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1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)教案示例北師大版（I） 課時安排 1課時 從容說課 本節(jié)在前兩節(jié)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)習(xí)用銳角三角函數(shù)解決實際問題,經(jīng)歷把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題的過程，提高應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力?因此本節(jié)選取了現(xiàn)實生活中的幾個題材：船右觸礁的危險嗎，小明測塔的高度，改變商場樓梯的安全性能等，使學(xué)生真正體會到三角函數(shù)在解決實際問題中必不可少的重要地位?提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣. 因此，本節(jié)的重點是讓學(xué)生親歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用，能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助計算器進(jìn)行三角函數(shù)的計算，并能進(jìn)一步對結(jié)果的意義進(jìn)行說明，

2、發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識和解決問題的能力?教學(xué)時，教師可讓學(xué)生在審清題意的基礎(chǔ)上，自己畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，這是本節(jié)課的重點也是難點.同時，讓學(xué)生對“三角學(xué)”的發(fā)展史有所了解. 第六課時 課題 §1.4船有觸礁的危險嗎 教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識點 1. 經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應(yīng)用 2. 能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，能夠借助于計算器進(jìn)行有關(guān)三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進(jìn)行說明. （二）能力訓(xùn)練要求 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力. （三）情感與價值觀要求 1?在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培

3、養(yǎng)獨立思考問題的習(xí)慣和克服困難的勇氣. 2?選擇生活中學(xué)生感興趣的題材，使學(xué)生能積極參與數(shù)學(xué)活動，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的欲望. 教具重點 1. 經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程，進(jìn)一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用 2. 發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和解決問題的能力. 教學(xué)難點 根據(jù)題意，了解有關(guān)術(shù)語，準(zhǔn)確地畫出示意圖. 教學(xué)方法 探索一一發(fā)現(xiàn)法 教具準(zhǔn)備 多媒體演示 教學(xué)過程 I?創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課 ［師］直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界?我們在欣賞了它神秘的“勾股”、知道了它的邊的關(guān)系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關(guān)系，它使我們

4、現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解?它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應(yīng)用，例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等. F面我們就來看一個問題（多媒體演示）. 海中有一個小島A,該島四周10海里內(nèi)有暗礁?今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達(dá)該島的南偏西25°的C處，之后，貨輪繼續(xù)往東航行，你認(rèn)為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進(jìn)行交流. 下面就請同學(xué)們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題.（板書：船有觸礁的危險嗎） II.講授新課 ［師］我們注意到題中有很多方位，在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的？ ［生］應(yīng)該是“上北下南，左西

5、右東”? ［師］請同學(xué)們根據(jù)題意在練習(xí)本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的 ［生］首先我們可將小島A確定，貨輪B在小島A的南偏西55°的B處,C在B的正東方，且在A南偏東25°處?示意圖如下. ［師］貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛，有沒有觸礁的危險，由誰來決定？ ［生］根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里，則無觸礁的危險，如果小于10海里則有觸礁的危險.A到BC所在直線的最短距離為過A作AD丄BC，D為垂足，即AD的長度?我們需根據(jù)題意，計算出AD的長度，然后與10海里比較. ［師］這位同學(xué)分析得很好，能將實際問題清晰條理

6、地轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題?下面我們就來看AD如何求?根據(jù)題意，有哪些已知條件呢？ ［生］已知BC°=20海里，ZBAD=55°,ZCAD=25°. ［師］在示意圖中，有兩個直角三角形RtAABD和RtAACD?你能在哪一個三角形中求出AD呢？ ［生］在RtAACD中，只知道ZCAD=25°，不能求AD. ［生］在RtAABD中，知道ZBAD=55°，雖然知道BC=20海里，但它不是RtAABD的邊,也不能求出AD. ［師］那該如何是好?是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮？ ［生］我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BC

7、=BD-CD.BD、CD的對角是已知的，BD、CD和邊AD都有聯(lián)系. ［師］有何聯(lián)系呢？ ［生］在RtAABD中，tan55°=,BD=ADtan55°；在Rt^ACD中，tan25°=,CD=ADtan25°. ［生］利用BC=BD-CD就可以列出關(guān)于AD的一元一次方程，即ADtan55°-ADtan25°=20. ［師］太棒了！沒想到方程在這個地方幫了我們的忙?其實，在解決數(shù)學(xué)問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學(xué)中最重要的數(shù)學(xué)思想之一. 下面我們一起完整地將這個題做完. ［師生共析］解：過A作BC的垂線，交BC于點D.得到RtAABD和RtAACD，從而B

8、D=ADtan55°,CD=ADtan25°，由BD-CD=BC，又BC=20海里.得ADtan55°-ADtan25°=20. AD(tan55°-tan25°)=20, AD=~20.79（海里）. 這樣AD~20.79海里〉10海里，所以貨輪沒有觸礁的危險. ［師］接下來，我們再來研究一個問題?還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度. 多媒體演示想一想你會更聰明：如圖，小明想測量塔CD的高度?他在A處仰望塔頂，測得仰角為30°，再往塔的方向前進(jìn)50m至B處.測得仰角為60°.那么該塔有多高？（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到

9、1m） ［師］我想請一位同學(xué)告訴我什么是仰角?在這個圖中，30°的仰角、60°的仰角分別指哪兩個角？ ［生］當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角.30°的仰角指ZDAC，60°的仰角指ZDBC. ［師］很好!請同學(xué)們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答 （教師留給學(xué)生充分的思考時間，感覺有困難的學(xué)生可給以指導(dǎo)） ［生］首先，我們可以注意到CD是兩個直角三角形RtAADC和RtABDC的公共邊，在Rt△ADC中，tan30°=， 即人。=在只七4BDC中，tan60°=,即BC=，又VAB=AC-BC=50m,得 -=50. 解得CD~43（m）, 即塔CD

10、的高度約為43m. ［生］我有一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應(yīng)考慮小明的身高. ［師］這位同學(xué)能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞?在實際測量時?的確應(yīng)該考慮小明的身高，更準(zhǔn)確一點應(yīng)考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 如果設(shè)小明測量時，眼睛離地面的距離為1.6m,其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少？你能畫出示意圖嗎？C ［生］示意圖如 右圖所示，由前面的/ 解答過程可知cc‘~忙血—瞥氣 43m,則CD=43+'"? 1.6=44.6m.即考慮小明的高度，塔的高度為44.6m. ［師］同學(xué)們的表現(xiàn)太棒了?現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題，想

11、請同學(xué)們幫忙解決 一下. 多媒體演示：某商場準(zhǔn)備改善原來樓梯的安全性能，把 傾角由40°減至35°, 已知原樓梯長為4m, 調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面?(結(jié)果精確到0.0lm) 請同學(xué)們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，(先獨立完成，然=?大、」.、人々宀*右士口、、,亠\“4 后相互交流，討論各自的想法) ［生］在這個問題中，要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量?根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖)?其中AB表示樓梯的高度.AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度.ZACB是原樓梯的傾角，

12、ZADB是調(diào)整后的樓梯的傾角?轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題即為： 如圖，AB丄DB，ZACB=40°，ZADB=35°，AC=4m.求AD-AC及DC的長度. ［師］這位同學(xué)把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問題?大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式?我相信同學(xué)們一定能用計算器輔助很快地解決它，開始吧！ ［生］解：由條件可知，在RtAABC中，sin40°=，即AB=4sin40°m,原樓梯占地長BC=4cos40°m. 調(diào)整后，在RtAADB中，sin35°=，則AD=m.樓梯占地長 DB=m. ???調(diào)整后樓梯加長AD-AC=-4~0.48(m)，樓梯比原來多占DC=DB-BC=-

13、4cos40°~0.61(m). III.隨堂練習(xí) 1.如圖，一燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40°夾角，且DB=5m，現(xiàn)再在C點上方2m處加固另一條鋼纜ED,那么鋼纜ED的長度為多少？ 解：在RtACBD中，ZCDB=40° 在RtAEDB中，DB=5m，BE=BC+EC=2+5sin40°(m). m， =，BC=DBsin40°=5sin40°(m). 根據(jù)勾股定理，得DEKDB2+BE2=曲2+(2+5sin40°)2~7.96(m). 所以鋼纜ED的長度為7.96m. 2?如圖，水庫大壩的截面是梯形ABCD，壩頂AD=6m,坡長CD=8m.坡底 D BC

14、=30m,ZADC=135°. (1) 求ZABC的大?。? (2) 如果壩長100m.那么建筑這個大壩共需多少土石料？(結(jié)果精確到0.01m3)解：過A、D分別作AE丄BC,DF丄BC,E、F為垂足. (1)在梯形ABCD中.ZADC=135°, .*.ZFDC=45°,EF=AD=6m.在RtAFDC中，DC=8m.DF=FC=CD.sin45°=4(m).

15、 ???BE=BC-CF-EF=30-4-6=24-4(m).在RtAAEB中，AE=DF=4(m).tanABC=~0.308. .??ZABC~17°8’21〃. (2)梯形ABCD的面積S=(AD+BC)XAE =(6+30)X4=72(m2). 壩長為100m,那么建筑這個大壩共需土石料100X72~10182.34血).綜上所述，ZABC=17°8’21〃，建筑大壩共需10182.34m3土石料. W.課時小結(jié) 本節(jié)課我們運用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關(guān)的實際問題，提高了我們分析和解決實際問題的能力. 其實，我們這一章所學(xué)的內(nèi)容屬于“三角學(xué)”的范疇?請同學(xué)們閱讀“

16、讀一讀”了解“三角學(xué)”的發(fā)展，相信你會對“三角學(xué)”更感興趣. V.課后作業(yè)習(xí)題1.6第1、2、3題. fid' 活動與探究 (xx年貴州貴陽)如圖，某貨船以20海里/時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨.此時?接到氣象部門通知，一臺風(fēng)中心正以40海里/時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風(fēng)中心200海里的圓形區(qū)域(包括邊界)均受到影響. (1) 問：B處是否會受到臺風(fēng)的影響?請說明理由. (2) 為避免受到臺風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時內(nèi)卸完貨物?(供選用數(shù)據(jù)：~1.4,~1.7) ［過程］這是一道需借助三角知識解決的應(yīng)用問題

17、，需抓住問題的本質(zhì)特征?在轉(zhuǎn)化、抽象成數(shù)學(xué)問題上下功夫. ［結(jié)果］(1)過點B作BD丄AC.垂足為D. 依題意，得ZBAC=30°，在RtAABD中，BD=AB=X20X16=160<200， ???B處會受到臺風(fēng)影響. (2)以點B為圓心，200海里為半徑畫圓交AC于E、F,由勾股定理可求得DE=120.AD=160. AE=AD-DE=160-120， ?=3.8(小時).因此，陔船應(yīng)在3.8小時內(nèi)卸完貨物. 板書設(shè)計 §1.4船有觸礁的危險嗎 一、船布觸礁的危險嗎 1?根據(jù)題意，畫出示意圖?將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題. 2. 用三角函數(shù)和方程的思想解決關(guān)于直角三角形的問題. 3. 解釋最后的結(jié)果. 二、測量塔高 三、改造樓梯