《高三數(shù)學(xué)第一篇六 解析幾何 第3講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高三數(shù)學(xué)第一篇六 解析幾何 第3講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題 理（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第第3 3講講 圓錐曲線中的綜合問(wèn)題圓錐曲線中的綜合問(wèn)題考情分析考情分析總綱目錄考點(diǎn)一 范圍、最值問(wèn)題考點(diǎn)二 定點(diǎn)、定值問(wèn)題考點(diǎn)三 探索性問(wèn)題考點(diǎn)一 范圍、最值問(wèn)題典型例題典型例題(2017浙江,21,15分)如圖,已知拋物線x2=y,點(diǎn)A,B,拋物線上的點(diǎn)P(x,y).過(guò)點(diǎn)B作直線AP的垂線,垂足為Q.(1)求直線AP斜率的取值范圍;(2)求|PA|PQ|的最大值.1 1,2 43 9,2 41322x解析解析(1)設(shè)直線AP的斜率為k,k=x-,因?yàn)?xb0)的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,直線+=1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)直線+=1與y軸交于

2、P,過(guò)點(diǎn)P的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,若|2=|PA|PB|,求實(shí)數(shù)的取值范圍.22xa22yb4x2y4x2yPM由得x2-2x+4-3c2=0,直線+=1與橢圓E有且僅有一個(gè)交點(diǎn)M,=4-4(4-3c2)=0c2=1,橢圓E的方程為+=1.(2)由(1)得M,直線+=1與y軸交于P(0,2),|PM|2=,當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí),|PA|PB|=(2+)(2-)=1,222,43142xycxy4x2y24x23y31,24x2y5433解析解析(1)由題意,得a=2c,b=c,則橢圓E為+=1.3224xc223yc|PM|2=|PA|PB|=,當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí),設(shè)直線l的

3、方程為y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得(3+4k2)x2+16kx+4=0,依題意得,x1x2=,且=48(4k2-1)0,k2.|PA|PB|=(1+k2)x1x2=(1+k2)=1+=,=,k2,b0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.(1)求C的方程;(2)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過(guò)定點(diǎn).22xa22yb31,231,2因此解得故C的方程為+y2=1.(2)證明:設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2.如果l與x軸垂直,設(shè)l:x=t,由題設(shè)知t0

4、,且|t|+知,C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,所以點(diǎn)P2在C上.21a21b21a234b(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由題設(shè)可知=16(4k2-m2+1)0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由題設(shè)k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)+(m-1)=0.解得k=-.2841kmk 224441mk111yx221yx111kxmx221kxmx1212122(1)()kx xmxxx x224441mk2841kmk12m當(dāng)且僅當(dāng)m-1時(shí),0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2

5、),所以l過(guò)定點(diǎn)(2,-1).方法歸納方法歸納定點(diǎn)與定值問(wèn)題的求解策略(1)解決動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的一般思路是設(shè)出直線y=kx+m(k存在的情形),然后利用條件建立k與m的關(guān)系,借助于點(diǎn)斜式方程確定定點(diǎn)坐標(biāo).(2)定值的證明與探索一般是先利用特殊情形確定定值,再給出一般化的證明或直接推證得出與參數(shù)無(wú)關(guān)的數(shù)值.在這類(lèi)試題中選擇消元的方法是非常關(guān)鍵的.12m12m跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017寶雞質(zhì)量檢測(cè)(一)已知橢圓C:+=1(ab0)經(jīng)過(guò)(1,1)與兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),橢圓C上一點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|.求證:+為定值.22xa22yb63,2

6、221|OA21|OB22|OM解析解析(1)將(1,1)與代入橢圓C的方程,得 解得橢圓C的方程為+=1.(2)證明:由|MA|=|MB|知M在線段AB的垂直平分線上,由橢圓的對(duì)稱性知A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若點(diǎn)A、B是橢圓的短軸端點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),此時(shí)+=+=2=2.同理,若點(diǎn)A、B是橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),則點(diǎn)M是橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn),此時(shí)63,222222111,331,24abab223,3.2ab23x223y21|OA21|OB22|OM21b21b22a2211ab+=+=2=2.若點(diǎn)A、B、M不是橢圓的頂點(diǎn),設(shè)直線l的方程為y=kx(k0),則直線OM的方程為y=-x,設(shè)A(

7、x1,y1),B(x2,y2),由解得=,=,|OA|2=|OB|2=+=,同理,|OM|2=,所以+=2+=2.綜上,+=2,為定值.21|OA21|OB22|OM21a21a22b2211ab1k22,2133ykxxy21x2312k21y22312kk21x21y223(1)1 2kk223(1)2kk21|OA21|OB22|OM221 23(1)kk222(2)3(1)kk21|OA21|OB22|OM考點(diǎn)三 探索性問(wèn)題典型例題典型例題(2017武漢武昌調(diào)研考試)已知直線y=k(x-2)與拋物線:y2=x相交于A,B兩點(diǎn),M是線段AB的中點(diǎn),過(guò)M作y軸的垂線交于點(diǎn)N.(1)證明:拋

8、物線在點(diǎn)N處的切線與直線AB平行;(2)是否存在實(shí)數(shù)k使=0?若存在,求k的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析解析(1)證明:由消去y并整理,得2k2x2-(8k2+1)x+8k2=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=,x1x2=4,xM=,yM=k(xM-2)=k=.12NANB2(2),12yk xyx22812kk122xx22814kk228124kk14k由題設(shè)條件可知,yN=yM=,xN=2=,N.設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y-=m,將x=2y2代入上式,得2my2-y+-=0.直線l與拋物線相切,=(-1)2-42m=0,m=k,即lAB.(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)

9、k,使=0,則NANB.M是AB的中點(diǎn),|MN|=|AB|.由(1),得|AB|=|x1-x2|=14k2Ny218k211,84kk14k218xk14k28mk2148mkk22()mkkNANB1221k21k21212()4xxx x21k=.MNy軸,|MN|=|xM-xN|=-=.=,解得k=.故存在k=,使=0.方法歸納方法歸納解決探索性問(wèn)題的注意事項(xiàng)存在性問(wèn)題,先假設(shè)存在,推證滿足條件的結(jié)論,若結(jié)論正確,則存在,若結(jié)論不正確,則不存在.(1)當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí),要分類(lèi)討論.(2)當(dāng)給出結(jié)論要求推導(dǎo)出存在的條件時(shí),先假設(shè)成立,再推出條件.(3)當(dāng)條件和結(jié)論都未知,按常規(guī)方法解題

10、很難時(shí),要思維開(kāi)放,采取其他的途徑.222814 42kk 21k221612kk22814kk218k221618kk221618kk1221k221612kk1212NANB跟蹤集訓(xùn)跟蹤集訓(xùn)(2017蘭州診斷考試)已知橢圓C:+=1(ab0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,1),且離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)M,N是橢圓上的點(diǎn),直線OM與ON(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的斜率之積為-.若動(dòng)點(diǎn)P滿足=+2,試探究是否存在兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2,使得|PF1|+|PF2|為定值.若存在,求F1,F2的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析解析(1)e=,=,可得=,又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(,1),22xa22yb22212OPOMO

11、N2222ca1222ba122+=1,解得a2=4,b2=2.橢圓C的方程為+=1.(2)設(shè)P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),則由=+2得x=x1+2x2,y=y1+2y2,點(diǎn)M,N在橢圓+=1上,+2=4,+2=4,故x2+2y2=(+4x1x2+4)+2(+4y1y2+4)=(+2)+4(+2)+4(x1x2+2y1y2)=20+4(x1x2+2y1y2).kOMkON=-,x1x2+2y1y2=0.x2+2y2=20,22a21b24x22yOPOMON24x22y21x21y22x22y21x22x21y22y21x21y22x22y1212y yx x12故點(diǎn)P是橢

12、圓+=1上的點(diǎn).由橢圓的定義知存在點(diǎn)F1,F2滿足|PF1|+|PF2|=2=4,為定值,又|F1F2|=2=2,F1,F2的坐標(biāo)分別為(-,0),(,0).隨堂檢測(cè)(2017東北四市高考模擬)已知橢圓C:+y2=1(a1),B1,B2分別是其上、下頂點(diǎn),橢圓C的左焦點(diǎn)F1在以B1B2為直徑的圓上.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是,求|AB|的取值220 x210y20520 1010101022xa1,04隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)(2017東北四市高考模擬)已知橢圓C: +y2=1(a1),

13、B1,B2分別是其上、下頂點(diǎn),橢圓C的左焦點(diǎn)F1在以B1B2為直徑的圓上.(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F1且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A,B兩點(diǎn),線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)N,點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍是,求|AB|的取值范圍.22xa1,04解析解析(1)由題知b=c=1,a=,橢圓的方程為+y2=1.(2)設(shè)直線l:y=k(x+1),聯(lián)立方程得消去y,得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,記A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可得則y1+y2=k(x1+x2+2)=,設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,則Q,22bc222x22(1),1,2yk xxy212221224,2122,21kxxkkx xk 2221kk 2222,21 21kkkk直線QN的方程:y-=-=-x-,N,已知條件得-0,即02k21.|AB|=,02k21,1,|AB|,|AB|的取值范圍為.221kk 1k22221kxk1k2221kk 22,021kk142221kk 21k2222242242121kkkk 221121k122121k 3 2,2 223 2,2 22