3、
[解析] 從A處到B處的電路接通可分兩步：第一步，前一個并聯(lián)電路接通有2條線路；第二步，后一個并聯(lián)電路接通有3條線路．由分步乘法計數(shù)原理知電路從A處到B處接通時，可構(gòu)成線路的條數(shù)為2×3＝6，故選B.
[答案] B
5．一個禮堂有4個門，若從任一個門進，從任一個門出，共有不同走法( )
A．8種 B．12種 C．16種 D．24種
[解析] 從任一個門進有4種不同走法，從任一個門出也有4種不同走法，故共有4×4＝16種不同走法．
[答案] C
6．某班元旦晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個新節(jié)目，如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法的種數(shù)為__
4、______．
[解析] 將第一個新節(jié)目插入5個節(jié)目排成的節(jié)目單中有6種插入方法，再將第二個新節(jié)目插入到剛排好的6個節(jié)目排成的節(jié)目單中有7種插入方法，利用分步乘法計數(shù)原理，共有6×7＝42種插入方法．
[答案] 42
題組三 兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用
7．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有( )
A．24對 B．30對 C．48對 D．60對
[解析] 與正方體的一個面上的一條對角線成60°角的對角線有8條，故共有8對，正方體的12條面對角線共有96對，且每對均重復(fù)計算一次，故共有＝48對．
[答案] C
8．已知集合A＝{2,4,6,8
5、,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，組成數(shù)對(m，n)，問：(1)有多少個不同的數(shù)對？
(2)其中所取兩數(shù)m>n的數(shù)對有多少個？
[解] (1)∵集合A＝{2,4,6,8,10}，B＝{1,3,5,7,9}，在A中任取一元素m和在B中任取一元素n，組成數(shù)對(m，n)，先選出m有5種結(jié)果，再選出n有5種結(jié)果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知共有5×5＝25個不同的數(shù)對．
(2)在(1)中的25個數(shù)對中所取兩數(shù)m>n的數(shù)對可以分類來解，當m＝2時，n＝1，有1種結(jié)果；當m＝4時，n＝1,3有2種結(jié)果；當m＝6時，n＝1,3,5有3種結(jié)果；當m＝8時，n＝1,3
6、,5,7有4種結(jié)果；當m＝10時，n＝1,3,5,7,9有5種結(jié)果．綜上所述共有1＋2＋3＋4＋5＝15種結(jié)果．
9．某公園休息處東面有8個空閑的凳子，西面有6個空閑的凳子，小明與爸爸來這里休息．
(1)若小明爸爸任選一個凳子坐下(小明不坐)，有幾種坐法？
(2)若小明與爸爸分別就坐，有多少種坐法？
[解] (1)小明爸爸選凳子可以分兩類：
第一類，選東面的空閑凳子，有8種坐法；
第二類，選西面的空閑凳子，有6種坐法．
根據(jù)分類加法計數(shù)原理，小明爸爸共有8＋6＝14種坐法．
(2)小明與爸爸分別就坐，可以分兩步完成：
第一步，小明先就坐，從東西面共8＋6＝14個凳子中選一個坐
7、下，共有14種坐法；(小明坐下后，空閑凳子數(shù)變成13)
第二步，小明爸爸再就坐，從東西面共13個空閑凳子中選一個坐下，共13種坐法．
由分步乘法計數(shù)原理，小明與爸爸分別就坐共有14×13＝182種坐法．
綜合提升練(時間25分鐘)
一、選擇題
1．有5列火車停在某車站并排的5條軌道上，若火車A不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有( )
A．96種 B．24種 C．120種 D．12種
[解析] 先排第1道，有4種排法，第2,3,4,5道各有4,3,2,1種，由分步乘法計數(shù)原理知共有4×4×3×2×1＝96種停車方法．
[答案] A
2．將3封不同的信投到4個不同
8、的郵箱，則不同的投法種數(shù)為( )
A．7 B．12 C．81 D．64
[解析] 第一步，第一封信可以投到4個郵箱，有4種投法；第二步，第二封信可以投到4個郵箱，有4種投法；第三步，第三封信可以投到4個郵箱，有4種投法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的投法的種數(shù)為4×4×4＝64，選D.
[答案] D
3．在某校的運動會上，小明、小亮與小林三人爭奪跳高、跳遠、擲標槍、擲鉛球四個運動項目的冠軍，那么不同的奪冠情況的種數(shù)為( )
A．24 B．6 C．81 D．64
[解析] 第一步，跳高冠軍可以是三人中的任一人，有3種情況；第二步，跳遠冠軍可以是三人中的任一人，有3種情
9、況；第三步，擲標槍冠軍可以是三人中的任一人，有3種情況；第四步，擲鉛球冠軍可以是三人中的任一人，有3種情況．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，得不同的奪冠情況的種數(shù)為3×3×3×3＝81，選C.
[答案] C
二、填空題
4．用數(shù)字1,2組成一個四位數(shù)，則數(shù)字1,2都出現(xiàn)的四位偶數(shù)有________個．
[解析] 由四位數(shù)是偶數(shù)，知最后一位是2.在四位數(shù)中，當出現(xiàn)1個1時，有1222,2122,2212，共3個，當出現(xiàn)2個1時，有1122,1212,2112，共3個，當出現(xiàn)3個1時，只有1112這1個四位偶數(shù)，故數(shù)字1,2都出現(xiàn)的四位偶數(shù)有3＋3＋1＝7(個)．
[答案] 7
5．如圖所示，在
10、連接正八邊形的三個頂點而成的三角形中與正八邊形有公共邊的三角形有________個．
[解析] 滿足條件的有兩類：
第一類：與正八邊形有兩條公共邊的三角形有m1＝8(個)；
第二類：與正八邊形有一條公共邊的三角形有m2＝8×4＝32(個)，所以滿足條件的三角形共有8＋32＝40(個)．
[答案] 40
三、解答題
6．現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．
(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？
(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？
(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？
(4)要從甲、
11、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？
[解] (1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有5＋2＋7＝14(種)不同的選法．
(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫分別有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70(種)不同的選法．
(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫．由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10(種)不同的選法；
第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35(種)不同的選法；
第三類是一幅
12、選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14(種)不同的選法，所以共有10＋35＋14＝59(種)不同的選法．
(4)從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成：第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種類是N＝3×2＝6.
7．現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人，他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組．
(1)選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？
(2)每班選一名組長，有多少種不同的選法？
(3)推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級
13、，有多少種不同的選法？
[解] (1)分四類：第一類，從一班學(xué)生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學(xué)生中選1人，有8種選法；第三類，從三班學(xué)生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學(xué)生中選1人，有10種選法．
所以，共有不同的選法N＝7＋8＋9＋10＝34(種)．
(2)分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長．
所以，共有不同的選法N＝7×8×9×10＝5040(種)．
(3)分六類，每類又分兩步：從一、二班學(xué)生中各選1人，有7×8種不同的選法；從一、三班學(xué)生中各選1人，有7×9種不同的選法；從一、四班學(xué)生中各選1人，有7×10種不同的選法；從二、三班學(xué)生中各選1人，有8×9種不同的選法；從二、四班學(xué)生中各選1人，有8×10種不同的選法；從三、四班學(xué)生中各選1人，有9×10種不同的選法．
所以，共有不同的選法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(種)．
5
2018-2019年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 課時跟蹤訓(xùn)練1 兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用 新人教A版選修2-3
