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1、新定義問題新定義題型的構(gòu)造注重學(xué)生數(shù)學(xué)思考的過程及不同認知階段特征的表現(xiàn)其內(nèi)部邏輯構(gòu)造呈現(xiàn)出比較嚴謹、整體性強的特點其問題模型可以表示為閱讀材料、研究對象、給出條件、需要完成認識而規(guī)律探究、方法運用、學(xué)習(xí)策略等則是“條件”隱形存在的“魂”這種新定義問題雖然在構(gòu)造方式上“五花八門”，但是經(jīng)過整理也能發(fā)現(xiàn)它們存在著一定的規(guī)律新定義題型是北京中考最后一題的熱點題型“該類題從題型上看，有展示全貌，留空補缺的；有說明解題理由的；有要求歸納規(guī)律再解決問題的；有理解新概念再解決新問題的，等等這類試題不來源于課本且高于課本，結(jié)構(gòu)獨特北京第25題分析北京第29題分析年份20142015考點新定義問題先學(xué)習(xí)后判斷

2、，函數(shù)綜合給出新定義，學(xué)習(xí)，應(yīng)用12015北京 在平面直角坐標系xOy中，C的半徑為r，P是與圓心C不重合的點，點P關(guān)于O的反稱點的定義如下：若在射線CP上存在一點P，滿足CPCP2r，則稱P為點P關(guān)于C的反稱點，如圖Z101為點P及其關(guān)于C的反稱點P的示意圖(1)當(dāng)O的半徑為1時分別判斷點M(2，1)，N(，0)，T(1，)關(guān)于O的反稱點是否存在，若存在，求其坐標；點P在直線yx2上，若點P關(guān)于O的反稱點P存在，且點P不在x軸上，求點P的橫坐標的取值范圍(2)當(dāng)C的圓心在x軸上，且半徑為1，直線yx2 與x軸、y軸分別交于點A，B.若線段AB上存在點P，使得點P關(guān)于C的反稱點P在C的內(nèi)部，求

3、圓心C的橫坐標的取值范圍圖Z10122014北京 對某一個函數(shù)給出如下定義：若存在實數(shù)M0，對于任意的函數(shù)值y，都滿足MyM，則稱這個函數(shù)是有界函數(shù)在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數(shù)的邊界值例如，圖Z102中的函數(shù)是有界函數(shù)，其邊界值是1.(1)分別判斷函數(shù)y(x0)和yx1(4a)的邊界值是2，且這個函數(shù)的最大值也是2，求b的取值范圍；(3)將函數(shù)yx2(1xm，m0)的圖象向下平移m個單位長度，得到的函數(shù)的邊界值是t，當(dāng)m在什么范圍時，滿足t1?圖Z10232013北京 對于平面直角坐標系xOy中的點P和C，給出如下定義：若C上存在兩個點A，B，使得APB60，則稱P為C的關(guān)聯(lián)點已

4、知點D(，)，E(0，2)，F(xiàn)(2 ，0)(1)當(dāng)O的半徑為1時，在點D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點是_；過點F作直線l交y軸正半軸于點G，使GFO30，若直線l上的點P(m，n)是O的關(guān)聯(lián)點，求m的取值范圍；(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，求這個圓的半徑r的取值范圍圖Z10342012北京 在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：若|x1x2|y1y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1x2|；若|x1x2|y1y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1y2|.例如：點P1(1，2)，點P2(3，5)，因為|

5、13|25|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|25|3，也就是圖Z104(a)中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值(點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點)(1)已知點A(，0)，B為y軸上的一個動點若點A與點B的“非常距離”為2，寫出一個滿足條件的點B的坐標；直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值(2)已知C是直線yx3上的一個動點，如圖(b)，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點C的坐標如圖(c)，E是以原點O為圓心，1為半徑的圓上的一個動點，求點C與點E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點E和點C的坐標圖Z10412015平谷一模 b

6、是任意兩個不等實數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式axb的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為a，b對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當(dāng)mxn時，有myn，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間m，n上的“閉函數(shù)”如函數(shù)yx4，當(dāng)x1時，y3；當(dāng)x3時，y1，即當(dāng)1x3時，有1y3，所以說函數(shù)yx4是閉區(qū)間1，3上的“閉函數(shù)”(1)反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”嗎？請判斷并說明理由；(2)若二次函數(shù)yx22xk是閉區(qū)間1，2上的“閉函數(shù)”，求k的值；(3)若一次函數(shù)ykxb(k0)是閉區(qū)間m，n上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的解析式(用含m，n的代數(shù)式表示)22015東城一模 定義符號min的

7、含義為：當(dāng)ab時，minb；當(dāng)ab時，mina.如：min2，min1.(1)求min；(2)已知minx22xk，33，求實數(shù)k的取值范圍；(3)已知當(dāng)2x3時，minx22x15，m(x1)x22x15.直接寫出實數(shù)m的取值范圍32015海淀二模 如圖Z105(a)，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，0)，B(1，1)，C(1，0)，D(1，1)，記線段AB為T1，線段CD為T2，點P是坐標系內(nèi)一點給出如下定義：若存在過點P的直線l與T1，T2都有公共點，則稱點P是T1T2聯(lián)絡(luò)點例如，點P(0，)是T1T2聯(lián)絡(luò)點(1)以下各點中，_是T1T2聯(lián)絡(luò)點(填出所有正確的序號)；(0，2)；

8、(4，2)；(3，2)(2)直接在圖(a)中畫出所有T1T2聯(lián)絡(luò)點所組成的區(qū)域，用陰影部分表示(3)已知點M在y軸上，以M為圓心，r為半徑畫圓，M上只有一個點為T1T2聯(lián)絡(luò)點，若r1，求點M的縱坐標；求r的取值范圍圖Z10542015門頭溝一模 如圖Z106，在平面直角坐標系xOy中，拋物線yax2bxc(a0)的頂點為M，直線ym與x軸平行，且與拋物線交于點A和點B，如果AMB為等腰直角三角形，我們把拋物線上A、B兩點之間的部分與線段AB圍成的圖形稱為該拋物線的準蝶形，頂點M稱為碟頂，線段AB的長稱為碟寬圖Z106(1)拋物線yx2的碟寬為_，拋物線yax2(a0)的碟寬為_(2)如果拋物線

9、ya(x1)26a(a0)的碟寬為6，那么a_(3)將拋物線ynanx2bnxcn(an0)的準蝶形記為Fn(n1，2，3，)，我們定義F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n為相似準蝶形，相應(yīng)的碟寬之比即為相似比如果Fn與Fn1的相似比為，且Fn的碟頂是Fn1的碟寬的中點，現(xiàn)在將(2)中求得的拋物線記為y1，其對應(yīng)的準蝶形記為F1.求拋物線y2的函數(shù)解析式請判斷F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點是否在一條直線上？如果是，直接寫出該直線的函數(shù)解析式；如果不是，說明理由圖Z10752015朝陽一模 定義：對于平面直角坐標系xOy中的線段PQ和點M，在MPQ中，當(dāng)PQ邊上的高為2時，稱M為PQ的“等高點”，稱此時MPMQ為P

10、Q的“等高距離”(1)若P(1，2)，Q(4，2)在點A(1，0)，B(，4)，C(0，3)中，PQ的“等高點”是_；若M(t，0)為PQ的“等高點”，求PQ的“等高距離”的最小值及此時t的值(2)若P(0，0)，PQ2，當(dāng)PQ的“等高點”在y軸正半軸上且“等高距離”最小時，直接寫出點Q的坐標圖Z10862015通州一模 如圖Z109，在平面直角坐標系中，已知點A(2，3)，B(6，3)，連接AB.若對于平面內(nèi)一點P，線段AB上都存在點Q，使得PQ1，則稱點P是線段AB的“鄰近點”(1)判斷點D(，)是否是線段AB的“鄰近點”_(填“是”或“否”)；(2)若點H(m，n)在一次函數(shù)yx1的圖象

11、上，且是線段AB的“鄰近點”，求m的取值范圍；(3)若一次函數(shù)yxb的圖象上至少存在一個鄰近點，直接寫出b的取值范圍圖Z10972015海淀一模 在平面直角坐標系xOy中，對于點P(a，b)和點Q(a，b)，給出如下定義：若b則稱點Q為點P的限變點例如：點的限變點的坐標是，點的限變點的坐標是.(1)點的限變點的坐標是_；在點A，B中有一個點是函數(shù)y的圖象上某一個點的限變點，這個點是_(2)若點P在函數(shù)yx3(2xk，k2)的圖象上，其限變點Q的縱坐標b的取值范圍是5b2，求k的取值范圍(3)若點P在關(guān)于x的二次函數(shù)yx22txt2t的圖象上，其限變點Q的縱坐標b的取值范圍是bm或bn，其中mn

12、.令smn，求s關(guān)于t的函數(shù)解析式及s的取值范圍圖Z101082015西城一模 給出如下規(guī)定：兩個圖形G1和G2，點P為G1上任一點，點Q為G2上任一點，如果線段PQ的長度存在最小值，就稱該最小值為兩個圖形G1和G2之間的距離在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點(1)點A的坐標為A(1，0)，則點B(2，3)和射線OA之間的距離為_，點C(2，3)和射線OA之間的距離為_(2)如果直線yx和雙曲線y之間的距離為，那么k_(可在圖Z1011(a)中進行研究)(3)點E的坐標為(1，)，將射線OE繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60，得到射線OF，在坐標平面內(nèi)所有和射線OE，OF之間的距離相等的點所組成的圖形

13、記為圖形M.請在圖(b)中畫出圖形M，并描述圖形M的組成部分；(若涉及平面中某個區(qū)域時可以用陰影表示)將射線OE，OF組成的圖形記為圖形W，拋物線yx22與圖形M的公共部分記為圖形N，請直接寫出圖形W和圖形N之間的距離圖Z1011參考答案北京真題體驗1.解：(1)點M(2，1)關(guān)于O的反稱點不存在點N(，0)關(guān)于O的反稱點存在，反稱點N(，0)點T(1，)關(guān)于O的反稱點存在，反稱點T(0，0)如圖，直線yx2與x軸、y軸分別交于點E(2，0)，點F(0，2)設(shè)點P的橫坐標為x.(i)當(dāng)點P在線段EF上，即0 x2時，0OP2，在射線OP上一定存在一點P，使得OPOP2，點P關(guān)于O的反稱點存在，

14、其中點P與點E或點F重合時，OP2，點P關(guān)于O的反稱點為O，不符合題意，0 x2.(ii)當(dāng)點P不在線段EF上，即x0或x2時，OP2，對于射線OP上任意一點P，總有OPOP2，點P關(guān)于O的反稱點不存在綜上所述，點P的橫坐標x的取值范圍是0 x2.(2)若線段AB上存在點P，使得點P關(guān)于C的反稱點P在C的內(nèi)部，則1CP2.依題意可知點A的坐標為(6，0)，點B的坐標為(0，2 )，BAO30.設(shè)圓心C的坐標為(x，0)當(dāng)x6時，過點C作CHAB于點H，如圖，0CHCP2，0CA4，06x4，2x6，并且，當(dāng)2x6時，CB2，CH2，在線段AB上一定存在點P，使得CP2，此時點P關(guān)于C的反稱點為

15、C，且點C在C的內(nèi)部，2x6.當(dāng)x6時，如圖.0CACP2，0 x62，6x8.并且，當(dāng)6x8時，CB2，CA2，在線段AB上一定存在一點P，使得CP2，此時點P關(guān)于C的反稱點為C，且點C在C的內(nèi)部，6x8.綜上所述，圓心C的橫坐標x的取值范圍是2x8.2解：(1)y(x0)不是有界函數(shù)yx1(4x2)是有界函數(shù)，邊界值為3.(2)對于yx1，y隨x的增大而減小，當(dāng)xa時，ya12，a1，當(dāng)xb時，yb1.1b3.(3)由題意，函數(shù)平移后的表達式為yx2m(1xm，m0)當(dāng)x1時，y1m；當(dāng)x0時，ym；當(dāng)xm時，ym2m.根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，當(dāng)0m1時，1mm2m.當(dāng)m1時，1mm2m.當(dāng)

16、0m時，1mm.由題意，邊界值t1m.當(dāng)t1時，0m，0m.當(dāng)m1時，1mm.由題意，邊界值tm.當(dāng)t1時，m1，m1.當(dāng)m1時，由題意，邊界值tm，不存在滿足t1的m值綜上所述，當(dāng)0m或m1時，滿足t1.3解：(1)如圖(a)所示，過點E作O的切線，設(shè)切點為R.O的半徑為1，RO1.EO2，OER30，根據(jù)切線長定理得出O的左側(cè)還有一個切點，使得組成的角等于30，E點是O的關(guān)聯(lián)點D(，)，E(0，2)，F(xiàn)(2 ，0)，OFEO，DOEO，D點一定是O的關(guān)聯(lián)點，而在O上不可能找到兩點與點F的連線的夾角等于60，故在點D，E，F(xiàn)中，O的關(guān)聯(lián)點是D，E.由題意可知，若P剛好是C的關(guān)聯(lián)點，則點P到C

17、的兩條切線PA和PB之間所夾的角為60，由圖(b)可知APB60，則CPB30.連接BC，則PC2BC2r，若點P為C的關(guān)聯(lián)點，則需點P到圓心的距離d滿足0d2r.由上述證明可知，考慮臨界點位置的P點，則點P到原點的距離OP212，如圖(c)，過點O作l軸的垂線OH，垂足為H，GFO30，OGF60，OG2，可得點P1與點G重合過點P2作P2Mx軸于點M，可得P2OM30，OMOP2cos30，從而若點P為O的關(guān)聯(lián)點，則P點必在線段P1P2上，0m.(2)若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，欲使這個圓的半徑最小，則這個圓的圓心應(yīng)是線段EF的中點考慮臨界情況，如圖(d)，即恰好點E，F(xiàn)為K的

18、關(guān)聯(lián)點時，則KF2KNEF2，此時，r1，故若線段EF上的所有點都是某個圓的關(guān)聯(lián)點，則這個圓的半徑r的取值范圍為r1.4解：(1)點B的坐標是(0，2)或(0，2)點A與點B的“非常距離”的最小值為.(2)C是直線yx3上的一個動點，設(shè)點C的坐標為(x0，x03)，x0 x02，此時，x0，點C與點D的“非常距離”的最小值為，此時C(，)E(，)x0 x03，解得x0，則點C的坐標為(，)，點C與點E的“非常距離”的最小值為1.北京專題訓(xùn)練1.解：(1)反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”理由如下：反比例函數(shù)y在第一象限，y隨x的增大而減小，當(dāng)x1時，y2015；當(dāng)x2015時，y1

19、，即圖象過點(1，2015)和(2015，1)，當(dāng)1x2015時，有1y2015，符合閉函數(shù)的定義，反比例函數(shù)y是閉區(qū)間1，2015上的“閉函數(shù)”(2)由于二次函數(shù)yx22xk的圖象開口向上，對稱軸為直線x1，二次函數(shù)yx22xk在閉區(qū)間1，2內(nèi)，y隨x的增大而增大當(dāng)x1時，y1，k2.當(dāng)x2時，y2，k2.即圖象過點(1，1)和(2，2)，當(dāng)1x2時，有1y2，符合閉函數(shù)的定義，k2.(3)因為一次函數(shù)ykxb是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，根據(jù)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，有：()當(dāng)k0時，圖象過點(m，m)和(n，n)，解得yx.()當(dāng)kr，F(xiàn)(0，)在RtAOF中，AOF90，AO1，OF，AF，si

20、nAFO.在RtFEM中，F(xiàn)EM90，F(xiàn)MFOOMr，sinEFMsinAFO，MEFMsinEFM.r.又r0，0r2.4解：(1)4(2)(3)F1的碟寬F2的碟寬21，.a1，a2.又由題意得F2的碟頂坐標為(1，1)，y21.F1，F(xiàn)2，F(xiàn)n的碟寬的右端點在一條直線上；其解析式為yx5.5解：(1)A、B(2)如圖，作點P關(guān)于x軸的對稱點P，連接PQ，PQ與x軸的交點即為“等高點”M，此時“等高距離”最小，最小值為線段PQ的長P(1，2)，P(1，2)設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為ykxb，根據(jù)題意，有解得直線PQ的函數(shù)解析式為yx.當(dāng)y0時，解得x，即t.根據(jù)題意，可知PP4，PQ3，PQ

21、PP，PQ5.“等高距離”最小值為5.(3)Q(，)或Q(，)6解：(1)是(2)點H(m，n)是線段AB的“鄰近點”，點H(m，n)在直線yx1上，nm1.直線yx1與線段AB交于(4，3)當(dāng)m4時，有nm13.又ABx軸，此時點H(m，n)到線段AB的距離是n3，0n31，4m5.當(dāng)m4時，有nm1，n3.又ABx軸，此時點H(m，n)到線段AB的距離是3n，03n1，3m4，綜上所述，3m5.(3)如圖，3b1.7解：(1)(，1)點B(2)依題意，yx3(x2)的圖象上的點P的限變點必在函數(shù)y的圖象上b2，即當(dāng)x1時，b取最大值2.當(dāng)b2時，2x3.x5.當(dāng)b5時，5x3或5x3.x2或x8.5b2，由圖象可知，k的取值范圍是5k8.(3)yx22txt2t(xt)2t，頂點坐標為(t，t)若t1，b的取值范圍是bm或bn，與題意不符若t1，當(dāng)x1時，y的最小值為t，即mt；當(dāng)x1時，y的值小于(1t)2t，即n(1t)2tsmnt(1t)2tt21.s關(guān)于t的函數(shù)解析式為st21(t1)當(dāng)t1時，s取最小值2.s的取值范圍是s2.8解：(1)3(2)1(3)如圖，過點O分別作射線OE，OF的垂線OG，OH，則圖形M為：y軸正半軸，GOH的邊及其內(nèi)部的所有點(圖中的陰影部分)說明：(圖形M也可描述為：y軸正半軸，直線yx下方與直線yx下方重疊的部分(含邊界).17