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1、第五課 考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學抽象 角度1　概率與頻率 【典例1】對一批U盤進行抽檢，結(jié)果如下表： 抽出件數(shù)a 50 100 200 300 400 500 次品件數(shù)b 3 4 5 5 8 9 次品頻率 (1)計算表中次品的頻率. (2)從這批U盤中任意抽取一個是次品的概率約是多少？ (3)為保證買到次品的顧客能夠及時更換，要銷售2 000個U盤，至少需進貨多少個U盤？ 【解析】(1)表中次品頻率從左到右依次為0.06，0.04，0.025，0.017，0.02，0.018. (2)當抽取件數(shù)a越來越大時，出現(xiàn)

2、次品的頻率在0.02附近擺動，所以從這批U盤中任意抽取一個是次品的概率約是0.02. (3)設(shè)需要進貨x個U盤，為保證其中有2 000個正品U盤，則x(1-0.02)≥2 000，因為x是正整數(shù)，所以x≥2 041，即至少需進貨2 041個U盤. 【類題·通】 頻率是概率的近似值，是隨機的，隨著試驗的不同而變化；概率是多次的試驗中頻率的穩(wěn)定值，是一個常數(shù)，不要用一次或少數(shù)次試驗中的頻率來估計概率.【加練·固】 　　 某射擊運動員為備戰(zhàn)奧運會，在相同條件下進行射擊訓練，結(jié)果如下： 射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500 擊中靶心 次數(shù)m 8 19 4

3、4 92 178 455 擊中靶心 的頻率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91 (1)該射擊運動員射擊一次，擊中靶心的概率大約是多少？ (2)假如該射擊運動員射擊了300次，則擊中靶心的次數(shù)大約是多少？ (3)假如該射擊運動員射擊了300次，前270次都擊中靶心，那么后30次一定都擊不中靶心嗎？ (4)假如該射擊運動員射擊了10次，前9次中有8次擊中靶心，那么第10次一定擊中靶心嗎？ 【解析】(1)由題意得，擊中靶心的頻率與0.9接近，故概率約為0.9. (2)擊中靶心的次數(shù)大約為300×0.9=270. (3)由概率的意義可知概率是個

4、常數(shù)，不因試驗次數(shù)的變化而變化.后30次中，每次擊中靶心的概率仍是0.9，所以不一定擊不中靶心. (4)不一定. 角度2　互斥事件與對立事件的概率 【典例2】(1)(2019·全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制(當一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4∶1獲勝的概率是________.? (2)(2019·江蘇高考)從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，則選出的2名同學中至少有1名女同學的概率是______

5、__.? 【解析】(1)前五場中有一場客場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.63×0.5 ×0.5×2=0.108， 前五場中有一場主場輸時，甲隊以4∶1獲勝的概率是0.4×0.62×0.52×2= 0.072， 綜上所述，甲隊以4∶1獲勝的概率是P=0.108+0.072=0.18. 答案：0.18 (2)方法一：從3名男同學和2名女同學中任選2名同學參加志愿者服務，共有=10種情況.若選出的2名學生恰有1名女生，有=6種情況， 若選出的2名學生都是女生，有=1種情況， 所以所求的概率為=. 方法二：P=1-=1-=. 答案： 【類題·通】 互斥事件與對立事件概率的

6、計算 1.若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 2.設(shè)事件A的對立事件是，則P(A)=1-P(). 【加練·固】 　　 甲、乙兩人參加普法知識競賽，共有5個不同題目，選擇題3個，判斷題2個，甲、乙兩人各抽一題. (1)甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題的概率是多少？ (2)甲、乙兩人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？ 【解析】把3個選擇題記為x1，x2，x3，2個判斷題記為p1，p2.“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的情況有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p

7、1)，(x3，p2)，共6種； “甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的情況有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6種； “甲、乙都抽到選擇題”的情況有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6種；“甲、乙都抽到判斷題”的情況有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2種. 因此基本事件的總數(shù)為6+6+6+2=20. (1)“甲抽到選擇題，乙抽到判斷題”的概率為=，“甲抽到判斷題，乙抽到選擇題”的概率為=，故“甲、乙兩人中有一個抽到選擇題，另一個抽到判斷題”的概率為+=.

8、(2)“甲、乙兩人都抽到判斷題”的概率為=，故“甲、乙兩人至少有一人抽到選擇題”的概率為1-=. 素養(yǎng)二　數(shù)學運算 角度1　古典概型 【典例3】某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S=x+y+z評價該產(chǎn)品的等級.若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品.現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標 (x，y，z) (1，1，2) (2，1，1) (2，2，2) (1，1，1) (1，2，1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標 (x，y，z) (1，2，2)

9、 (2，1，1) (2，2，1) (1，1，1) (2，1，2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率. (2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品. ①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； ②設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率. 【解析】(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為=0

10、.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品，試驗的樣本空間Ω={(A1，A2)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A1，A9)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A2，A9)，(A4，A5)，(A4，A7)，(A4，A9)，(A5，A7)，(A5，A9)，(A7，A9)}共15個樣本點. ②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B包含的樣本點有：(A1，A2)，(A1，A5)，(A1，A7)，(A2，A5)，(A2，A7)，(A5，A7)，共6個樣本點. 所以P(B)

11、==. 【類題·通】 古典概型及其解法 1.古典概型是一種最基本的概率模型，也是學習其他概率模型的基礎(chǔ)，在高考題中，經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時要緊緊抓住古典概型的兩個基本特征，即有限性和等可能性. 2.在求古典概型問題的概率時，往往需要我們將所有基本事件一一列舉出來，以便確定基本事件總數(shù)及事件所包含的基本事件數(shù).這就是我們常說的窮舉法.在列舉時應注意按一定的規(guī)律、標準，不重不漏. 【加練·固】 　　 甲、乙兩校各有3名教師報名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女. (1)若從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師性別相同的概率. (2)

12、若從報名的6名教師中任選2名，寫出所有可能的結(jié)果，并求選出的2名教師來自同一所學校的概率. 【解析】(1)甲校2名男教師分別用A，B表示，1名女教師用C表示；乙校1名男教師用D表示，2名女教師分別用E，F(xiàn)表示. 從甲校和乙校報名的教師中各任選1名，試驗的樣本空間Ω={(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))}，共9個樣本點. 事件“從中選出2名教師性別相同”包含的樣本點有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，共4種，所以選出的2名教師性別相同的概率為P=. (2)從甲校和乙校報名的6名教師中任選2名，試驗的樣

13、本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))}，共15個樣本點.從中選出2名教師來自同一所學校包含的樣本點有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))，共6個樣本點，所以選出的2名教師來自同一所學校的概率為P==. 角度2　概率統(tǒng)計的綜合應用 【典例4】某中學組織了一次數(shù)學學業(yè)水平模擬測試，學校從測試合格的男、女生中各隨機抽取100人的成績進行統(tǒng)計分析，分別制成了如圖所示的男生和女生數(shù)學成績的頻率分布直方圖.

14、 (注：分組區(qū)間為[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]) (1)若得分大于或等于80認定為優(yōu)秀，則男、女生的優(yōu)秀人數(shù)各為多少？ (2)在(1)中所述的優(yōu)秀學生中用分層抽樣的方法抽取5人，從這5人中任意選取2人，求至少有一名男生的概率. 【解析】(1)由題可得，男生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.01+0.02)×10=30，女生優(yōu)秀人數(shù)為100×(0.015+0.03)×10=45. (2)因為樣本量與總體中的個體數(shù)的比是=，所以樣本中包含的男生人數(shù)為30×=2，女生人數(shù)為45×=3. 設(shè)抽取的5人分別為A，B， C， D，E，其中A，B為男生，C， D，E為女

15、生，從5人中任意選取2人，試驗的樣本空間Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E) }，共10個樣本點. 事件“至少有一名男生”包含的樣本點有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，共7個樣本點，故至少有一名男生的概率為P=，即選取的2人中至少有一名男生的概率為. 【類題·通】 求解古典概型的交匯問題一般步驟 1.將題目條件中的相關(guān)知識轉(zhuǎn)化為事件； 2.判斷事件是否為古典概型； 3.選用合適的方法確定基本事件個數(shù)； 4.代入古典概型的概率公式求解. 【

16、加練·固】 　　 甲、乙兩組各四名同學的植樹棵數(shù)如下，甲：9，9，11，11，乙：X，8，9，10，其中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，以X表示. (1)如果X=8，求乙組同學植樹棵數(shù)的平均數(shù)和方差. (2)如果X=9，分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，求這兩名同學的植樹總棵數(shù)為19的概率. 【解析】(1)當X=8時，乙組四名同學的植樹棵數(shù)分別是8，8，9，10， 故==， s2=× =. (2)當X=9時，記甲組四名同學分別為A1，A2，A3，A4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，9，11，11；乙組四名同學分別為B1，B2，B3，B4，他們植樹的棵數(shù)依次為9，8，9，10.分別從甲、乙兩組中隨機選取一名同學，試驗的樣本空間Ω={(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A4，B4)}，共16個樣本點.設(shè)“選出的兩名同學的植樹總棵數(shù)為19”為事件C，則事件C中包含的樣本點有(A1，B4)，(A2，B4)，(A3，B2)，(A4，B2)，共4個.故P(C)==. - 8 -