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1、第15講 線段、角、相交線與平行線考點(diǎn)1 直線、射線、線段直線公理經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，有且只有 條直線.線段公理兩點(diǎn)之間，線段最 .兩點(diǎn)間的距離連接兩點(diǎn)間的線段的 ，叫做兩點(diǎn)間的距離.考點(diǎn)2 角角的概念定義1有公共端點(diǎn)的兩條 組成的圖形叫做角.定義2一條 繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫做角.互為余角定義如果兩個(gè)角的和等于 ，則這兩個(gè)角互余.性質(zhì)同角(或等角)的余角 .互為補(bǔ)角定義如果兩個(gè)角的和等于 ，則這兩個(gè)角互補(bǔ).性質(zhì)同角(或等角)的補(bǔ)角 .考點(diǎn)3 相交線對(duì)頂角對(duì)頂角相等.垂直性質(zhì)1過(guò)一點(diǎn)有且只有 條直線與已知直線垂直.性質(zhì)2直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中， 最短.點(diǎn)到直

2、線的距離直線外一點(diǎn)到這條直線的 的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離.考點(diǎn)4 角的平分線與線段的垂直平分線角的平分線線段的垂直平分線性質(zhì)角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離 .線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離 .判定角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在 上.與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的 上.考點(diǎn)5 平行線平行線的概念在同一平面內(nèi)， 的兩條直線叫做平行線.平行公理經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有 條直線與已知直線平行.平行公理的推論如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也 .平行線的判定同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.平行線的性質(zhì)兩直線平行，同位角

3、相等.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).平行線間的距離定義過(guò)平行線上的一點(diǎn)作另一條平行線的垂線， 的長(zhǎng)度叫做兩條平行線間的距離.性質(zhì)兩條平行線間的距離處處 .考點(diǎn)6 命題命題的概念判斷一件事情的句子叫做命題.命題的分類命題分為 命題和 命題.命題的組成命題由 和 兩個(gè)部分組成. 1.若某條直線上有n個(gè)點(diǎn)，則線段的總條數(shù)為條(n為大于或等于2的整數(shù))；在角的內(nèi)部從角的頂點(diǎn)引n條射線，可以得到個(gè)角. 2.“兩點(diǎn)之間線段最短”、“垂線段最短”在解決最短路徑問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.命題點(diǎn)1 角的有關(guān)計(jì)算例1 (2013福州)如圖，OAOB，若1=40，則2的度數(shù)是( )A.20 B.40 C.

4、50 D.60方法歸納：計(jì)算角度時(shí)，通常結(jié)合幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)來(lái)找出已知角度與所求角度中的數(shù)量關(guān)系.1.下列四個(gè)角中，最有可能與70角互補(bǔ)的是( )2.如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，E是AOD內(nèi)一點(diǎn)，已知OEAB，BOD=45，則COE的度數(shù)是( )A.125 B.135 C.145 D.1553.(2014濱州)如圖，OB是AOC的角平分線，OD是COE的角平分線.如果AOB=40，COE=60，則BOD的度數(shù)為( )A.50 B.60 C.65 D.70命題點(diǎn)2 角平分線的性質(zhì)與判定例2 (2013湘西)如圖，RtABC中，C=90，AD平分CAB，DEAB于E，若AC=6，BC=8

5、，CD=3.(1)求DE的長(zhǎng)；(2)求ADB的面積.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，DE=CD，從而可得DE的長(zhǎng)；(2)利用勾股定理先求AB的長(zhǎng)，再根據(jù)面積公式計(jì)算.【解答】方法歸納：解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)等量代換把要求的邊轉(zhuǎn)化為已知的邊的長(zhǎng).1.(2014巴中)如圖，CF是ABC的外角ACM的平分線，且CFAB，ACF=50，則B的度數(shù)為( )A.80 B.40 C.60 D.502.如圖，OP平分AOB，PAOA,PBOB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是( )A.PA=PB B.PO平分APB C.OA=OB D.AB垂直平分OP3.(2013泉州)如圖，

6、AOB=70，QCOA于C，QDOB于D，若QC=QD，則AOQ= .命題點(diǎn)3 線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定例3 (2013仙桃改編)如圖，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6 cm，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)E，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)N，交AC于點(diǎn)F，求MN的長(zhǎng).【思路點(diǎn)撥】連接MA、NA.根據(jù)垂直平分線性質(zhì)得出等腰三角形CAN和MAB，從而說(shuō)明AMN是等邊三角形，找出MN與BC的關(guān)系求出MN的長(zhǎng).【解答】方法歸納：解答這類題的關(guān)鍵是要通過(guò)作輔助線構(gòu)造垂直平分線模型來(lái)溝通各邊或者各角之間的關(guān)系，從而達(dá)到化繁為簡(jiǎn)，化難為易的目的.1.(2014十堰)如圖，在平行四邊形

7、ABCD中，AB=4，BC=6，AC的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，則CDE的周長(zhǎng)是( )A.7 B.10 C.11 D.122.(2013義烏)如圖，ADBC于點(diǎn)D，D為BC的中點(diǎn)，連接AB，ABC的平分線交AD于點(diǎn)O，連接OC，若AOC125，則ABC .3.(2014汕尾)如圖，在RtABC中，B=90，分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧相交于點(diǎn)M、N，連接MN，與AC、BC分別交于點(diǎn)D、E，連接AE.(1)求ADE(直接寫(xiě)出結(jié)果)；(2)當(dāng)AB=3，AC=5時(shí)，求ABE的周長(zhǎng).命題點(diǎn)4 平行線的性質(zhì)和判定例4 (2013重慶)如圖，直線a，b，c，d，已知ca,cb，直線b，c，d交

8、于一點(diǎn)，若1=50，則2等于( )A.60 B.50 C.40 D.30方法歸納：運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)的關(guān)鍵點(diǎn)都是“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”這三對(duì)位置角的等量關(guān)系.1.(2014德州)如圖，AD是EAC的平分線，ADBC，B30，則C為( )A.30 B.60 C.80 D.1202.(2014孝感)如圖，直線l1l2，l3l4，1=44，那么2的度數(shù)為( )A.46 B.44 C.36 D.223.(2014梅州)如圖，把一塊含有45角的直角三角板兩個(gè)頂點(diǎn)放在直尺的對(duì)邊上，如果1=20，則2的度數(shù)是( )A.15 B.20 C.25 D.304.(2014淄博)如圖，直線ab,點(diǎn)B在直線

9、b上，且ABBC,1=55，求2的度數(shù).1.(2014金華)如圖，經(jīng)過(guò)刨平的木板上的兩個(gè)點(diǎn)，能彈出一條筆直的墨線，而且只能彈出一條墨線，能解釋這一實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是( )A.兩點(diǎn)確定一條直線B.兩點(diǎn)之間，線段最短C.垂線段最短D.在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直2.(2014長(zhǎng)沙)如圖，C、D是線段AB上的兩點(diǎn)，且D是線段AC的中點(diǎn)，若AB=10 cm,BC=4 cm,則AD的長(zhǎng)為( )A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm3.(2014濟(jì)寧)把一條彎曲的公路改成直道，可以縮短路程.用幾何知識(shí)解釋其道理正確的是( )A.兩點(diǎn)確定一條直線 B.垂線段最短C.兩

10、點(diǎn)之間線段最短 D.三角形兩邊之和大于第三邊4.(2014濱州)如圖，是我們學(xué)過(guò)的用直尺畫(huà)平行線的方法示意圖，畫(huà)圖原理是( )A.同位角相等，兩直線平行 B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行C.兩直線平行，同位角相等 D.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等5.(2014十堰)如圖，直線mn，則為( )A.70 B.65 C.50 D.406.(2014河南)如圖，直線AB、CD相交于O，射線OM平分AOC,ONOM,若AOM=35，則CON的度數(shù)為( )A.35 B.45 C.55 D.657.(2014汕尾)如圖，能判定EBAC的條件是( )A.C=ABE B.A=EBD C.C=ABC D.A=ABE8.(20

11、14白銀)如圖，將直角三角尺的直角頂點(diǎn)靠在直尺上，且斜邊與這根直尺平行.圖中與互余的角共有( )A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)9.(2014荊門(mén))如圖，ABED,AG平分BAC,ECF=70, 則FAG的度數(shù)是( )A.155 B.145 C.110 D.3510.(2014泰安)在ABC和A1B1C1中，下列四個(gè)命題：(1)若AB=A1B1，AC=A1C1,A=A1，則ABCA1B1C1；(2)若AB=A1B1，AC=A1C1,B=B1，則ABCA1B1C1；(3)若A=A1，C=C1，則ABCA1B1C1；(4)若ACA1C1=CBC1B1,C=C1，則ABCA1B1C1.其中真命

12、題的個(gè)數(shù)為( )A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)11.(2014廣安)若的補(bǔ)角為7628,則= .12.(2014廣州)已知命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等.”寫(xiě)出它的逆命題： ，該逆命題是 命題(填“真”或“假”).13. (2013長(zhǎng)沙)如圖，BD是ABC的平分線，P是BD上的一點(diǎn)，PEBA于點(diǎn)E，PE=4 cm,則點(diǎn)P到邊BC的距離為 _cm.14.(2014威海)直線l1l2，一塊含45角的直角三角板如圖所示放置，185，則2 .15.(2014鹽城)如圖，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，DEAC，AFBC，170，則2 .16.如圖，CD與BE互相垂直平分，A

13、DDB,BDE=70，則CAD= .17.(2014益陽(yáng))如圖，EFBC，AC平分BAF，B=80.求C的度數(shù).18.如圖，線段AB=4，點(diǎn)O是線段AB上一點(diǎn)，C、D分別是線段OA、OB的中點(diǎn)，小明據(jù)此很輕松地求得CD=2.他在反思過(guò)程中突發(fā)奇想：若點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，原有的結(jié)論“CD=2”是否仍然成立？請(qǐng)幫小明畫(huà)出圖形并說(shuō)明理由.19.(2014泰安)把一直尺放置在一個(gè)三角形紙片上，則下列結(jié)論正確的是( )A.1+6180 B.2+5180 C.3+418020.(2014鄂州)如圖，直線ab,直角三角形如圖放置，DCB=90，若1+B=70，則2的度數(shù)為( )A.20 B.40 C

14、.30 D.2521.(2013綏化)如圖所示，以O(shè)為端點(diǎn)畫(huà)六條射線OA、OB、OC、OD、OE、OF后，再?gòu)纳渚€OA上某點(diǎn)開(kāi)始按逆時(shí)針?lè)较蛞来卧谏渚€上描點(diǎn)并連線，若將各條射線上所描的點(diǎn)依次記為1、2、3、4、5、6、7、8，那么所描的第2 015個(gè)點(diǎn)在射線 上.22.(2014梅州)如圖，在RtABC中，B=90，分別以A、C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，作直線MN，與AC交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連接AE.(1)ADE= ；(2)AE CE(填“”“”或“=”)(3)AB=3，AC=5時(shí)，ABE的周長(zhǎng)是 .23.(2013寧夏模擬)平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)

15、系.(1)如圖1，若ABCD，點(diǎn)P在AB、CD外部，則有B=BOD，又因BOD是POD的外角，故BOD=BPD+D，得BPD=B-D.將點(diǎn)P移到AB、CD內(nèi)部，如圖2，以上結(jié)論是否成立？若成立，說(shuō)明理由；若不成立，則BPD、B、D之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)證明你的結(jié)論；(2)在圖2中，將直線AB繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度交直線CD于點(diǎn)Q，如圖3，則BPD、B、D、BQD之間有何數(shù)量關(guān)系？(不需證明)參考答案考點(diǎn)解讀一 短 長(zhǎng)度 射線 射線 90 相等 180 相等 一垂線段 垂線段 相等 相等 角的平分線 垂直平分線 不相交一 平行 垂線段 相等 真 假 題設(shè) 結(jié)論各個(gè)擊破例1 C題組訓(xùn)練 1.D

16、 2.B 3.D例2 (1)在RtABC中，C=90，ACCD.又AD平分CAB，DEAB，DE=CD.又CD=3，DE=3.(2)在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=10,SADB=ABDE=103=15.題組訓(xùn)練 1.D 2.D 3.35例3 連接MA、NA.AB的垂直平分線交BC于M，AC的垂直平分線交BC于N，BM=AM，CN=AN，MAB=B，CAN=C.BAC=120，AB=AC，B=C=30,BAM+CAN=60，AMN=ANM=60，AMN是等邊三角形,AM=AN=MN，BM=MN=NC，MN=BC=2 cm.題組訓(xùn)練 1.B 2.703.(1)ADE=90.(

17、2)在RtABC中，B=90，AB=3，AC=5，BC=4.又MN為AC的垂直平分線，AE=EC.CABE=AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=7.例4 B題組訓(xùn)練 1.A 2.A 3.C4.設(shè)直線b與BC所交的另一個(gè)銳角為3.ABBC,1+3=90.1=55,3=35.ab,2=3=35.整合集訓(xùn)1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.B 10.B 11.1034212.如果兩個(gè)角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等 假13.4 14.40 15.70 16.70 17.EFBC,BAF=180-B=100.AC平分BAF,CAF=BAF=50.EFBC，C=CAF=50.18.仍然成立，C，D分別是線段OA，OB的中點(diǎn)，OC=OA，OD=OB.CD=OC-OD=OA-OB=(OA-OB)=AB=2.19.D 20.A 21.OE 22.(1)90 (2)= (3)723.(1)不成立，結(jié)論是BPD=B+D.證明：延長(zhǎng)BP交CD于點(diǎn)E.ABCD，B=BED.又BPD=BED+D，BPD=B+D.(2)結(jié)論：BPD=BQD+B+D.11