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1、不等式證明典型例題一
例1 若,證明( 且).
分析1 用作差法來證明.需分為和兩種情況,去掉絕對值符號,然后比較法證明.
解法1 (1)當時,
因為 ,
所以
.
(2)當時,
因為
所以
.
綜合(1)(2)知.
分析2 直接作差,然后用對數(shù)的性質來去絕對值符號.
解法2 作差比較法.
因為
,
所以.
說明:解法一用分類相當于增設了已知條件,便于在變形中脫去絕對值符號;解法二用對數(shù)性質(換底公式)也能達到同樣的目的,且不必分而治之,其解法自然簡捷、明快.
典型例題二
例2 設,求證:
2、
分析:發(fā)現(xiàn)作差后變形、判斷符號較為困難.考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商,判斷比值與1的大小關系,從而證明不等式.
證明:
∵,∴
∴. ∴
又∵,
∴.
說明:本題考查不等式的證明方法——比較法(作商比較法).作商比較法證明不等式的步驟是:判斷符號、作商、變形、判斷與1的大小.
典型例題三
例3 對于任意實數(shù)、,求證(當且僅當時取等號)
分析 這個題若使用比較法來證明,將會很麻煩,因為,所要證明的不等式中有,展開后很復雜。若使用綜合法,從重要不等式:出發(fā),再恰當?shù)乩貌坏仁降挠嘘P性質及“配方”的技巧可得到證明。
證明:∵ (當且僅當時取等號)
兩邊同加,
即:
3、 (1)
又:∵ (當且僅當時取等號)
兩邊同加
∴
∴ (2)
由(1)和(2)可得(當且僅當時取等號).
說明:此題參考用綜合法證明不等式.綜合法證明不等式主要是應用均值不等式來證明,要注意均值不等式的變形應用,一般式子中出現(xiàn)有平方和乘積形式后可以考慮用綜合法來解.
典型例題四
例4 已知、、,,求證
分析 顯然這個題用比較法是不易證出的。若把通分,則會把不等式變得較復雜而不易得到證明.由于右邊是一個常數(shù),故可考慮把左邊的式子變?yōu)榫哂小暗箶?shù)”特征的形式,比如,再利用“均值定理”就有可能找到正確
4、的證明途徑,這也常稱為“湊倒數(shù)”的技巧.
證明:∵
∴
∵,同理:,。
∴
說明:此題考查了變形應用綜合法證明不等式.題目中用到了“湊倒數(shù)”,這種技巧在很多不等式證明中都可應用,但有時要首先對代數(shù)式進行適當變形,以期達到可以“湊倒數(shù)”的目的.
典型例題五
例5 已知,求證:>0.
分析:此題直接入手不容易,考慮用分析法來證明,由于分析法的過程可以用綜合法來書寫,所以此題用兩種方法來書寫證明過程.
證明一:(分析法書寫過程)
為了證明>0
只需要證明>
∵
∴
∴>0
∴>成立
∴>0成立
證明二:
5、(綜合法書寫過程)
∵ ∴
∴> >0
∴>成立
∴>0成立
說明:學會分析法入手,綜合法書寫證明過程,但有時這兩種方法經常混在一起應用,混合應用時,應用語言敘述清楚.
典型例題六
例6 若,且,求證:
分析 這個不等式從形式上不易看出其規(guī)律性,與我們掌握的定理和重要的結論也沒有什么直接的聯(lián)系,所以可以采用分析的方法來尋找證明途徑.但用“分析”法證不等式,要有嚴格的格式,即每一步推出的都是上一步的充分條件,直到推出的條件是明顯成立的(已知條件或某些定理等).
證明:為要證
只需證,
即證,
也就是,
即證,
即證,
∵,
∴,故即有,
又 由可得成
6、立,
∴ 所求不等式成立.
說明:此題考查了用分析法證明不等式.在題目中分析法和綜合法是綜合運用的,要注意在書寫時,分析法的書寫過程應該是:“欲證……需證……”,綜合法的書寫過程是:“因為(∵)……所以(∴)……”,即使在一個題目中是邊分析邊說明也應該注意不要弄混.
典型例題七
例7 若,求證.
分析:本題結論的反面比原結論更具體、更簡、宜用反證法.
證法一:假設,則,
而,故.
∴.從而,
∴.
∴.
∴.
這與假設矛盾,故.
證法二:假設,則,
故,即,即,
這不可能.從而.
證法三:假設,則.
由,得,故.
又,
∴.
∴,即.
7、這不可能,故.
說明:本題三種方法均采用反證法,有的推至與已知矛盾,有的推至與已知事實矛盾.
一般說來,結論中出現(xiàn)“至少”“至多”“唯一”等字句,或結論以否定語句出現(xiàn),或結論肯定“過頭”時,都可以考慮用反證法.
典型例題八
例8 設、為正數(shù),求證.
分析:用綜合法證明比較困難,可試用分析法.
證明:要證,只需證,
即證,
化簡得,.
∵,
∴.
∴.
∴原不等式成立.
說明:1.本題證明易出現(xiàn)以下錯誤證法:,,然后分(1);(2);(3)且;(4)且來討論,結果無效.
2.用分析法證明數(shù)學問題,要求相鄰兩步的關系是,前一步是后一步的必要條件,后一步是前一步的
8、充分條件,當然相互為充要條件也可以.
典型例題九
例9 已知,求證.
分析:聯(lián)想三角函數(shù)知識,進行三角換元,然后利用三角函數(shù)的值域進行證明.
證明:從條件看,可用三角代換,但需要引入半徑參數(shù).
∵,
∴可設,,其中.
∴.
由,故.
而,,故.
說明:1.三角代換是最常見的變量代換,當條件為或或時,均可用三角代換.2.用換元法一定要注意新元的范圍,否則所證不等式的變量和取值的變化會影響其結果的正確性.
典型例題十
例10 設是正整數(shù),求證.
分析:要求一個項分式的范圍,它的和又求不出來,可以采用“化整為零”的方法,觀察每一項的范圍,再求整體的范圍.
證明:由
9、,得.
當時,;
當時,
……
當時,.
∴.
說明:1、用放縮法證明不等式,放縮要適應,否則會走入困境.例如證明.由,如果從第3項開始放縮,正好可證明;如果從第2項放縮,可得小于2.當放縮方式不同,結果也在變化.
2、放縮法一般包括:用縮小分母,擴大分子,分式值增大;縮小分子,擴大分母,分式值縮??;全量不少于部分;每一次縮小其和變小,但需大于所求,第一次擴大其和變大,但需小于所求,即不能放縮不夠或放縮過頭,同時放縮后便于求和.
典型例題十一
例11 已知,求證:.
分析:欲證不等式看起來較為“復雜”,宜將它化為較“簡單”的形式,因而用分析法證明較好.
證明:欲證,
10、
只須證.
即要證,
即要證.
即要證,
即要證.
即要證,即.
即要證 ?。?)
∵,∴(*)顯然成立,
故
說明:分析法證明不等式,實質上是尋求結論成立的一個充分條件.分析法通常采用“欲證——只要證——即證——已知”的格式.
典型例題十二
例12 如果,,,求證:.
分析:注意到不等式左邊各字母在項中的分布處于分離狀態(tài),而右邊卻結合在一起,因而要尋求一個熟知的不等式具有這種轉換功能(保持兩邊項數(shù)相同),由,易得,此式的外形特征符合要求,因此,我們用如下的結合法證明.
證明:∵
11、
.
∴.
說明:分析時也可以認為是連續(xù)應用基本不等式而得到的.左右兩邊都是三項,實質上是公式的連續(xù)使用.
如果原題限定,,,則不等式可作如下變形:進一步可得到:.
顯然其證明過程仍然可套用原題的思路,但比原題要難,因為發(fā)現(xiàn)思路還要有一個轉化的過程.
典型例題十三
例13 已知,,,求證:在三數(shù)中,不可能都大于.
分析:此命題的形式為否定式,宜采用反證法證明.假設命題不成立,則三數(shù)都大于,從這個結論出發(fā),進一步去導出矛盾.
證明:假設三數(shù)都大于,
即,,.
又∵,,,
∴,,.
∴ ?、?
又
12、∵,,.
以上三式相加,即得:
?、?
顯然①與②相矛盾,假設不成立,故命題獲證.
說明:一般情況下,如果命題中有“至多”、“至少”、“都”等字樣,通常情況下要用反證法,反證法的關鍵在于“歸謬”,同時,在反證法的證明過程中,也貫穿了分析法和綜合法的解題思想.
典型例題十四
例14 已知、、都是正數(shù),求證:.
分析:用分析法去找一找證題的突破口.要證原不等式,只需證,即只需證.把變?yōu)椋瑔栴}就解決了.或有分析法的途徑,也很容易用綜合法的形式寫出證明過程.
證法一:要證,
只需證,
即,移項,得.
由、、為正數(shù),得.
∴原不等式成立.
證法二:∵、、為正數(shù),
.
即
13、,故.
,
.
說明:題中給出的,,,,只因為、、都是正數(shù),形式同算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理一樣,不加分析就用算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證,問題就不好解決了.
原不等式中是用“不大于”連結,應該知道取等號的條件,本題當且僅當時取“=”號.證明不等式不論采用何種方法,僅僅是一個手段或形式問題,我們必須掌握證題的關鍵.本題的關鍵是證明.
典型例題十五
例15 已知,,且.求證:.
分析:記,欲證,聯(lián)想到正、余弦函數(shù)的值域,本題采用三角換元,借助三角函數(shù)的變換手段將很方便,由條件,可換元,圍繞公式來進行.
證明:令,,且,
則
∵,∴,即成立.
說明:換元的思想
14、隨處可見,這里用的是三角代換法,這種代換如能將其幾何意義挖掘出來,對代換實質的認識將會深刻得多,常用的換元法有:(1)若,可設;(2)若,可設,,;(3)若,可設,,且.
典型例題十六
例16 已知是不等于1的正數(shù),是正整數(shù),求證.
分析:從求證的不等式看,左邊是兩項式的積,且各項均為正,右邊有2的因子,因此可考慮使用均值不等式.
證明:∵是不等于1的正數(shù),
∴,
∴. ①
又. ?、?
將式①,②兩邊分別相乘得
,
∴.
說明:本題看起來很復雜,但根據(jù)題中特點,選擇綜合法求證非常順利.由特點選方法是解題的關鍵,這里因為,所以等號不成立,又因為①,②兩個不等式
15、兩邊均為正,所以可利用不等式的同向乘性證得結果.這也是今后解題中要注意的問題.
典型例題十七
例17 已知,,,,且,求證.
分析:從本題結構和特點看,使用比較法和綜合法都難以奏效.為找出使不等式成立的充分條件不妨先用分析法一試,待思路清晰后,再決定證題方法.
證明:要證,
只需證,
只需證.
∵,,,
∴,,,
∴,
∴成立.
∴.
說明:此題若一味地用分析法去做,難以得到結果.在題中得到只需證后,思路已較清晰,這時改用綜合法,是一種好的做法.通過此例可以看出,用分析法尋求不等式的證明途徑時,有時還要與比較法、綜合法等結合運用,決不可把某種方法看成是孤立的.
典
16、型例題十八
例18 求證.
分析:此題的難度在于,所求證不等式的左端有多項和且難以合并,右邊只有一項.注意到這是一個嚴格不等式,為了左邊的合并需要考查左邊的式子是否有規(guī)律,這只需從下手考查即可.
證明:∵,
∴.
說明:此題證明過程并不復雜,但思路難尋.本題所采用的方法也是解不等式時常用的一種方法,即放縮法.這類題目靈活多樣,需要巧妙變形,問題才能化隱為顯,這里變形的這一步極為關鍵.
典型例題十九
例19 在中,角、、的對邊分別為,,,若,求證.
分析:因為涉及到三角形的邊角關系,故可用正弦定理或余弦定理進行邊角的轉化.
證明:∵,∴.
由余弦定理得
∴,
∴
=
說明:三角形中最常使用的兩個定理就是正弦和余弦定理,另外還有面積公式.本題應用知識較為豐富,變形較多.這種綜合、變形能力需要讀者在平時解題時體會和總結,證明不等式的能力和直覺需要長期培養(yǎng).