《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講　數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十三篇 推理證明、算法、復(fù)數(shù) 第4講　數(shù)學(xué)歸納法教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　數(shù)學(xué)歸納法 【2020年高考會(huì)這樣考】 1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟． 2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 復(fù)習(xí)時(shí)要抓住數(shù)學(xué)歸納法證明命題的原理，明晰其內(nèi)在的聯(lián)系，把握數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟，熟知每一步之間的區(qū)別聯(lián)系，熟悉數(shù)學(xué)歸納法在證明命題中的應(yīng)用技巧． 基礎(chǔ)梳理 1．歸納法 由一系列有限的特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，通常叫做歸納法．根據(jù)推理過程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為完全歸納法和不完全歸納法． 2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法 (1)數(shù)學(xué)歸納法：設(shè){Pn}是一個(gè)與正整數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：①證明起始命題P1(或P0)成立；②在

2、假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以斷定{Pn}對(duì)一切正整數(shù)成立． (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)，其步驟為： ①歸納奠基：證明當(dāng)取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立； ②歸納遞推：假設(shè)n＝k，(k∈N*，k≥n0)時(shí)，命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題成立； ③由①②得出結(jié)論． 兩個(gè)防范 數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法，第一步是遞推的“基礎(chǔ)”，第二步是遞推的“依據(jù)”，兩個(gè)步驟缺一不可，在證明過程中要防范以下兩點(diǎn)： (1) 第一步驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值． (2)第二步中，歸納假設(shè)起著“已知

3、條件”的作用，在證明n＝k＋1時(shí)，命題也成立的過程中一定要用到它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．第二步關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”． 三個(gè)注意 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意以下三點(diǎn)： (1)n＝n0時(shí)成立，要弄清楚命題的含義． (2)由假設(shè)n＝k成立證n＝k＋1時(shí)，要推導(dǎo)詳實(shí)，并且一定要運(yùn)用n＝k成立的結(jié)論． (3)要注意n＝k到n＝k＋1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)． 雙基自測(cè) 1．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0 等于(　　)． A．1 B．2 C．3 D．0 解析　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 答案　C 2

4、．利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1＋＋＋…＋＜f(n)(n≥2，n∈N*)的過程，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，左邊增加了(　　)． A．1項(xiàng) B．k項(xiàng) C．2k－1項(xiàng) D．2k項(xiàng) 解析　1＋＋＋…＋－＝＋＋…＋，共增加了2k項(xiàng)，故選D. 答案　D 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)”在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左端計(jì)算所得的項(xiàng)為(　　)． A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3 答案　C 4．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知

5、n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得(　　)． A．n＝6時(shí)該命題不成立 B．n＝6時(shí)該命題成立 C．n＝4時(shí)該命題不成立 D．n＝4時(shí)該命題成立 解析　法一　由n＝k(k∈N*)成立，可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立．因而若n＝4成立，必有n＝5成立．現(xiàn)知n＝5不成立，所以n＝4一定不成立． 法二　其逆否命題“若當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題不成立，則當(dāng)n＝k時(shí)也不成立”為真，故“n＝5時(shí)不成立”?“n＝4時(shí)不成立”． 答案　C 5．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式＋＋…＋＞的過程中，由n＝k推導(dǎo)n＝k＋1時(shí)，不等式的左邊增加的式子是________． 解析　不等式的左邊增加的式子是＋－＝

6、，故填. 答案　 　　 考向一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 【例1】?用數(shù)學(xué)歸納法證明： tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n(n∈N*，n≥2)． [審題視點(diǎn)] 注意第一步驗(yàn)證的值，在第二步推理證明時(shí)要注意把假設(shè)作為已知． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，右邊＝－2＝－2＝＝tan α·tan 2α＝左邊，等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥2)時(shí)，等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＝－k， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)， tan α·tan 2α＋tan

7、 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan(k＋1)α ＝＋1＋tan kα·tan(k＋1)α－(k＋1) ＝＋－(k＋1) ＝－(k＋1)． 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)任何n∈N*且n≥2，原等式成立． 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)，要注意第(1)步中驗(yàn)證n0的值，如本題要取n0＝2，在第(2)步的證明中應(yīng)在歸納假設(shè)的基礎(chǔ)上正確地使用正切的差角公式． 【訓(xùn)練1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 對(duì)任意的n∈N*，＋＋…＋＝. 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝＝，右邊＝，左邊＝右

8、邊，所以等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立，即有 ＋＋…＋＝， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ＋＋…＋＋ ＝＋＝ ＝＝＝， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立． 由(1)(2)可知，對(duì)一切n∈N*等式都成立． 考向二　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 【例2】?是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由． [審題視點(diǎn)] 觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項(xiàng)． 解　由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝

9、34×36，由此猜想：m＝36. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； (2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)也能被36整除． 由(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36. 證明整除問

10、題的關(guān)鍵“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證． 【訓(xùn)練2】 用數(shù)學(xué)歸納法證明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除． 證明　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a2＋(a＋1)＝a2＋a＋1可被a2＋a＋1整除． (2)假設(shè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)， ak＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除， 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ak＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak＋1＋(a＋1)2(a＋1)2k－1＝a·ak＋1＋a·(a＋1)2k－1＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1＝a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a

11、＋1)(a＋1)2k－1，由假設(shè)可知a[ak＋1＋(a＋1)2k－1]能被a2＋a＋1整除，(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1也能被a2＋a＋1整除， ∴ak＋2＋(a＋1)2k＋1也能被a2＋a＋1整除， 即n＝k＋1時(shí)命題也成立， ∴對(duì)任意n∈N*原命題成立． 考向三　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【例3】?用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式·…·>均成立． [審題視點(diǎn)] 本題用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在推理過程中用放縮法，要注意放縮的“度”． 證明　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝；右邊＝. ∵左邊>右邊，∴不等式成立． (2)假設(shè)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式

12、成立， 即·…·>. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， ·…· >·＝＝ >＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由(1)(2)知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 在由n＝k到n＝k＋1的推證過程中，應(yīng)用放縮技巧，使問題得以簡化，用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時(shí)，從n＝k到n＝k＋1的推證過程中，證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法等． 【訓(xùn)練3】 已知函數(shù)f(x)＝x3－x，數(shù)列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解　∵f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)，∴an＋1≥(an＋1)2－

13、1. ∵函數(shù)g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增，于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，進(jìn)而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)猜想： ①當(dāng)n＝1時(shí)，a1≥21－1＝1，結(jié)論成立； ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak≥2k－1，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[1，＋∞)上單調(diào)遞增知，ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1，即n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①、②知，對(duì)任意n∈N*，都有an≥2n－1. 即1＋an≥2n

14、，∴≤， ∴＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－n＜1. 考向四　歸納、猜想、證明 【例4】?數(shù)列{an}滿足Sn＝2n－an(n∈N*)． (1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an； (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想． [審題視點(diǎn)] 利用Sn與an的關(guān)系式求出{an}的前幾項(xiàng)，然后歸納出an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明． 解　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1. 當(dāng)n＝2時(shí)，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝. 當(dāng)n＝3時(shí)，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝. 當(dāng)n＝4時(shí)，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝. 由此

15、猜想an＝(n∈N*)． (2)證明?、佼?dāng)n＝1時(shí)，左邊＝a1＝1，右邊＝＝1，左邊＝右邊，結(jié)論成立． ②假設(shè)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak＝，那么n＝k＋1時(shí)， ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1， ∴2ak＋1＝2＋ak， ∴ak＋1＝＝＝， 這表明n＝k＋1時(shí)，結(jié)論成立， 由①②知猜想an＝成立． (1)歸納、猜想、證明是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，此類問題可分為歸納性問題和存在性問題，本例從特例入手，通過觀察、分析、歸納、猜想，探索出一般規(guī)律． (2)數(shù)列是定義在N*上的函數(shù)，這與數(shù)學(xué)歸納法所運(yùn)用的范圍是一致

16、的，并且數(shù)列的遞推公式與歸納原理實(shí)質(zhì)上是一致的，數(shù)列中有不少問題常用數(shù)學(xué)歸納法解決． 【訓(xùn)練4】 由下列各式1＞， 1＋＋＞1， 1＋＋＋＋＋＋＞， 1＋＋＋…＋＞2， 1＋＋＋…＋＞， …，你能得到怎樣的一般不等式，并加以證明． 答案　猜想：第n個(gè)不等式為1＋＋＋…＋＞(n∈N*)． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，1＞，猜想正確． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)猜想正確， 即1＋＋＋…＋＞， 那么，當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 1＋＋＋…＋＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＞＋＋＋…＋＝＋＝＋＝. 即當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式成立． ∴對(duì)于任意n∈N*，不等式恒成立． 　　 閱卷報(bào)告20—

17、—由于方法選擇不當(dāng)導(dǎo)致失誤 【問題診斷】 用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的一些等式命題時(shí)，關(guān)鍵在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，由n＝k到n＝k＋1時(shí)，等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)，增加怎樣的項(xiàng)，其難點(diǎn)在于歸納假設(shè)后，如何推證對(duì)下一個(gè)正整數(shù)值命題也成立. 【防范措施】 把歸納假設(shè)當(dāng)做已知條件參加推理.明確對(duì)下一個(gè)正整數(shù)值命題成立的目標(biāo)，通過適當(dāng)?shù)淖儞Q達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，這里可以使用綜合法，也可以使用分析法，甚至可以再次使用數(shù)學(xué)歸納法. 【示例】? 在數(shù)列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列(n∈N*)． (1)

18、求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測(cè){an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論； (2)證明：＋＋…＋＜. 實(shí)錄　(1)由條件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1. 由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜測(cè)an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，由上可得結(jié)論成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時(shí)，結(jié)論成立， 即ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2， 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2， 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，結(jié)論也成立． 由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2對(duì)一切正整數(shù)都成立． 錯(cuò)因　第二問由于不等式的右端為常數(shù)，結(jié)論本身是不能用數(shù)學(xué)歸納法證明的，可考慮用放縮法證明，也可考慮加強(qiáng)不等式后，用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)當(dāng)n＝1時(shí) ＝＜ 假設(shè)n＝k(k∈N*)時(shí)不等式成立 即＋＋…＋＜ 當(dāng)n＝k＋1時(shí) ＋＋…＋＋＜＋ 到此無法用數(shù)學(xué)歸納法證明． 正解　(1)用實(shí)錄(1) (2)證明：＝＜. n≥2時(shí)，由(1)知an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)＞2(n＋1)n. 故＋＋…＋ ＜＋ ＝＋ ＝＋＜＋＝. 綜上，原不等式成立．