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1、選修選修4545不等式選講不等式選講-2-知識梳理雙基自測2341自測點評51.絕對值三角不等式(1)定理1:如果a,b是實數(shù),則|a+b|,當且僅當時,等號成立;(2)性質:|a|-|b|ab|a|+|b|;(3)定理2:如果a,b,c是實數(shù),則|a-c|,當且僅當時,等號成立.|a|+|b| ab0 |a-b|+|b-c| (a-b)(b-c)0 -3-知識梳理雙基自測自測點評234152.絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a的解法(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c;|ax+b|c.-cax+bc ax+bc或ax+b-c x|-a

2、xa,或x0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法法一:利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想;法二:利用“零點分段法”求解,體現(xiàn)了分類討論的思想;法三:通過構造函數(shù),利用函數(shù)的圖象求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.-5-知識梳理雙基自測自測點評23415-6-知識梳理雙基自測自測點評23415-7-知識梳理雙基自測自測點評234155.不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等.2-8-知識梳理雙基自測3415自測點評1.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)對于|a-b|a|+|b|,當且僅當ab0時等號成立.()(2)|a+b

3、|+|a-b|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數(shù)軸上的點x到點a,b的距離之和.()(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時假設為“a,b,c全不為0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm.() 答案 答案關閉(1)(2)(3)(4)(5)-9-知識梳理雙基自測自測點評23415A.2a3B.1a2C.1a3D.1a0)的不等式一般利用零點分段法求解.3.求函數(shù)y=|x-a|+|x-b|的最值問題,一般利用絕對值三角不等式,但要找出等號成立的條件,只有等號成立,才存在最值.-14-考點1考點2考點3考點4考點5例1(2017全國,文23)已知函數(shù)f(

4、x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)1的解集;(2)若不等式f(x)x2-x+m的解集非空,求m的取值范圍.思考絕對值不等式的常見解法有哪些?-15-考點1考點2考點3考點4考點5-16-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得絕對值不等式的常見解法有:(1)解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉化為一元一次不等式(組)或一元二次不等式(組)進行求解.(2)含有多個絕對值符號的不等式,一般可用零點分段法分類討論求解.(3)對于形如|x-a|+|x-b|m或|x-a|+|x-b|a的解集,可以作出函數(shù)f(x)的圖象,利用數(shù)形結合法求解.-17-考點1考點2考點3考點4考點

5、5對點訓練對點訓練1(2017全國,文23)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)當a=1時,求不等式f(x)g(x)的解集;(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含-1,1,求a的取值范圍.-18-考點1考點2考點3考點4考點5解: (1)當a=1時,不等式f(x)g(x)等價于x2-x+|x+1|+|x-1|-40.當x-1時,式化為x2-3x-40,無解;當-1x1時,式化為x2-x-20,從而-1x1;(2)當x-1,1時,g(x)=2.所以f(x)g(x)的解集包含-1,1,等價于當x-1,1時f(x)2恒成立.又f(x)在-1,1的最小值必為f

6、(-1)與f(1)之一,所以f(-1)2且f(1)2,得-1a1.所以a的取值范圍為-1,1.-19-考點1考點2考點3考點4考點5(1)證明:f(x)2;(2)若f(3)0.(1)當a=1時,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.思考求解含參數(shù)的絕對值不等式問題的常用基本方法是什么?-25-考點1考點2考點3考點4考點5-26-考點1考點2考點3考點4考點5解題心得求解含參數(shù)的絕對值不等式問題,常用的基本方法是根據(jù)絕對值的定義,分類討論去掉絕對值符號,轉化為分段函數(shù),再數(shù)形結合解決.-27-考點1考點2考點3考點4考點5-28-考點1考

7、點2考點3考點4考點5-29-考點1考點2考點3考點4考點5(1)求M;(2)證明:當a,bM時,|a+b|1+ab|.思考證明不等式常用的方法有哪些?-30-考點1考點2考點3考點4考點5-31-考點1考點2考點3考點4考點5(2)由(1)知,當a,bM時,-1a1,-1b1,從而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)0.因此|a+b|0,b0,a3+b3=2.證明:(1)(a+b)(a5+b5)4;(2)a+b2.-34-考點1考點2考點3考點4考點5解: (1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+a

8、b(a4+b4)=4+ab(a2-b2)24.(2)因為(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)當a=b時,取等號,所以(a+b)38,因此a+b2.-35-考點1考點2考點3考點4考點5例5已知a0,b0,c0,函數(shù)f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值為4.(1)求a+b+c的值;思考如何用柯西不等式證明不等式或求最值?解 (1)因為f(x)=|x+a|+|x-b|+c|(x+a)-(x-b)|+c=|a+b|+c,當且僅當-axb時,等號成立.又a0,b0,所以|a+b|=a+b,所以f(x)的最小值為a+b+c.又已知f(x)的最小值為4,所以a+b+c

9、=4.-36-考點1考點2考點3考點4考點5-37-考點1考點2考點3考點4考點5 解題心得1.用柯西不等式證明時,一般需要對不等式變形,使之與柯西不等式有相似的結構,然后根據(jù)柯西不等式的結構特征,用柯西不等式進行證明.-38-考點1考點2考點3考點4考點5對點訓練對點訓練5已知關于x的不等式|x+a|b的解集為x|2x4.(1)求實數(shù)a,b的值;-39-考點1考點2考點3考點4考點5-40-考點1考點2考點3考點4考點51.含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法(1)分離參數(shù)法:運用“f(x)a恒成立f(x)maxa,f(x)a恒成立f(x)mina”可解決恒成立中的參數(shù)范圍問題.(2)數(shù)形結

10、合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時,若能作出兩個函數(shù)的圖象,通過圖象的位置關系可直觀解決問題.2.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”討論去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b|a|+|b|及其推廣形式|a1+a2+an|a1|+|a2|+|an|.3.利用柯西不等式求最值,實質上就是利用柯西不等式進行放縮,放縮不當則等號可能不成立,因此,要切記檢驗等號成立的條件.-41-考點1考點2考點3考點4考點51.在解決有關絕對值不等式的問題時,充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解,要掌握分類討論的標準,做到不重不漏.2.在利用算術-幾何平均不等式或柯西不等式求最值時,要注意檢驗等號成立的條件,特別是多次使用不等式時,必須使等號同時成立.-42-思想方法利用算術-幾何平均不等式求最值利用算術-幾何平均不等式求最值是一種較為簡便的數(shù)學方法,也是不等式問題中的一個重要類型,它解決了利用均值不等式求最值范圍受限的問題,用此方法求最值關鍵要抓住算術-幾何平均不等式的結構特點和使用條件.-43-44-