《(新課程)高中數(shù)學《第一章 導數(shù)及其應用》章末質(zhì)量評估 新人教A版選修2-2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《(新課程)高中數(shù)學《第一章 導數(shù)及其應用》章末質(zhì)量評估 新人教A版選修2-2(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、章末質(zhì)量評估(一)
(時間:100分鐘 滿分:120分)
一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)
1.曲線y=x2-2x在點處的切線的傾斜角為( ).
A.-135° B.45°
C.-45° D.135°
解析 y′=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,傾斜角為135°.
答案 D
2.下列求導運算正確的是( ).
A.′=1+ B.(log2x)′=
C.(3x)′=3xlog3e D.(x2cos x)′=-2xsin x
解析 ′=1-,所以A不正確;(3x)′=3xln
2、 3,所以C不正確;(x2cos x)′=2xcos x+x2·(-sin x),所以D不正確;(log2x)′=,所以B正確.故選B.
答案 B
3.|sin x|dx等于( ).
A.0 B.1 C.2 D.4
解析 ∫2π0|sin x|dx=∫π0sin xdx+∫2ππ(-sin x)dx=+cos x=1+1+1+1=4.
答案 D
4.函數(shù)y=1+3x-x3有( ).
A.極小值-1,極大值1
B.極小值-2,極大值3
C.極小值-2,極大值2
D.極小值-1,極大值3
解析 y′=-3x2+3,令y′=0得,x=1或x=-1,
∴f(1)=3,
3、f(-1)=-1.
答案 D
5.函數(shù)f(x)=( ).
A.在(0,2)上單調(diào)遞減
B.在(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞增
C.在(0,2)上單調(diào)遞增
D.在(-∞,0)和(2,+∞)上單調(diào)遞減
解析 f′(x)===.
令f′(x)=0得x1=0,x2=2.
∴x∈(-∞,0)和(2,+∞)時,f′(x)>0.
x∈(0,1)∪(1,2)時,f′(x)<0.
答案 B
6.函數(shù)y=x4-4x+3在區(qū)間[-2,3]上的最小值為( ).
A.72 B.36 C.12 D.0
解析 y′=4x3-4,令y′=0,4x3-4=0,x=1,當x<1時,y′<
4、0;當x>1時,y′>0得y極小值=y(tǒng)|x=1=0,而端點的函數(shù)值y|x=-2=27,y|x=3=72,得ymin=0.
答案 D
7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為( ).
A.-1<a<2 B.-3<a<6
C.a(chǎn)<-1或a>2 D.a(chǎn)<-3或a>6
解析 因為f(x)有極大值和極小值,所以導函數(shù)f′(x)=3x2+2ax+(a+6)有兩個不等實根,
所以Δ=4a2-12(a+6)>0,得a<-3或a>6.
答案 D
8.已知f(x)的導函數(shù)f′(x)圖象如右圖所示,那么f(x)
的圖象最有可能是圖中的( ).
5、
解析 ∵x∈(-∞,-2)時,f′(x)<0,∴f(x)為減函數(shù);同理f(x)在(-2,0)上為增函數(shù),(0,+∞)上為減函數(shù).
答案 A
9.由直線y=x,y=-x+1及x軸圍成平面圖形的面積為( ).
解析 畫出圖形,由定積分定義可知選C.
答案 C
10.設曲線y=xn+1(n∈N*)在(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為xn,則log2 010x1+log2 010x2+…+log2 010x2 009的值為( ).
A.-log2 0102 009 B.-1
C.(log2 0102 009)-1 D.1
解析 ∵y′|x=1=n+1,
6、∴切線方程為y-1=(n+1)(x-1),
令y=0,得x=1-=,即xn=.
所以log2 010x1+log2 010x2+…+log2 010x2 009
=log2 010(x1·x2·…·x2 009)
=log2 010=log2 010=-1.
答案 B
二、填空題(本大題共4小題,每小題4分,共16分.把答案填在題中橫線上)
11.若f(x)=x3,f′(x0)=3,則x0的值為________.
解析 f′(x0)=3x=3,∴x0=±1.
答案 ±1
12.曲線y=ln x在點M(e,1)處的切線的斜率是________,切線的方程為________
7、.
解析 由于y′=,∴k=y(tǒng)′|x=e=,故切線的方程為y-1=(x-e),故y=x.
答案 x-ey=0
13.函數(shù)y=x3+x2-5x-5的單調(diào)遞增區(qū)間是________.
解析 由y′=3x2+2x-5>0得x<-,或x>1.
答案 ,(1,+∞)
14.若 (x-k)dx=,則實數(shù)k的值為________.
解析 ∫10(x-k)dx==-k=,
∴k=-1.
答案?。?
三、解答題(本大題共5小題,共54分.解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15.(10分)設函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8,其中a∈R.已知f(x)在x=3
8、處取得極值.
(1)求f(x)的解析式;
(2)求f(x)在點A(1,16)處的切線方程.
解 (1)f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a.
∵f(x)在x=3處取得極值,
∴f′(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0,
解得a=3.
∴f(x)=2x3-12x2+18x+8.
(2)A點在f(x)上,
由(1)可知f′(x)=6x2-24x+18,
f′(1)=6-24+18=0,
∴切線方程為y=16.
16.(10分)設函數(shù)f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0).
(1)當a=1時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在(0,1]上的最
9、大值為,求a的值.
解 函數(shù)f(x)的定義域為(0,2),
f′(x)=-+a.
(1)當a=1時,f′(x)=,
所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,),
單調(diào)遞減區(qū)間為(,2).
(2)當x∈(0,1]時,f′(x)=+a>0,
即f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在(0,1]上的最大值為f(1)=a,因此a=.
17.(10分)給定函數(shù)f(x)=-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+.
(1)求證:f(x)總有兩個極值點;
(2)若f(x)和g(x)有相同的極值點,求a的值.
(1)證明 因為f′(x)=x2-2ax+(a2-1)=[x-(a+1)]·[x-
10、(a-1)],
令f′(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.
當x0;
當a-1
11、函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1與x=2處都取得極值.
(1)求a,b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對x∈[-2,3],不等式f(x)+c0,解得x<-1或x>2.
∴f(x)的減區(qū)間為(-1,2),
增區(qū)間為(-∞,-1),(2,+∞).
(2)由(1)知,f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增;
在(-1,2)上單調(diào)遞減;在(2,+∞)上單調(diào)
12、遞增.
∴x∈[-2,3]時,f(x)的最大值即為
f(-1)與f(3)中的較大者.
f(-1)=+c,f(3)=-+c.
∴當x=-1時,f(x)取得最大值.
要使f(x)+cf(-1)+c,
即2c2>7+5c,解得c<-1或c>.
∴c的取值范圍為(-∞,-1)∪.
19.(12分)若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當x=2時,函數(shù)f(x)有極值-.
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)若方程f(x)=k有3個不同的根,求實數(shù)k的取值范圍.
解 f′(x)=3ax2-b.
(1)由題意得
解得
故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x3-4x+4.
(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f′(x)=0,得x=2或x=-2.
當x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
x
(-∞,-2)
-2
(-2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
-
因此,當x=-2時,
f(x)有極大值,
當x=2時,f(x)有極小值-,
所以函數(shù)f(x)=x3-4x+4的圖象大致如圖所示.
若f(x)=k有3個不同的根,則直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,所以-