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1、(新課程)2020高中數(shù)學 3.3知能優(yōu)化訓練
1.已知cosθ=-,<θ<3π,那么sin=__________.
解析:∵<θ<3π,∴<<.∴sin<0.
由cosθ=1-2sin2,得sin=-
=- =-.
答案:-
2.函數(shù)y=的最小正周期是__________.
解析:由萬能公式,得y=cos4x,∴T===.
答案:
3.已知cos2α-cos2β=a,那么sin(α+β)·sin(α-β)等于__________.
解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)·(sinαcosβ-cosαsinβ)=sin2αc
2、os2β-cos2αsin2β=(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=cos2β-cos2α=-a.
答案:-a
4.若θ是第二象限的角,且cos<0,則的值是__________.
解析:θ是第二象限的角,且cos<0,
∴2kπ+π<<2kπ+π,k∈Z,
=
==-1.
答案:-1
一、填空題
1.已知sinα=,α是第二象限角,且tan(α+β)=1,則tanβ的值是__________.
解析:∵sinα=,α是第二象限角,∴cosα=-=- =-,∴tanα==×=-.又tan(α+β)=1,∴tanβ=tan[(α+β)-α]===
3、7.
答案:7
2.函數(shù)y=的最小正周期是________.
解析:y==tan,
∴T==.
答案:
3.y=cosx+cos的最大值是__________.
解析:y=2coscos=cos,
∴ymax=.
答案:
4.y=sincosx的最小值是__________.
解析:y=[sin(2x-)+sin(-)]=sin(2x-)-,∴ymin=--=-.
答案:-
5.設sinα=,tan(π-β)=,則tan(α-2β)的值等于__________.
解析:∵sinα=,∴cosα=-,tanα=-.
∵tan(π-β)=,∴tanβ=-,tan2β=
4、-,
∴tan(α-2β)===.
答案:
6.若tanθ=3,則sin2θ-cos2θ的值是__________.
解析:因為tanθ=3,所以sin2θ===,cos2θ===-,所以sin2θ-cos2θ=-=.
答案:
7.已知3tan=tan,則sin2α=__________.
解析:因為3tan=tan,
所以=,
即3sincos=sincos,
利用積化和差公式可得=,整理得sin2α=1.
答案:1
8.已知cos=,則cos-sin2的值是__________.
解析:∵cos=cos=-cos
=-.而sin2=1-cos2=1-=.∴原式=
5、--=-.
答案:-
二、解答題
9.已知4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,求的值.
解:∵4sin2x-6sinx-cos2x+3cosx=0,
∴(2sinx-cosx)[(2sinx+cosx)-3]=0.
∵2sinx+cosx-3≠0,
∴2sinx-cosx=0,∴tanx=,
∴tan2x==,sin2x==,
cos2x==,
∴==.
10.已知sinφcosφ=,且<φ<,求sinφ,cosφ的值.
解:法一:∵sinφcosφ=,∴sin2φ=.
又∵<φ<,
∴<2φ<π,∴cos2φ<0,
∴cos2φ=-=- =-.
∵sinφ>0,cosφ>0,
∴sinφ= = =,
cosφ= = =.
法二:(sinφ+cosφ)2=1+2sinφcosφ=1+=.
∵<φ<,∴sinφ>0,cosφ>0,
∴sinφ+cosφ=.①
∵<φ<,∴sinφ>cosφ>0,
∴sinφ-cosφ>0.
又∵(sinφ-cosφ)2=1-2sinφcosφ=1-=,
∴sinφ-cosφ=.②
解①②組成的方程組,得sinφ=,cosφ=.
11.求證:=sin2α.
證明:左邊==
==
=sincoscosα=sinαcosα=sin2α=右邊.
∴原式成立.