《（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（浙江專版）2022年高考數(shù)學(xué) 母題題源系列 專題18 應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 【母題原題1】【2018浙江，22】已知函數(shù)f(x)=?lnx． （Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2； （Ⅱ）若a≤3?4ln2，證明：對(duì)于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)． 【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析 （Ⅱ）見(jiàn)解析 【解析】分析: （Ⅰ）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件解得x1，x2關(guān)系，再化簡(jiǎn)f(x1)+f(x2)為，利用基本不等式求得取值范圍，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性證明不等式，（Ⅱ）一方面利用零點(diǎn)存在定理證明函數(shù)有零點(diǎn)，另一方

2、面，利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)在上單調(diào)遞減，即至多一個(gè)零點(diǎn).兩者綜合即得結(jié)論. 詳解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)， 由得， 因?yàn)?，所以? 由基本不等式得． 因?yàn)?，所以? 由題意得． 設(shè)， 則， 所以 x （0，16） 16 （16，+∞） - 0 + 2-4ln2 所以g（x）在[256，+∞）上單調(diào)遞增， 故， 即． 設(shè)h（x）=， 則h′（x）=， 其中g(shù)（x）=． 由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2， 故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）

3、在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個(gè)實(shí)根． 綜上，當(dāng)a≤3–4ln2時(shí)，對(duì)于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn)． 點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類型及解題策略：(1) 構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù). 【母題原題2】【2017浙江，7】函數(shù)的圖像如圖所示，則函數(shù)的圖像可能是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】原

4、函數(shù)先減再增，再減再增，且位于增區(qū)間內(nèi)，因此選D． 【名師點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)圖象與原函數(shù)圖象的關(guān)系：若導(dǎo)函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，且圖象在兩側(cè)附近連續(xù)分布于軸上下方，則為原函數(shù)單調(diào)性的拐點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)來(lái)討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)，由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，得出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【命題意圖】考查導(dǎo)數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)式子變形能力、運(yùn)算求解能力、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想及分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力． 【命題規(guī)律】從全國(guó)看，高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一般有三個(gè)層次：第

5、一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問(wèn)題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.浙江卷2018年作為壓軸題，其考查的靈活性可見(jiàn)一斑. 【答題模板】求解應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)問(wèn)題的一般思路： 第一步：牢記求導(dǎo)法則，正確求導(dǎo).在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類解答題中，通常都會(huì)涉及求導(dǎo)，正確的求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，因此要牢記求導(dǎo)公式，做到正確求導(dǎo)，解題時(shí)應(yīng)先寫出函數(shù)定義域． 第二步：研究（1）（2）問(wèn)的關(guān)系，注意利用第(1)問(wèn)的結(jié)果.在

6、題設(shè)條件下，如果第(1)問(wèn)的結(jié)果第(2)問(wèn)能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問(wèn)的結(jié)果甚至無(wú)法解決． 第三步：根據(jù)條件，尋找或構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，注意分類討論.高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題，一般都會(huì)涉及分類討論，并且討論的步驟也是得分點(diǎn)，所以一定要重視分類討論． 第四步：選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，注意寫全得分關(guān)鍵：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，求導(dǎo)的結(jié)果、分類討論的條件、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫清楚． 【方法總結(jié)】 1.導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性的步驟 (1)求； (2)確認(rèn)在內(nèi)的符號(hào)； (3)作出結(jié)論：時(shí)為增函數(shù)；時(shí)為減函數(shù)． 2.圖象法確定函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性：導(dǎo)

7、函數(shù)的圖象在哪個(gè)區(qū)間位于x軸上方(下方)，說(shuō)明導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間大于0(小于0)，那么它對(duì)應(yīng)的原函數(shù)在那個(gè)區(qū)間就單調(diào)遞增(單調(diào)遞減)． 3.已知函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)范圍的兩個(gè)方法： (1)利用集合間的包含關(guān)系處理：y＝f(x)在(a，b)上單調(diào)，則區(qū)間(a，b)是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集． (2)轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問(wèn)題：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則f′(x)≥0；若函數(shù)單調(diào)遞減，則f′(x)≤0”來(lái)求解． 4.求函數(shù)f(x)極值的步驟： (1)確定函數(shù)的定義域； (2)求導(dǎo)數(shù)f′(x)； (3)解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根； (4)列表檢驗(yàn)f′(x)在f′(x)＝0的根x0

8、左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負(fù)右正，那么f(x)在x0處取極小值． 【溫馨提醒】導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)，“函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為0”是“函數(shù)在該點(diǎn)取得極值”的必要不充分條件．找函數(shù)的極值點(diǎn)，即先找導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，但并不是說(shuō)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)就是極值點(diǎn)(如y＝x3)，還要保證該零點(diǎn)為變號(hào)零點(diǎn)． 6.求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟 (1)求函數(shù)在(a，b)內(nèi)的極值； (2)求函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值f(a)，f(b)； (3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值． 【溫馨提醒】

9、函數(shù)在限定區(qū)間內(nèi)最多只有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，如果存在最大或最小值，最大值一般是在端點(diǎn)或極大值點(diǎn)取得，最小值一般是在端點(diǎn)或極小值點(diǎn)取得．極值與最值的區(qū)別 (1)“極值”反映函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)；“最值”是個(gè)整體概念，是整個(gè)區(qū)間上的最大值或最小值，具有絕對(duì)性． (2)從個(gè)數(shù)上看，最值若存在，則必定是惟一的，而極值可以同時(shí)存在若干個(gè)或不存在，且極大(小)值并不一定比極小(大)值大(小)． (3)從位置上看，極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值卻可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得；有極值未必有最值，有最值未必有極值． 7. 解決含參數(shù)問(wèn)題及不等式問(wèn)題注意兩個(gè)轉(zhuǎn)化： (1)利

10、用導(dǎo)數(shù)解決含有參數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． (2)將不等式的證明、方程根的個(gè)數(shù)的判定轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題處理． 8.關(guān)于最值問(wèn)題： ①對(duì)求函數(shù)在某一閉區(qū)間上，先用導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)的值和區(qū)間端點(diǎn)的值，最大者為最大值，最小者為最小值，對(duì)求函數(shù)定義域上最值問(wèn)題或值域，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值； ②對(duì)已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問(wèn)題，通過(guò)參變分離轉(zhuǎn)化為不等式≤（≥）（ 是自變量，是參數(shù)）恒成立問(wèn)題，≥（≤），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，注意函數(shù)最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系. 1．【2018

11、屆河北省衡水中學(xué)三輪復(fù)習(xí)系列七】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底)，則的大致圖象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)形結(jié)合，利用零點(diǎn)存在定理判斷極值點(diǎn)位置，結(jié)合，利用排除法可得結(jié)果. 詳解： 函數(shù)的極值點(diǎn)就是的根， 相當(dāng)于函數(shù)和函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖象如圖， 由圖知函數(shù)和函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)， 因?yàn)?. 所以，可排除選項(xiàng)； 由，可排除選項(xiàng)，故選C. 點(diǎn)睛：本題通過(guò)對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見(jiàn)的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、

12、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無(wú)路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除. 2．【2018屆浙江省杭州市第二中學(xué)仿真】設(shè)函數(shù)，， （Ⅰ）求曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程； （Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍． 【答案】（1）（2） （Ⅱ）, ,因?yàn)椋? 令，，則在單調(diào)遞減， 因?yàn)椋栽谏显?，在單調(diào)遞增. ,, 因?yàn)椋栽趨^(qū)間上的值域?yàn)? 3．【浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2018年5月模擬】已知函數(shù)，其中. （Ⅰ）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍； （Ⅱ）若函數(shù)在

13、區(qū)間上有極大值，求的值. 【答案】(1) . (2) . 【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上有解，再求a的取值范圍.(2)先對(duì)a分類討論求函數(shù)在區(qū)間上極大值，得，再求和a的值. 詳解：（1）∵ = 在上有解， 所以在上有解， 設(shè)g(x)= 所以函數(shù)g(x)在（1，2）上是減函數(shù)，在（2，+∞）上是增函數(shù). 所以 ∴ 所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 由極大值，得（*） 又∵，∴代入（*）得 設(shè)函數(shù)，則 所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，而 所以，所以 ∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)在由極大值. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性和最值、極值

14、，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理的能力.(2)解答本題的難點(diǎn)求得極大值，得（*）后，如何求的值.這里又利用了構(gòu)造函數(shù)和求導(dǎo)解答. 4．【2018屆浙江省溫州市9月一模】已知函數(shù)． （1）求的單調(diào)遞增區(qū)間； （2）當(dāng)時(shí)，求證：． 【答案】(1) 的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）證明見(jiàn)解析. 【解析】試題分析：（1）求出， 解不等式即可得的單調(diào)增區(qū)間； （2）等價(jià)于，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，證明，從而可得結(jié)果. 試題解析：（1）∵ ， 令，解得或， 又由于函數(shù)的定義域?yàn)椋? ∴的單調(diào)遞增區(qū)間為和． （2）由（1）知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減， 所以，當(dāng)時(shí)，，

15、因此，當(dāng)時(shí)，恒有，即． 5．【2018屆山東省濰坊市青州市三?！恳阎? (1)求的單調(diào)區(qū)間; (2)設(shè)，為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證：. 【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）由函數(shù)，求得，通過(guò)討論實(shí)數(shù)的取值范圍，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （2）構(gòu)造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可作出證明. 詳解：（1）∵，∴ 當(dāng)時(shí)，∴， 即的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)時(shí)，∴， 由，得， 時(shí)，， 時(shí)，， ∴時(shí)，易知的單調(diào)遞增區(qū)間為， 單調(diào)遞減區(qū)間為， （2）由（1）知的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為， 不妨設(shè)，由條件知，即 構(gòu)

16、造函數(shù)，與圖象兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 由可得 而，∴ 知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 可知 欲證，只需證，即證， 考慮到在上遞增，只需證 由知，只需證 令 ， 則 ， 所以為增函數(shù)，又， 結(jié)合知，即成立， 即成立. 點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思

17、想的應(yīng)用. 6．【2018屆江蘇省鹽城中學(xué)全仿真】已知函數(shù)，. (I)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (Ⅱ)若存在極小值點(diǎn)，且，其中，求證: ； (Ⅲ)試問(wèn)過(guò)點(diǎn)可作多少條直線與的圖像相切?并說(shuō)明理由. 【答案】(Ⅰ)單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析；(Ⅲ)答案見(jiàn)解析. 【解析】分析：（1）對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)計(jì)算即可得到單調(diào)區(qū)間； （2）若存在極小值點(diǎn)，，則，由可得，化簡(jiǎn)代入，即可得到證明； 解析：(1) ， 所以的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為； (2) ，存在極小值點(diǎn)，則. ，則， 所以 代入所以 ， 則，又，所以； (3) 時(shí)，有1條切線；時(shí)，有2條切線. 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)

18、是，依題意： 即，化簡(jiǎn)得： 設(shè)， 故函數(shù)在上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即是曲線切線的條數(shù). ， ①當(dāng)時(shí)， ，在上恰有一個(gè)零點(diǎn)1； ②當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 在上單調(diào)遞減，且， 故在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)時(shí)， 在上恰有個(gè)零點(diǎn)； ③時(shí)，在上遞減，在上遞增， 故在至多有兩個(gè)零點(diǎn)，且 又函數(shù)在單調(diào)遞增，且值域是， 故對(duì)任意實(shí)數(shù)，必存在，使，此時(shí) 由于， 函數(shù)在上必有一零點(diǎn)； 先證明當(dāng)時(shí)， ，即證 若，，而，由于 若，構(gòu)建函數(shù) ， 在為增函數(shù)， 綜上時(shí)，，所以 ，故 又，，所以在必有一零點(diǎn). 當(dāng)時(shí)， 在上有兩個(gè)零點(diǎn) 綜上：時(shí)，有1條切線；時(shí)，

19、有2條切線. 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)零點(diǎn)中的作用 (1)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)、方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)，歸根到底是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值等． (2)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，一方面用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；另一方面，也可將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決． 7．【2018屆湖南省長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué)模擬卷（二）】已知函數(shù)，（，且）. （1）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）若，設(shè) ，是的導(dǎo)函數(shù)，判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明. 【答案】（1）（2）見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）由題意，求導(dǎo)，若k≤0，則g′（x）＞0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求

20、得g（x）最大值，即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍； （2）構(gòu)造輔助函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，即可求得f'（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)． 詳解: （1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立， 令，求導(dǎo)， 由，則， 若，則，所以在上是增函數(shù)，所以，符合題意， 當(dāng)時(shí)，令，解得，， 則在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，不符合題意， 綜上可知的取值范圍為. 其中，則，，， 當(dāng)時(shí)，， 由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一的零點(diǎn)， 取，則，令，知在上是減函數(shù)， 故當(dāng)時(shí)，，即， 由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性可知在上存在唯一，， 由的單調(diào)遞減區(qū)間是，則在上僅存在唯一的零點(diǎn)， 綜上可知共有三個(gè)零點(diǎn). 點(diǎn)睛

21、：（1）函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)（方程根的個(gè)數(shù)）的判斷方法：①結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，利用函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性確定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)；②利用函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷方程根的個(gè)數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)． （2）本題將方程實(shí)根個(gè)數(shù)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的問(wèn)題解決，解題時(shí)注意換元法的應(yīng)用，以便將復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問(wèn)題處理. 8．【2018屆四川省成都市龍泉驛區(qū)第二中學(xué)校3月市“二診”】設(shè)a >0，已知函數(shù) (x>0)． (Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性； (Ⅱ)試判斷函數(shù)在上是否有兩個(gè)零點(diǎn)，并說(shuō)明理由． 【答案】(1)見(jiàn)解析(2) 函數(shù)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn) 【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，通過(guò)討論a的

22、范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （Ⅱ）假設(shè)2個(gè)零點(diǎn)，推出矛盾即可． 試題解析： （Ⅰ）， ， ， 設(shè)，則， ①當(dāng)時(shí)， ， ，即， ∴在上單調(diào)遞增； ②當(dāng)時(shí)， ， 由得， , 可知，由的圖象得： 在和上單調(diào)遞增； 在 上單調(diào)遞減． （Ⅱ）解法：函數(shù)在上不存在兩個(gè)零點(diǎn) 假設(shè)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，由（Ⅰ）知， ， 因?yàn)?，則，即， 由知，所以， 設(shè)，則（＊）， 由，得， 設(shè)，得， 所以在遞增，得，即， 這與（＊）式矛盾， 所以上假設(shè)不成立，即函數(shù)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)． 9．【2018屆安徽亳州市渦陽(yáng)一中最后一卷】已知. （1）若，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)

23、，求的取值范圍； （2）當(dāng)，時(shí)，證明：函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)； （3）若的圖像與軸交于，兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，求證：. 【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析 【解析】分析：（1）在上遞增， ∴ 對(duì)恒成立 即對(duì)恒成立， ∴ 只需即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為，當(dāng)時(shí)，，即，從而可得結(jié)果；（3）由已知得，化為，可得，，，只需證明即可得結(jié)論. （2）當(dāng)，時(shí)，，其定義域是， ∴ ， ∵ ，∴ 時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減 ∴ 當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，其值為 當(dāng)時(shí)，，即 ∴ 函

24、數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn) （3）由已知得兩式相減，得 ， 由及，得 令，，∵ ， ∴ 在上遞減， ∴ ∵ ，∴ 10．【2018屆河南省洛陽(yáng)市第三次統(tǒng)一考試】已知函數(shù)，其中. （1）討論函數(shù)的單調(diào)性； （2）當(dāng)時(shí)，證明：不等式恒成立（其中，）. 【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析. 【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明 恒成立．設(shè)，則上式等價(jià)于，要證明對(duì)任意，恒成立，要證明g（x1+x2）＞g（x1-x2）對(duì)任意x1∈R，x2∈（0，+∞）恒成立，即證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可． 詳

25、解： （1）由于. 1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增， 當(dāng)時(shí)，，遞減； 2）當(dāng)時(shí)，由得或. 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，遞增， 當(dāng)時(shí)，，遞減， 當(dāng)時(shí)，，遞增； 當(dāng)時(shí)，，遞增； ③當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)，，遞增， 當(dāng)時(shí)，，遞減， 當(dāng)時(shí)，，遞增. 綜上，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). （2）依題意 恒成立. 設(shè)，則上式等價(jià)于， 要證明對(duì)任意，恒成立， 即證明在上單調(diào)遞增，又， 只需證明即可.令，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， ∴，即，，那么，當(dāng)時(shí)，，所以 ；當(dāng)時(shí)，， ， ∴恒成立.從

26、而原不等式成立. 11．【2018屆四川省南充市三診】函數(shù). （Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求單調(diào)遞減區(qū)間和極值（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）； （Ⅱ）若對(duì)任意，恒成立.求的取值范圍. 【答案】（Ⅰ）的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無(wú)極大值.（Ⅱ） 【解析】分析：（Ⅰ）先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值； （Ⅱ）由題意可知，函數(shù)f（x）-x在（0，+∞）上遞增，即該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于等于零在（0，+∞）恒成立，然后轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)解． 詳解： （Ⅰ）由，知，. 因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線與直線垂直， 所以，即，得. 所以. 當(dāng)時(shí)，，在單

27、調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增. 所以當(dāng)時(shí)，有極小值，且極小值為. 綜上，的單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為2，無(wú)極大值. （Ⅱ）因?yàn)閷?duì)任意，恒成立 所以對(duì)任意恒成立， 令， 則在單調(diào)遞減， 所以在恒成立， 所以恒成立. 令，則. 所以的取值范圍是. 點(diǎn)睛：利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性有兩種題型，一種是求單調(diào)區(qū)間，只需令導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間；另一種是已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，若已知函數(shù)單增，只需函數(shù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上恒大于等于0即可，若已知函數(shù)單減，只需函數(shù)導(dǎo)數(shù)小于等于0即可.注意等號(hào)！ 12．【2018屆安徽省合肥市高三三?！恳阎瘮?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，（為自然對(duì)數(shù)的

28、底數(shù)）. （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）求證：. 【答案】（1）（2）見(jiàn)解析 【解析】分析：(Ⅰ) 函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，只需有兩個(gè)根，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理與函數(shù)圖象可得當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，為的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，在上單調(diào)遞減，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，要證，只需證，即證，利用導(dǎo)數(shù)可得，從而可得結(jié)論. 詳解： (Ⅰ)∵，∴. 設(shè)，則. 令，解得. ∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ∴. 當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)； 當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，. ∴當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn). 不妨設(shè)，則. ∴當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為. ∵函數(shù)在上也單調(diào)遞減，∴. ∴要證，只需證，即證. 設(shè)函數(shù)，則. 設(shè)，則， ∴在上單調(diào)遞增，∴，即. ∴在上單調(diào)遞增，∴. ∴當(dāng)時(shí)，，則， ∴，∴.