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1、 第四課 考點突破·素養(yǎng)提升 素養(yǎng)一　數(shù)學運算 角度1　指數(shù)、對數(shù)的運算 【典例1】(1)計算(0.064-++16-0.75+(0.01, (2)計算:10-log98·log4. (3)設(shè)3x=4y=36,求+的值. 【解析】(1)原式=0.4-1-1+(-2)-4+2-3+0.1=-1+++=. (2)10-log98·log4 =10lg 9÷10lg 4-·=-· =-=2. (3)因為3x=36,4y=36,所以x=log336,y=log436, 由換底公式得x==, y==,所以=log363,=log364,所以+=2log363+log364=lo

2、g36(32×4) =log3636=1. 【類題·通】 1.指數(shù)的運算 注意化簡順序,一般負指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為分數(shù)指數(shù)冪運算.另外,若出現(xiàn)分式,則要注意對分子、分母因式分解以達到約分的目的. 2.底數(shù)相同的對數(shù)式化簡的兩種基本方法 (1)“收”:將同底的兩對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù). (2)“拆”:將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差). 【加練·固】 1.計算:log89·log2732-()lg 1+log535-log57=________.? 【解析】log89·log2732-()lg 1+log535-log57=×-1+log5=×-1+1=.

3、 答案: 2.計算:+(0.002-10(-2)-1+. 【解析】原式=(-1+-+1=+(500-10+1= +10-10-20+1=-. 角度2　求函數(shù)的零點 【典例2】函數(shù)f(x)=的零點的個數(shù)為______.? 【解析】當x≤0時,令2x2-x-1=0,解得x=-(x=1舍去);當x>0時,令3x-4=0,解得x=log34,所以函數(shù)f(x)=有2個零點. 答案:2 【類題·通】 函數(shù)零點的求法 求函數(shù)的零點即解相應方程的根,一般多涉及二次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程等,解二次方程一般需要用到十字相乘法、求根公式,指數(shù)、對數(shù)方程往往需要用到指數(shù)與對數(shù)的互化等. 【加練

4、·固】 函數(shù)f(x)=的零點為________.? 【解析】當x≤0時,令x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1(舍去),當x>0時,令-2+ln x=0, 即ln x=2,解得x=e2. 答案:-3,e2 角度3　　函數(shù)零點、方程的根所在區(qū)間的判斷 【典例3】方程log3x+x=3的根所在的區(qū)間為 (　　) A.(0,2)　　　B.(1,2)　　　C.(2,3)　　　D.(3,4) 【解析】選C.令f(x)=log3x+x-3, 則f(x)在(0,+∞)上是連續(xù)的,且是單調(diào)遞增的, f(2)=log32+2-3=log3<0, f(3)=log33+3-3=1>0,

5、 所以方程log3x+x=3的解所在的區(qū)間為(2,3). 【類題·通】 函數(shù)零點存在定理的應用 (1)函數(shù)的零點、方程的根所在區(qū)間判斷的依據(jù)是零點存在定理,即在區(qū)間(a,b)上是否有f(a)f(b)<0. (2)端點值為指數(shù)、對數(shù)形式時,需要利用指數(shù)、對數(shù)的單調(diào)性、相應的運算性質(zhì)比較大小,以確定正負. (3)特別地,在區(qū)間(0,a]上,對數(shù)函數(shù)y=logax,當a>1,x→0時,y→-∞;當0

6、(　　) A.(0,1)　　 B.(1,2)　　 C.(2,4)　　 D.(4,+∞) 【解析】選C.由題意知,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是連續(xù)的,且是單調(diào)遞減.f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0,f(4)=-log24=-2=-<0. 由零點存在性定理可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,4)上必存在零點. 素養(yǎng)二　直觀想象 角度1　基本初等函數(shù)的圖象問題 【典例4】已知a>0且a≠1,函數(shù)y=,y=logax,y=x+a在同一坐標系中的圖象可能是 (　　) 【解析】選B.當a>1時,那么0<<1,y=是減函數(shù),y=logax是增函數(shù).y=x+a與y軸的交點大于1,

7、此時沒有圖象滿足; 當01,y=是增函數(shù), y=logax是減函數(shù).y=x+a與y軸的交點在0與1之間,此時圖象B滿足. 【類題·通】 函數(shù)圖象的畫法 畫法 應用范圍 畫法技巧 基本 函數(shù) 法 基本初等函數(shù) 利用一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的有關(guān)知識,畫出特殊點(線),直接根據(jù)函數(shù)的圖象特征作出圖象 變換法 與基本初等函數(shù)有關(guān)聯(lián)的函數(shù) 弄清所給函數(shù)與基本初等函數(shù)的關(guān)系,恰當選擇平移、對稱等變換方法,由基本初等函數(shù)圖象變換得到函數(shù)圖象 描點法 未知函數(shù)或較復雜的函數(shù) 列表、描點、連線 角度2　數(shù)形結(jié)合思想的應用

8、 【典例5】已知f(x)=g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在兩個零點,則m的取值范圍是 (　　) A.[-1,+∞)　　　　　　 B.[-1,0) C.[0,+∞) D.[1,+∞) 【解析】選A. g(x)=f(x)+x+m,若g(x)存在兩個零點,可得g(x)=0,即f(x)=-x-m有兩個不等實根,即有函數(shù)y=f(x)和直線y=-x-m有兩個交點,作出y=f(x)的圖象和直線y=-x-m, 當-m≤1,即m≥-1時,y=f(x)和y=-x-m有兩個交點. 【延伸探究】 本題若改為方程f(x)+x+m=0有唯一的根,試求m的范圍. 【解析】方程f(x)

9、+x+m=0有唯一的根, 即方程f(x)=-x-m有唯一的根, 令g(x)=-x-m,作出函數(shù)f(x),g(x)的圖象如圖,當-m>1,m<-1時,兩函數(shù)的圖象有唯一的交點,故當m<-1時,方程f(x)+x+m=0有唯一的根. 【類題·通】 數(shù)形結(jié)合巧解與函數(shù)零點和方程的解有關(guān)的問題 (1)依據(jù):方程f(x)=0的實根、函數(shù)f(x)的零點和函數(shù)f(x)與x軸交點的橫坐標可實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化. (2)題型:①確定零點或方程的根所在區(qū)間 構(gòu)建函數(shù)模型,先由圖象分析出零點或方程的根的大致范圍,再由零點存在性定理,求出精確范圍. ②確定零點或方程根的個數(shù) 靈活構(gòu)造函數(shù)(目標是所構(gòu)造的函數(shù)圖

10、象容易畫出),轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點個數(shù)問題.如本例中g(shù)(x)=f(x)+x+m有兩個零點,轉(zhuǎn)化為g(x)的圖象與x軸有兩個交點.此時g(x)的圖象不易畫出,于是轉(zhuǎn)化為y=f(x)與y=-x-m的圖象交點個數(shù)問題. 【加練·固】 已知函數(shù)f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R).若方程f(x)=-x有三個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】由函數(shù)f(x)=|x-2|-|x|+m(m∈R),方程f(x)=-x有三個不同的解, 等價于g(x)=|x-2|-|x|的圖象與直線y=-x-m有3個不相同的交點,如圖: 直線y=-x-m經(jīng)過A(0,2)時,m=-2;當直線經(jīng)過B(2,-2)

11、時,m=0,于是由題意可得-2

12、大小. 【解析】因為2>a=log37>1,b=21.1>2,c=0.83.1<1,所以cb>0,0cb 【解析】選B.方法一:對于A

13、,當a=3,b=2,c=時, loga c=log3=-log32>-1, logbc=log2=-1, 故logac>logbc.故A不成立. 對于B,因為0b>0,所以logcabc,所以C不成立. 對于D,因為0b>0,所以calog2,排除A;=2>,排除C;<,排除D. 角度2　基本初等函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 【典

14、例7】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞減,若a=f(log25),b=f(log24.1),c=f(20.8),則a,b,c的大小關(guān)系為 (　　) A.a

15、象等性質(zhì)的綜合應用,一般是先由函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化,再利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的性質(zhì)解題. 【加練·固】 已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù),若f(2m-1)+f(m-2)≥0,則m的取值范圍為 (　　) A.m>1　　　　　 B.m≥1 C.m<1 D.m≤1 【解析】選B.因為函數(shù)f(x)=的定義域為R,且是奇函數(shù),所以f(0)==0,即a=-1.所以f(x)==2x-,因為2x在(-∞,+∞)上為增函數(shù),所以函數(shù)f(x)=2x-在(-∞,+∞)上為增函數(shù),由f(2m-1)+f(m-2)≥0,得f(2m-1)≥f(-m+2),所以2m-1≥-m+2,可得m≥1.所以

16、m的取值范圍為m≥1. 素養(yǎng)四　數(shù)學建模 角度　函數(shù)模型的應用 【典例8】某漁業(yè)公司最近開發(fā)的一種新型淡水養(yǎng)蝦技術(shù)具有方法簡便且經(jīng)濟效益好的特點,研究表明:用該技術(shù)進行淡水養(yǎng)蝦時,在一定的條件下,每尾蝦的平均生長速度為 g(x) (單位:千克/年),養(yǎng)殖密度為 x(單位:尾/立方分米),x>0 ,當 x 不超過4時,g(x) 的值恒為2;當4≤x≤20,g(x) 是 x 的一次函數(shù),且當x達到20時,因養(yǎng)殖空間受限等原因,g(x)的值為0. (1)當 0

17、≤x≤20時,設(shè)g(x)=kx+b, 由條件可知解得: 所以g(x)= (2)f(x)= 所以f(x)在(0,10]上單調(diào)遞增,在(10,20]上單調(diào)遞減,所以f(x)的最大值為f(10)=. 【類題·通】 建模的三個原則 (1)簡化原則:建立模型,要對原型進行一定的簡化,抓主要因素、主變量,盡量建立較低階、較簡便的模型. (2)可推演原則:建立的模型一定要有意義,既能對其進行理論分析,又能計算和推理,且能推演出正確結(jié)果. (3)反映性原則:建立的模型必須真實地反映原型的特征和關(guān)系,即應與原型具有“相似性”,所得模型的解應具有說明現(xiàn)實問題的功能,能回到具體研究對象中去解決問題

18、. 【加練·固】 通過實驗數(shù)據(jù)可知,某液體的蒸發(fā)速度y(單位:升/小時)與液體所處環(huán)境的溫度x(單位:℃)近似地滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e為自然對數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該液體在0 ℃的蒸發(fā)速度是0.1升/小時,在30 ℃的蒸發(fā)速度為0.8升/小時,則該液體在20 ℃的蒸發(fā)速度為________升/小時.? 【解析】根據(jù)題意得,當x=0時,y=0.1,即eb=0.1,當x=30時,y=0.8,即e30k+b=0.8,所以e30k=8,所以e10k=2, 當x=20時,y=e20k+b=e20k·eb=(e10k)2·eb=22×0.1=0.4,即液體在20 ℃的蒸發(fā)速度是0.4升/小時. 答案:0.4 10