都增加1的前提下,分母越小時,S的值增長越多,,所以c增大1個單位會使得S的值增加最多。 【題后反思】 此題的大前提是隱含的,需要經(jīng)過思考才能得到。 【模擬演練】 (1)已知函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且

13、的導(dǎo)數(shù)記為,則下列結(jié)論中,正確的是: ①是方程的根; ②1是方程的根; ③有極小值; ④有極大值; ⑤ (2)設(shè)m、n是異面直線,則:①一定存在平面,使且;②一定存在平面,使且;③一定存在平面,使m、n到的距離相等;④一定存在無數(shù)對平面和,使.上述四個命題中,正確命題的序號是: . (3)是虛單位, (用的形式表示) (4)設(shè),則的大小關(guān)系是: . (5)“x、y中至少有一個小于0”是“”的 條件. (6)若記符號“*”表示求兩個實數(shù)a與b的算術(shù)平均數(shù)的運算,即,則兩邊均含有運

14、算符號“*”和“+”,且對于任意3個實數(shù)a、b、c都能成立的一個等式可以是: . (7)設(shè)橢圓的右焦點為F1,右準線為,若過F1且垂直于x軸的弦長等于點F1到直線的距離,則橢圓的離心率是: . (8)設(shè),,其中為互相垂直的單位向量,又,則實數(shù)m= . (9)如果函數(shù)對任意實數(shù)t,都有,那么的大小關(guān)系是: (10)過拋物線的焦點F作一直線與拋物線交于P、Q兩點,若線段PF、FQ的長分別為p、q,則 . (11)橢圓的長軸的兩端點為M、N,點P在橢圓上,則PM與PN的斜率之積為: . (12)方程的實數(shù)解的個數(shù)是:

15、 . (13)不等式的解集為(4,b),則a= ,b= ; (14)已知函數(shù)在(-3,3)上的最大值與最小值分別為M、m, 則M+m= . (15)已知集合,,如果,則實數(shù)m的取值范圍是: . (16)定義在R上的函數(shù)是奇函數(shù),且滿足,則 . (17)設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線上且,則的面積是: . (18)在數(shù)列中,若,則該數(shù)列的通項 . 答案: (1)①②③④⑤;(2)①③④;(3);(4);(5)必要不充分; (6)(答案不唯一); (7); (8)-2; (9); (10)4a; (11); (12)3; (13); (14)16; (15); (16)0; (17)1; (18) .

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