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1、(新課程)2020高中數(shù)學 《第一章 三角函數(shù)》章末質(zhì)量評估
(時間:120分鐘 滿分:160分)
一、填空題(本大題共14小題,每小題5分,共70分)
1.已知角α的終邊在射線y=-x (x>0)上,則2sin α+cos α的值是________.
解析 由題知,角α在第四象限,且tan α=-
∴=-,又sin2α+cos2α=1,
解得sin α=-,cos α=,
∴2sin α+cos α=-.
答案?。?
2.如果點P(sin θ·cos θ,2cos θ)位于第三象限,那么角θ所在的象限是__________.
解析 由知sin θ>0,且cos θ<0,
2、∴θ是第二象限角.
答案 第二象限
3.(2020·上海春季高考)函數(shù)y=sin 2x的最小正周期T=________.
解析 由周期公式得T===π.
答案 π
4.已知sin(2π-α)=,α∈,則=________.
解析 由sin(2π-α)=-sin α=
∴sin α=-,又α∈,
∴cos α=,
∴==.
答案
5.把函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位,再把所得圖象上各點的橫坐標縮短為原來的,所得函數(shù)的解析式為________.
解析 y=sin向右平移個單位得y=sin3-=sin即y=-sin3x-,再將橫坐標縮短為原來的,得y=-sin.
答
3、案 y=-sin
6.函數(shù)y=cos2x-3cos x+2的最小值為________.
解析 y=2-,又cos x∈[-1,1],
∴當cos x=1時,ymin=0.
答案 0
7.函數(shù)y=lg(cos x-sin x)的定義域是________.
解析 由cos x>sin x,結(jié)合圖象知2kπ-π0,-π≤φ<π)的圖象如下圖所示,則φ=________.
解析 由圖象知函數(shù)y=sin(ωx+φ)的周期為T=2=,所以=,得到ω=.所以y=sin,從圖中可知,點是“五點法”中的第四點,
4、所以×+φ=,解得φ=.
答案
9.關(guān)于x的函數(shù)f(x)=tan(x+φ)有以下說法:
(1)對任意的φ,f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù);
(2)不存在φ,使f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù);
(3)存在φ,使f(x)是奇函數(shù);
(4)對任意的φ,f(x)都不是偶函數(shù).
其中不正確的說法的序號是________.因為當φ=________時,該說法的結(jié)論不成立.
答案?、佟π
10.若函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω≠0)為奇函數(shù),則φ的取值集合是________.
解析 由f(0)=0,得sin φ=0,φ=kπ,k∈Z.
答案 {φ|φ=kπ,k∈Z
5、}
11.下列三角函數(shù)①sin;②cos;
③sin;④cos;
⑤sin.(n∈Z)其中與sin數(shù)值相同的是________.
解析?、賡in=
②cos=cos=sin;
③sin=sin ;
④cos=cos=-sin;
⑤sin=sin,故②③⑤正確.
答案?、冖邰?
12.函數(shù)y=cos的最小值是________.
解析 x∈,則 x-∈
當x-=時,即當x=π時,ymin=0.
答案 0
13.已知函數(shù)f(x)=πsin,如果存在實數(shù)x1、x2,使得對任意的實數(shù)x,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),則|x1-x2|的最小值是________.
解析
6、f(x)=πsin,則當x2=8kπ+2π時,f(x)max=π;
當x1=8kπ-2π時,f(x)min=-π;
∴|x1-x2|min=4π.
答案 4π
14.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象的最大值為3,對稱軸是直線x=.要使圖象的解析式為y=3sin,下列給出的條件中________都適合.
①周期T=π;②圖象經(jīng)過點;③圖象與x軸的兩個相鄰交點的距離為;
④圖象的對稱中心到最近的對稱軸的距離為.
解析 將所給的四個條件進行檢驗,①②③符合條件;④不符合條件.
答案?、佗冖?
二、解答題(本大題共6小題,共90分)
15.(本小題滿分14分)已知=-1,求下列各式
7、的值:
(1);
(2)sin2α+sin αcos α+2.
解 由已知得tan α=,
(1)===-.
(2)sin2α+sin αcos α+2
=sin2α+sin αcos α+2(cos2α+sin2α)
=
===.
16.(本小題滿分14分)化簡:
(k∈Z).
解 對參數(shù)k分為奇數(shù)、偶數(shù)討論.
當k=2n+1(n∈Z)時,
原式=
===-1;
當k=2n(n∈Z)時,
原式=
==-1;
所以=-1.
17.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R的周期為π,且圖象上一個最低點為M.
(1)求f(x)的解析
8、式;
(2)當x∈,求f(x)的最值.
解 (1)由函數(shù)f(x)圖象上的一個最低點為M,得A=2.由周期T=π,得ω===2.
由點M在圖象上,得2sin=-2,
即sin=-1,所以+φ=2kπ-(k∈Z),
故φ=2kπ-(k∈Z),又φ∈,
所以φ=.
所以函數(shù)的解析式為f(x)=2sin.
(2)因為x∈,所以2x+∈,
所以當2x+=,即x=0時,函數(shù)f(x)取得最小值1;當2x+=,即x=時,函數(shù)f(x)取得最大值.
18.(本小題滿分16分)已知tan α,是關(guān)于x的方程x2-kx+k2-3=0的兩實根,且3π<α<π,求cos(3π-α)-sin(π+α)的
9、值.
解 由已知得tan α·=k2-3=1,
所以k=±2.又3π<α<π,
所以tan α>0,>0,
于是tan α+=k>0,
從而k=2(k=-2應舍去).
進而由tan α·=1及tan α+=2
可得tan α==1.
所以sin α=cos α=-.
故cos(3π-α)-sin(π+α)=-cos α+sin α=0.
19.(本小題滿分16分)函數(shù)f1(x)=Asin(ωx+φ)的一段圖象如右圖所示.
(1)求函數(shù)f1(x)的解析式;
(2)將函數(shù)y=f1(x)的圖象向右平移個單位,得函數(shù)y=f2(x)的圖象,求y=f2(x)的最大值,并求出
10、此時自變量x的集合.
解 (1)由圖象知A=2,T=2=π,∴ω=2,
∴f1(x)=2sin(2x+φ).
又當x=-時,2×+φ=0,
即φ=,∴f1(x)=2sin.
(2)由題意f2(x)=2sin=2sin.當2x-=2kπ+,即x=kπ+(k∈Z)時,f2(x)取得最大值2,此時x的集合為
20.(本小題滿分16分)如右圖所示,函數(shù)y=2cos(ωx+θ)x∈R,ω>0,0≤θ≤的圖象與y軸交于點,且該函數(shù)的最小正周期為π.
(1)求θ和ω的值;
(2)已知點A,點P是該函數(shù)圖象上一點,點Q(x0,y0)是PA的中點,當y0=,x0∈時,求x0的值.
解 (1)將x=0,y=代入函數(shù)y=2cos(ωx+θ)中,
得cos θ=,
因為0≤θ≤,所以θ=.
由已知T=π,且ω>0,得ω===2.
(2)因為點A,Q(x0,y0)是PA的中點,
y0=,所以點P的坐標為.
又因為點P在y=2cos的圖象上,
且≤x0≤π,
所以cos=,且≤4x0-≤,
從而得4x0-=,或4x0-=,即x0=,
或x0=.