《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明練習 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 推理與證明練習 新人教A版選修2-2（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二章 推理與證明 （時間：120分鐘，滿分：150分） 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.證明：＜1＋＋＋＋…＋＜n＋1（n＞1），當n＝2時，中間式子等于（　?。? A.1　　　　　　　　　　　 B.1＋ C.1＋＋ D.1＋＋＋ 解析：選D.n＝2時中間式子的最后一項為，所以中間式子為1＋＋＋. 2.用反證法證明命題：“若函數(shù)f（x）＝x2＋px＋q，那么|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于”時，反設正確的是（　?。? A.假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都不小于 B.假設

2、|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于 C.假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有兩個小于 D.假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|至多有一個小于 解析：選B.“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|中至少有一個不小于”的反設為“|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于”. 3.設x＞0，則不等式x＋≥2，x＋≥3，x＋≥4，…，推廣到x＋≥n＋1，則a＝（　?。? A.2n B.2n C.n2 D.nn 解析：選D.結合已知的三個不等式可以發(fā)現(xiàn)第二個加數(shù)的分子是分母x的指數(shù)的指數(shù)次方，可得a＝nn. 4.下面是一段“三段論”推理過程：

3、若函數(shù)f（x）在（a，b）內可導且單調遞增，則在（a，b）內，f′（x）>0恒成立.因為f（x）＝x3在（－1，1）內可導且單調遞增，所以在（－1，1）內，f′（x）＝3x2>0恒成立.以上推理中（　?。? A.大前提錯誤 B.小前提錯誤 C.結論正確 D.推理形式錯誤 解析：選A.f（x）在（a，b）內可導且單調遞增，則在（a，b）內，f′（x）≥0恒成立，故大前提錯誤，故選A. 5.用數(shù)學歸納法證明：1＋＋＋…＋＝時，由n＝k到n＝k＋1左邊需要添加的項是（　?。? A. B. C. D. 解析：選D.由n＝k到n＝k＋1時，左邊需要添加的項是＝.故選D. 6.

4、分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明：“設a>b>c，且a＋b＋c＝0，求證 0 B.a－c<0 C.（a－b）（a－c）>0 D.（a－b）（a－c）<0 解析：選C.要證明 0，即證（a－c）（2a＋c）>0， 即證（a－c）（a－b）>0. 7.若＝＝，則△ABC是（　?。? A.等邊三角形 B.有一個內角是30°的直角三角形 C.等腰直角三角形 D.有一個內角是30°的等腰三角形 解析：選C.因為＝＝，

5、由正弦定理得， ＝＝， 所以＝＝＝. 所以sin B＝cos B，sin C＝cos C， 所以∠B＝∠C＝45°， 所以△ABC是等腰直角三角形. 8.已知f（x）＝x3＋x，a，b，c∈R，且a＋b＞0，a＋c＞0，b＋c＞0，則f（a）＋f（b）＋f（c）的值一定（　?。? A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.正負都可能 解析：選A.f（x）為奇函數(shù)，也是增函數(shù)，因此由a＋b＞0可得a＞－b，所以f（a）＞f（－b），即f（a）＞－f（b），于是f（a）＋f（b）＞0，同理，f（a）＋f（c）＞0，f（b）＋f（c）＞0，所以f（a）＋f（b）＋f（c）＞0.

6、 9.我們把平面中的結論“到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓”拓展至空間中為“到定點的距離等于定長的點的軌跡是球”，類似可得：已知A（－1，0，0），B（1，0，0），則點集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡描述正確的是（　　） A.以A，B為焦點的雙曲線繞軸旋轉而成的旋轉曲面 B.以A，B為焦點的橢球體 C.以A，B為焦點的雙曲線單支繞軸旋轉而成的旋轉曲面 D.以上都不對 解析：選C.在平面中，點集{P（x，y）||PA|－|PB|＝1}是以A，B為焦點的雙曲線的一支，點集{P（x，y，z）||PA|－|PB|＝1}在空間中的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線單

7、支繞軸旋轉而成的旋轉曲面，故選C. 10.我國古代數(shù)學家祖暅提出體積的計算原理（祖暅原理）：“冪勢既同，則積不容異”.“勢”是高，“冪”是截面積.意思是：如果兩個等高的幾何體在同高處截得兩幾何體的截面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等.類比祖暅原理，如圖所示，在平面直角坐標系中，區(qū)域①是一個形狀不規(guī)則的封閉圖形，區(qū)域②是一個上底長為1、下底長為2的梯形，且當實數(shù)t取[0，3]上的任意值時，直線y＝t被區(qū)域①和區(qū)域②所截得的兩線段長總相等，則區(qū)域①的面積為（　?。? A.4 B. C.5 D. 解析：選B.根據(jù)題意，由祖暅原理分析可得①的面積等于②的面積，又②是一個上底長為1

8、、下底長為2的梯形，所以①的面積為＝. 11.已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），…，則第60個“整數(shù)對”是（　　） A.（7，5） B.（5，7） C.（2，10） D.（10，2） 解析：選B.依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有個“整數(shù)對”，注意到<60<，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組（每個“整數(shù)對”的和為12的組）的第5個位置，結合題意可知每個“整數(shù)對”

9、的和為12的組中的各對數(shù)依次為：（1，11），（2，10），（3，9），（4，8），（5，7），…，因此第60個“整數(shù)對”是（5，7）. 12.如果△A1B1C1的三個內角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內角的正弦值，則（　?。? A.△A1B1C1和△A2B2C2都是銳角三角形 B.△A1B1C1和△A2B2C2都是鈍角三角形 C.△A1B1C1是鈍角三角形，△A2B2C2是銳角三角形 D.△A1B1C1是銳角三角形，△A2B2C2是鈍角三角形 解析：選D.因為三角形內角的正弦值是正值，所以△A1B1C1的三個內角的余弦值均大于0.因此△A1B1C1是銳角三角形. 假設△A2

10、B2C2也是銳角三角形，并設cos A1＝sin A2，則cos A1＝cos （90°－∠A2）， 所以∠A1＝90°－∠A2. 同理設cos B1＝sin B2，cos C1＝sin C2， 則有∠B1＝90°－∠B2，∠C1＝90°－∠C2. 又∠A1＋∠B1＋∠C1＝180°， 所以（90°－∠A2）＋（90°－∠B2）＋（90°－∠C2）＝180°， 即∠A2＋∠B2＋∠C2＝90°. 這與三角形內角和等于180°矛盾， 所以原假設不成立.若△A2B2C2是直角三角形，不妨設A2＝，則sin A2＝1＝cos A1，而A1在（0，π）內無解.故選D. 二、填空題：本

11、題共4小題，每小題5分. 13.補充下列證明過程： 要證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac（a，b，c∈R），即證　　　　　　　，即證　　　　　　?。? 因為a，b，c為實數(shù)，上式顯然成立，故命題結論成立. 答案：2（a2＋b2＋c2）≥2ab＋2bc＋2ac （a－b）2＋（b－c）2＋（a－c）2≥0 14.已知a＝，函數(shù)f（x）＝ax，若實數(shù)m，n滿足f（m）>f（n），則m，n的大小關系為　　　　Ｗ. 解析：因為當0f（n）得m

12、卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是　　　?。? 解析：為方便說明，不妨將分別寫有1和2，1和3，2和3的卡片記為A，B，C.從丙出發(fā)，由于丙的卡片上的數(shù)字之和不是5，則丙只可能是卡片A或B，無論是哪一張，均含有數(shù)字1，再由乙與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2，知甲所拿的卡片為B，此時丙所拿的卡片為A. 答案：1和3 16.如圖所示

13、的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調和三角形”，它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的，第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為（n≥2），每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和，如＝＋，＝＋，＝＋，…，則第7行第4個數(shù)（從左往右數(shù)）為　　　　　?。? 　 　　 　　　 　　　　 … 解析：由“第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為”可知，第7行第1個數(shù)為，由“每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和”可知，第7行第2個數(shù)為－＝.同理易知，第7行第3個數(shù)為－＝，第7行第4個數(shù)為－＝. 答案： 三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 17.（本小題滿分10分）定義在[－1，1]上的奇函數(shù)f（x），當a，b∈[－1，1]

14、，a＋b≠0時，有＞0.證明：函數(shù)f（x）的圖象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直. 證明：假設函數(shù)f（x）的圖象上存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直，則A，B兩點的縱坐標相同. 設它們的橫坐標分別為x1和x2，x1＜x2，且x1，x2∈[－1，1]，則f（x1）＝f（x2）. 又f（x）是奇函數(shù)，所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝[x1＋（－x2）]. 又由題意，得＞0，且x1＋（－x2）＜0， 所以f（x1）＋f（－x2）＜0，即f（x1）－f（x2）＜0， 這與f（x1）＝f（x2）矛盾，故假設不成立， 即函數(shù)f（x）的圖

15、象上不存在兩個不同的點A，B，使直線AB恰好與y軸垂直. 18.（本小題滿分12分）已知：A，B都是銳角，且A＋B≠90°，（1＋tan A）（1＋tan B）＝2.求證：A＋B＝45°. 證明：因為（1＋tan A）（1＋tan B）＝2， 展開化簡為tan A＋tan B＝1－tan Atan B. 因為A＋B≠90°，tan（A＋B）＝＝1. 又因為A，B都是銳角， 所以0°＜A＋B＜180°.所以A＋B＝45°. 19.（本小題滿分12分）已知a＞0，b＞0，2c＞a＋b，求證：c－＜a＜c＋. 證明：要證c－＜a＜c＋. 只需證－＜a－c＜， 即證|a－c|＜，

16、 只需證（a－c）2＜（）2， 只需證a2－2ac＋c2＜c2－ab， 即證2ac＞a2＋ab，因為a＞0，所以只需證2c＞a＋b. 因為2c＞a＋b已知， 所以原不等式成立. 20.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點（點D不同于點C），且AD⊥DE，F(xiàn)為B1C1的中點. 求證：（1）平面ADE⊥平面BCC1B1； （2）直線A1F∥平面ADE. 證明：（1）因為ABC-A1B1C1是直三棱柱， 所以CC1⊥平面ABC. 因為AD?平面ABC，所以CC1⊥AD. 因為AD⊥DE，CC1，DE?平

17、面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1. 因為AD?平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. （2）因為A1B1＝A1C1，F(xiàn)為B1C1的中點， 所以A1F⊥B1C1， 因為CC1⊥平面A1B1C1，且A1F?平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 因為CC1，B1C1?平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由（1）知AD⊥平面BCC1B1， 所以A1F∥AD. 因為AD?平面ADE，A1F?平面ADE， 所以A1F∥平面ADE. 21.（本小題滿分12分）設函數(shù)f（x）＝x3＋，x∈[0，1]

18、.證明：（1）f（x）≥1－x＋x2； （2）， 所以f（x）>. 綜上，