《數(shù)學(xué)第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第二篇 熟練規(guī)范 中檔大題保高分 第23練 數(shù)列的證明、通項與求和 文(50頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二篇熟練規(guī)范中檔大題保高分第23練數(shù)列的證明、通項與求和明考情數(shù)列的通項與求和是高考的熱點,考查頻率較高.中檔難度,一般在解答題的前半部.知考向1.等差、等比數(shù)列的判定與證明.2.數(shù)列的通項與求和.研透考點核心考點突破練欄目索引規(guī)范解答模板答題規(guī)范練研透考點核心考點突破練考點一等差、等比數(shù)列的判定與證明方法技巧方法技巧判斷等差(比)數(shù)列的常用方法(2)中項公式法.(3)通項公式法.1.(2016全國)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11, (2an11)an2an10.(1)求a2,a3;解答123456(2)求an的通項公式.得2an1(an1)an(an1).解答1234562.已知數(shù)列
2、an滿足a11,a24,an23an12an(nN*).(1)設(shè)bnan12an,證明:數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列;證明證明因為an23an12an,所以an22an1an12an,又bnan12an,所以bn1an22an1,因此對任意的nN*,bn1bn0(常數(shù)),又bnan12anan2an1a22a120,根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義知,數(shù)列bn既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列.證明123456(2)求數(shù)列an的通項公式.解解方法一方法一由(1)知,an2an12,由an23an12an,得an2an12(an1an),又a2a13,所以數(shù)列an1an是首項為3,公比為2的等比數(shù)列,an
3、an132n2(n2),聯(lián)立得,an32n12(n2),經(jīng)檢驗當(dāng)n1時也符合該式.故數(shù)列an的通項公式為an32n12(nN*).方法二方法二由(1)可得an12an2,即an122(an2),所以數(shù)列an2是公比為2的等比數(shù)列,則an2(a12)2n132n1,即an32n12(nN*).解答1234563.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn2an(1)n(nN*).(1)求數(shù)列an的前三項a1,a2,a3;解解在Sn2an(1)n(nN*)中分別令n1,2,3,解答123456證明123456證明證明由Sn2an(1)n(nN*),得Sn12an1(1)n1(n2),兩式相減,得an2an
4、12(1)n(n2),1234564.(2016全國)Sn為等差數(shù)列an的前n項和,且a11,S728.記bnlg an,其中x表示不超過x的最大整數(shù),如0.90,lg 991.(1)求b1,b11,b101;解解設(shè)an的公差為d,據(jù)已知有721d28,解得d1.所以an的通項公式為ann.b1lg 10,b11lg 111,b101lg 1012.解答123456(2)求數(shù)列bn的前1 000項和.所以數(shù)列bn的前1 000項和為1902900311 893.1234解答56(1)求證:數(shù)列bn是等差數(shù)列,并求出數(shù)列an的通項公式;數(shù)列bn是公差為2的等差數(shù)列.123456證明數(shù)列cncn2
5、的前n項和為123456解答6.已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a11,an0,anan1Sn1,其中為常數(shù).(1)證明:an2an;證明證明由題設(shè)知,anan1Sn1,an1an2Sn11,兩式相減得an1(an2an)an1,由于an10,所以an2an.證明123456(2)是否存在,使得an為等差數(shù)列?并說明理由.解解由題設(shè)知,a11,a1a2S11,可得a21.由(1)知,a31.令2a2a1a3,解得4.故an2an4,由此可得a2n1是首項為1,公差為4的等差數(shù)列,a2n14n3;a2n是首項為3,公差為4的等差數(shù)列,a2n4n1.所以an2n1,an1an2,因此存在4,使得數(shù)列
6、an為等差數(shù)列.解答123456考點二數(shù)列的通項與求和方法技巧方法技巧(1)根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項的常用方法累加(乘)法形如an1anf(n)的數(shù)列,可用累加法;構(gòu)造數(shù)列法(2)數(shù)列求和的常用方法倒序相加法;分組求和法;錯位相減法;裂項相消法.(1)求數(shù)列an的通項公式;所以Sn2n2n.當(dāng)n2時,anSnSn12n2n2(n1)2(n1)4n3.而a11413滿足上式,所以an4n3,nN*.78解答9101112(2)若bn(1)nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.解答解解(分組求和法)由(1)可得bn(1)nan(1)n(4n3).當(dāng)n為奇數(shù)時,n1為偶數(shù),TnTn1bn12(n1)(4
7、n1)2n1.7891011128.設(shè)nN*,數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn1Snan2,已知a1,a2,a5成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項公式;789101112解解由Sn1Snan2,得an1an2(nN*),所以數(shù)列an是以a1為首項,2為公差的等差數(shù)列.由a1,a2,a5成等比數(shù)列,即(a12)2a1(a18),解得a11.所以an2n1(nN*).解答所以Tn121322523(2n1)2n, 2Tn122323(2n3)2n(2n1)2n1. 由可得Tn22(22232n)(2n1)2n1(2n3)2n16,所以Tn(2n3)2n16.解答7891011121an9.(201
8、7廣東汕頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,a12,an1Sn2. (1)求數(shù)列an的通項公式;解解an1Sn2,anSn12(n2).兩式作差得an1anSnSn1an,又當(dāng)n1時,a2S124,數(shù)列an是公比為2,首項為2的等比數(shù)列,ana1qn12n (nN*).789101112解答解答78910111210.(2016浙江)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,已知S24,an12Sn1,nN*.(1)求數(shù)列an的通項公式;解答又當(dāng)n2時,由an1an(2Sn1)(2Sn11)2an,得an13an.所以,數(shù)列an的通項公式為an3n1,nN*.789101112(2)求數(shù)列|ann2|的前
9、n項和.解解設(shè)bn|3n1n2|,nN*,b12,b21,當(dāng)n3時,由于3n1n2,故bn3n1n2,n3.設(shè)數(shù)列bn的前n項和為Tn,則T12,T23,當(dāng)x2時,滿足上式,解答789101112(1)求數(shù)列bn的通項公式;解答789101112789101112(2)設(shè)Sna1a2a2a3a3a4anan1,求Sn.所以Sna1a2a2a3anan1解答789101112證明789101112789101112789101112解答規(guī)范解答模板答題規(guī)范練例例(12分)下表是一個由n2個正數(shù)組成的數(shù)表, 用aij表示第i行第j個數(shù)(i, jN*),已知數(shù)表中第一列各數(shù)從上到下依次構(gòu)成等差數(shù)列,
10、每一行各數(shù)從左到右依次構(gòu)成等比數(shù)列,且公比都相等.已知a111,a31a619,a3548.a11a12a13a1na21a22a23a2na31a32a33a3n an1an2an3ann(1)求an1和a4n;模板體驗審題路線圖審題路線圖規(guī)范解答規(guī)范解答評分標(biāo)準(zhǔn)評分標(biāo)準(zhǔn)解解(1)設(shè)第1列依次組成的等差數(shù)列的公差為d,設(shè)每一行依次組成的等比數(shù)列的公比為q.依題意a31a61(12d)(15d)9,d1,an1a11(n1)d1(n1)1n.2分又a31a112d3,a35a31q43q448,又q0,q2.又a414,a4na41qn142n12n1.4分構(gòu)建答題模板構(gòu)建答題模板第一步找關(guān)系
11、找關(guān)系:根據(jù)已知條件確定數(shù)列的項之間的關(guān)系.第二步求通項求通項:根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項公式或利用累加、累乘法求數(shù)列的通項公式.第三步定方法定方法:根據(jù)數(shù)列表達式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(常用的有公式法、裂項相消法、錯位相減法、分組法等).第四步寫步驟寫步驟.第五步再反思再反思:檢查求和過程中各項的符號有無錯誤,用特殊項估算結(jié)果.1.(2017包頭一模)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn2an3n (nN*).(1)求a1,a2,a3的值;規(guī)范演練解解當(dāng)n1時,由S12a131,可得a13;當(dāng)n2時,由S22a232,可得a29;當(dāng)n3時,由S32a333,可得a321.12345解答(2)是
12、否存在常數(shù),使得數(shù)列an為等比數(shù)列?若存在,求出的值和通項公式an;若不存在,請說明理由.解解令(a2)2(a1)(a3),即(9)2(3)(21),解得3.由Sn2an3n及Sn12an13(n1),兩式相減,得an12an3.由以上結(jié)論得an13(2an3)32(an3),所以數(shù)列an3是首項為6,公比為2的等比數(shù)列,因此存在3,使得數(shù)列an3為等比數(shù)列,所以an3(a13)2n1,所以an3(2n1).12345解答2.設(shè)數(shù)列an滿足a12,an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項公式;解解由已知,當(dāng)n1時,an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)2
13、22(n+1)1.而a12,所以數(shù)列an的通項公式為an22n1.12345解答(2)令bnnan,求數(shù)列bn的前n項和Sn.解解(錯位相減法)由bnnann22n1知,Sn12223325n22n1,22Sn123225327n22n+1,得(122)Sn2232522n1n22n+1,12345解答(1)求an的通項公式;解解設(shè)數(shù)列an的公比為q.解得q2或q1.所以an2n1.12345解答12345解答4.已知數(shù)列an,a11,an2an11(n2,nN*).(1)求證:數(shù)列an1是等比數(shù)列;12345證明證明證明an12(an11)(n2),又a112,數(shù)列an1是以2為首項,2為公
14、比的等比數(shù)列.12345解解an12n,an2n1.解答12345證明5.已知數(shù)列an中,a11,a39,且anan1n1(n2).(1)求的值及數(shù)列an的通項公式;解解a11,anan1n1,a22,a351,由a3519,得2.于是anan12n1,即anan12n1,an1an22n3,an2an32n5,a2a13.12345解答(2)設(shè)bn(1)n(ann),且數(shù)列bn的前n項和為Sn,求S2n.解解由(1)得bn(1)n(ann)(1)nn(n1).故S2n122334455667(2n1)2n2n(2n1)2(13)4(35)6(57)2n(2n12n1)2(2462n)12345解答