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數(shù)學 第二章 函數(shù) 4 第2課時 二次函數(shù)的性質 北師大版必修1

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1、 第2課時二次函數(shù)的性質1函數(shù)的表示法函數(shù)的表示法 a的符號的符號性質性質a0a0圖像開口圖像開口方向方向 . . 核心必知核心必知 向上向上向下向下a的符號的符號性質性質a0a0單調區(qū)間單調區(qū)間遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為 .遞增區(qū)間為遞增區(qū)間為 ;遞減區(qū)間為遞減區(qū)間為 .最值最值ymin ,無最大值,無最大值ymax ,無最小值,無最小值b2a,b2a4acb24a4acb24a續(xù)表續(xù)表續(xù)表續(xù)表 a的符號的符號性質性質a0a0對稱軸對稱軸 .頂點坐標頂點坐標 .xb2ab2a,4acb24a注:記注:記ymax、ymin分別表示函數(shù)分別表示函數(shù)yf(x)的最大值、最小值的最

2、大值、最小值 1二次函數(shù)在其對稱軸的兩側單調性一定相反嗎?二次函數(shù)在其對稱軸的兩側單調性一定相反嗎? 2二次函數(shù)的最值一定在頂點取得嗎?二次函數(shù)的最值一定在頂點取得嗎?提示:yax2bxc(a0),在其對稱軸的兩側單調性一定相反,可以借助于二次函數(shù)的圖像進行說明提示:不一定,對于二次函數(shù)yax2bxc(a0)當xR時可以,但當x屬于某局部閉區(qū)間時,不一定 3對二次函數(shù)對二次函數(shù)yf(x),若滿足,若滿足f(ax)f(ax)(a0),則其,則其對稱軸方程是什么?對稱軸方程是什么?提示:xa. 問題思考問題思考 f(x)圖像的頂點坐標為3,214 ,對稱軸為 x3.單調增區(qū)間為3,),減區(qū)間為(,

3、3(2)法一:f72 418,又52372312,結合二次函數(shù)的對稱性可知,f52 f72 418.法二:函數(shù) f(x)的圖像關于 x3 對稱f(3x)f(3x)f52 f312 f312 f72 418.(3)f(x)在(,3上是單調遞減函數(shù),又15414f14 .(1)“配方法配方法”是研究二次函數(shù)圖像和性質的基本方法,是研究二次函數(shù)圖像和性質的基本方法,一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點式:一般先用配方法把二次函數(shù)解析式寫成頂點式:ya(xh)2k,進而確定頂點坐標為,進而確定頂點坐標為(h,k),對稱軸為,對稱軸為xh等其它等其它性質性質 (2)比較兩數(shù)值大小,可以先比較兩點離對稱

4、軸的距離的比較兩數(shù)值大小,可以先比較兩點離對稱軸的距離的大小,然后結合二次函數(shù)的開口方向,從而得到它們的大小大小,然后結合二次函數(shù)的開口方向,從而得到它們的大小關系,也可以將要比較的兩點轉化到同一單調區(qū)間上,利用關系,也可以將要比較的兩點轉化到同一單調區(qū)間上,利用函數(shù)的單調性比較它們的大小函數(shù)的單調性比較它們的大小.1函數(shù) f(x)4x2mx5 在區(qū)間2,)上是增函數(shù),求 f(1)的取值范圍解:二次函數(shù) f(x)4x2mx5 在區(qū)間2,)上是增函數(shù),且對稱軸是 xm8,m82,即 m16.f(1)4m5m925,f(1)25.(3)當 t1 時,f(x)在t,t1上單調遞增,所以當 xt時,f

5、(x)取得取小值,此時 g(t)f(t)t22t3.當 t1t1,即 0t1 時,f(x)在區(qū)間t,t1上先減再增,故當 x1 時,f(x)取得最小值,此時 g(t)f(1)2.當 t11,即 t0 時,f(t)在t,t1上單調遞減,所以當 xt1 時,f(x)取得最小值,此時 g(t)f(t1)t22,綜上得 g(t)t22t3t1,20t1,t22t0. 2已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x2(2a4)x2在在1,1內的最小值為內的最小值為g(a),求,求g(a)的解析式的解析式 3. 漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為漁場中魚群的最大養(yǎng)殖量為m噸,為保證魚群的生長空間,噸,為保證魚群的生長空間,實際養(yǎng)殖量

6、不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當?shù)目臻e量已實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量,必須留出適當?shù)目臻e量已知魚群的年增長量知魚群的年增長量y噸與實際養(yǎng)殖量噸與實際養(yǎng)殖量x噸和空閑率的乘積成正比,噸和空閑率的乘積成正比,比例系數(shù)為比例系數(shù)為k(k0) (1)寫出寫出y關于關于x的函數(shù)關系式,并求出定義域;的函數(shù)關系式,并求出定義域; (2)求魚群的年增長量的最大值;求魚群的年增長量的最大值; (3)當魚群的年增長量達到最大值時,求當魚群的年增長量達到最大值時,求k所應滿足的條件所應滿足的條件km0 且 0 xm,當 xm2時,ymaxkm4.(3)當 xm2時,ymaxkm4,又實際養(yǎng)殖量不能達到最大養(yǎng)殖量

7、,此時,需要m2km4m,解得 k2.又k0,0k2. 二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應用模型,是高考的重點二次函數(shù)模型是一種常見的函數(shù)應用模型,是高考的重點和熱點解題關鍵是列出二次函數(shù)解析式,即建立函數(shù)模型,和熱點解題關鍵是列出二次函數(shù)解析式,即建立函數(shù)模型,轉化為求二次函數(shù)的最值問題轉化為求二次函數(shù)的最值問題解:設客房日租金每間提高 2x 元,則每天客房出租數(shù)為30010 x,由 x0,且 30010 x0,得 0 x30.設客房租金總收入為 y 元,則有 y(202x)(30010 x)20(x10)28 000(0 x30)由二次函數(shù)的性質可知,當 x10 時,ymax8 000.所以當

8、每間客房日租金提高到 2010240 元時,客房租金總收入最高,為每天 8 000 元 3某農家旅游公司有客房某農家旅游公司有客房300間,每間日房租為間,每間日房租為20元,元,每天都客滿公司欲提高檔次,并提高租金,如果每間客房日每天都客滿公司欲提高檔次,并提高租金,如果每間客房日增加增加2元,客房出租數(shù)就會減少元,客房出租數(shù)就會減少10間若不考慮其他因素,旅游間若不考慮其他因素,旅游公司將客房日租金提高到多少時,每天客房的租金總收入最高?公司將客房日租金提高到多少時,每天客房的租金總收入最高?妙解設 f(x)的最小值為 g(a),則只需 g(a)0.(1)當a22,即 a4 時,g(a)f

9、(2)73a0,得 a73,又 a4,故此時 a 不存在已知已知f(x)x2ax3a,若,若x2,2,f(x)0恒成立,求恒成立,求a的取值范圍的取值范圍 巧思巧思要使要使f(x)0恒成立,只需恒成立,只需f(x)min0,即可將問題,即可將問題轉化為求轉化為求f(x)的最小值問題的最小值問題(2)當a22,2,即 a4,4時,g(a)fa2 3aa240,得6a2.又4a4,4a2.(3)當a22,即 a4 時,g(a)f(2)7a0,得 a7,又 a4,7a4.綜上知,a 的取值范圍是(7,2)1函數(shù) f(x)4x(x2)的頂點坐標和對稱軸方程分別是()A(2,4),x2B(1,5),x1

10、C(5,1),x1D(1,5),x5解析: 選Bf(x)=4x(x2)x22x4(x1)25,函數(shù) f(x)的圖像的頂點坐標為(1,5),對稱軸方程為 x1.2二次函數(shù) ya2x24x1 有最小值1,則 a 的值為()A. 2B 2C 2D2解析:選 C由題意4a2164a21,a22,a 2.3已知二次函數(shù) yf(x)在區(qū)間(,5上單調遞減,在區(qū)間5,)上單調遞增,則下列各式成立的是()Af(2)f(6)f(11)Bf(11)f(6)f(2)Cf(6)f(11)f(2)Df(11)f(2)f(6)4函數(shù) yx24x 的單調遞增區(qū)間是_5函數(shù)函數(shù)y3x26x1,x0,3的最大值是的最大值是_,

11、最小值是最小值是_解析:解析:y3(x1)22,該函數(shù)的圖像如下,該函數(shù)的圖像如下從圖像易知:從圖像易知:f(x)maxf(3)10, f(x)minf(1)2.答案:答案:102 6已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)x22ax2,x5,5 . (1)當當a1時,求函數(shù)時,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值;的最大值和最小值; (2)求實數(shù)求實數(shù)a的取值范圍,使函數(shù)的取值范圍,使函數(shù)yf(x)在在5,5上是單上是單調函數(shù)調函數(shù)解:(1)當 a1 時,f(x)x22x2(x1)21,x5,5,當 x1 時,f(x)的最小值為 1.當 x5 時,f(x)的最大值為 37.(2)函數(shù) f(x)(xa)22a2的圖像的對稱軸為 xa.f(x)在5,5上是單調函數(shù),a5,或a5,故 a 的取值范圍是 a5 或 a5.

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