中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版.doc
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1、中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形三角形的相似及全等解直角三角形試題浙教版一. 教學(xué)目標(biāo):(1)掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。(2)利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進(jìn)行計(jì)算、解答有關(guān)綜合題。(3)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn):三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點(diǎn)。難點(diǎn)是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。三. 知識要點(diǎn):知識點(diǎn)1 三角形的邊、角關(guān)系三角形任何兩邊之和大于第三邊;三角形任何兩邊之差小于第三邊;三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180;三角形三個(gè)外角的和等于360;三角形一個(gè)外角等于和它不相鄰
2、的兩個(gè)內(nèi)角的和;三角形一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。知識點(diǎn)2 三角形的主要線段和外心、內(nèi)心三角形的角平分線、中線、高;三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的外心,三角形的外心到各頂點(diǎn)的距離相等;三角形的三條角平分線交于一點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心,三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等;連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線,三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點(diǎn)3 等腰三角形等腰三角形的識別:有兩邊相等的三角形是等腰三角形;有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊);三邊相等的三角形是等邊三角形;三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊
3、三角形。等腰三角形的性質(zhì):等邊對等角;等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;等腰三角形是軸對稱圖形,底邊的中垂線是它的對稱軸;等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都等于60。知識點(diǎn)4 直角三角形直角三角形的識別:有一個(gè)角等于90的三角形是直角三角形;有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形;勾股定理的逆定理:如果一個(gè)三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形。直角三角形的性質(zhì):直角三角形的兩個(gè)銳角互余;直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;勾股定理:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點(diǎn)5 全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點(diǎn)6 相似三角形知識點(diǎn)7 銳角三角函數(shù)與解直角三
4、角形例1. (1)已知:等腰三角形的一邊長為12,另一邊長為5,求第三邊長。(2)已知:等腰三角形中一內(nèi)角為80,求這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)。分析:利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得。解:(1)分兩種情況:若腰長為12,底邊長為5,則第三邊長為12。若腰長為5,底邊長為12,則第三邊長為5。但此時(shí)兩邊之和小于第三邊,故不合題意。因此第三邊長為12。(2)分兩種情況:若頂角為80,則另兩個(gè)內(nèi)角均為底角分別是50、50。若底角為80,則另兩個(gè)內(nèi)角分別是80、20。因此這個(gè)三角形的另外兩個(gè)內(nèi)角分別是50、50或80、20。說明:此題運(yùn)用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想,本題著重考查等腰三角形的性
5、質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2. 已知:如圖,ABC和ECD都是等腰三角形,ACBDCE90,D為AB邊上的一點(diǎn),求證:(1)ACEBCD,(2)ADAEDE。分析:要證ACEBCD,已具備ACBC,CECD兩個(gè)條件,還需AEBD或ACEBCD,而ACEBCD顯然能證;要證ADAEDE,需條件DAE90,因?yàn)锽AC45,所以只需證CAEB45,由ACEBCD能得證。證明:(1)DCEACB90,DCEACDACBACD,即ACEBCD,ACBC,CECD,ACEBCD。(2)ACEBCD,CAEB45,BACB45,DAE90,ADAEDE。例3. 已知:點(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn),BPC150,P
6、B2,PC3,求PA的長。分析:將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60至BCD,即可證得BPD為等邊三角形,PCD為直角三角形。解:BCBA,將BAP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60,使BA與BC重合,得BCD,連結(jié)PD。BDBP2,PADC。BPD是等邊三角形。BPD60。DPCBPCBPD1506090。DCPADC?!咀兪健咳粢阎c(diǎn)P是等邊ABC內(nèi)的一點(diǎn),PA,PB2,PC3。能求出BPC的度數(shù)嗎?請?jiān)囈辉?。?. 如圖,P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作PBQ60,且BQBP,連結(jié)CQ(1)觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論(2)若PA:PB:PC3:4
7、:5,連結(jié)PQ,試判斷PQC的形狀,并說明理由解:(1)把ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60即可得到CBQ利用等邊三角形的性質(zhì)證ABPCBQ,得到APCQ(2)連接PQ,則PBQ是等邊三角形PQPB,APCQ故CQ:PQ:PCPA:PB:PC3:4:5,PQC是直角三角形 點(diǎn)評:利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點(diǎn)完成此題的證明例5. 如圖,有兩個(gè)長度相同的滑梯(即BCEF),左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等,則ABCDFE_ 分析:ABC與DFE分布在兩個(gè)直角三角形中,若說明這兩個(gè)直角三角形全等則問題便會迎刃而解解答:在RtABC和RtDEF中,BCEF,
8、ACDF,ABCDEF,ABCDEF,ABCDFE90,因此填90 點(diǎn)評:此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個(gè)直角三角形全等,并運(yùn)用與它相關(guān)的性質(zhì)進(jìn)行解題例6. 中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例規(guī)定:“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時(shí)”一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛(如圖所示),在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”,測得該車從北偏西60的A點(diǎn)行駛到北偏西30的B點(diǎn),所用時(shí)間為1.5秒(1)試求該車從A點(diǎn)到B的平均速度;(2)試說明該車是否超過限速解析:(1)要求該車從A點(diǎn)到B點(diǎn)的速度只需求出AB的距離,在OAC中,OC25米OAC906030,OA2CO5
9、0米 由勾股定理得CA25(米) 在OBC中,BOC30 BCOB。 (2BC)2BC2252 BC(米) ABACBC25(米)從A到B的速度為1.5(米/秒) (2)米/秒69.3千米/時(shí) 69.3千米/時(shí)0)。ACB90,CDAB。CD2ADBD,622k3k,k。AB。又AC2ADAB,AC。例11. 已知ABC中,ACB90,CHAB,HEBC,HFAC。求證:(1)HEF EHC;(2)HEFHBC。分析:從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形,要證明三角形全等要收集到三個(gè)條件,有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EFCH,HFEC。要證明三角形相似,從條件中得FHECHB90,由全
10、等三角形可知,HEFHCB,這樣就可以證明兩個(gè)三角形相似。證明:HEBC,HFAC,CEHCFH90。又ACB90,四邊形CEHF是矩形。EFCH,HFEC,F(xiàn)HE90。又HEEH,HFE EHC。HEFHCB。FHECHB90,HEFHBC。說明:在這一題的分析過程中,走“兩頭湊”比較快捷,從已知出發(fā),發(fā)現(xiàn)有用的信息,從結(jié)論出發(fā),尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣。例12. 兩個(gè)全等的含30,60角的三角板ADE和ABC如圖所示放置,E,A,C三點(diǎn)在一條直線上,連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連結(jié)ME,MC。試判斷EMC是什么樣的三角形,并說明理
11、由。分析:判斷一個(gè)三角形的形狀,可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè),或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個(gè)問題:嘗試去證明EMMC,要證線段相等可以尋找全等三角形來解決,然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個(gè)三角形。這時(shí)思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個(gè)新問題:如何構(gòu)造一對全等三角形?根據(jù)已知點(diǎn)M是直角三角形斜邊的中點(diǎn),產(chǎn)生聯(lián)想:直角三角形斜邊上的中點(diǎn)是斜邊的一半,得:MDMBMA。連結(jié)M A后,可以證明MDEMAC。答:EMC是等腰直角三角形。證明:連接AM,由題意得,DEAC,ADAB,DAEBAC90。DAB90。DAB為等腰直角三角形。又MDMB,MAMDMB,AMDB,MADM AB45。MDEMA
12、C105,DMA90。MDEMAC。DMEAMC,MEMC。又DMEEMA90,AMCEMA90。MCEM。EMC是等腰直角三角形。說明:構(gòu)造全等三角形是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵,那么構(gòu)造全等又如何進(jìn)行的呢?對條件的充分認(rèn)識和對知識點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑。構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化,善于轉(zhuǎn)化,更能體現(xiàn)思維的靈活性。在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個(gè)熱點(diǎn)。1. 如圖,ABC中,D、E分別是AC、AB上的點(diǎn),BD與CE交于點(diǎn)O,給出下列三個(gè)條件:EBODCO;BEOCDO;BECD(1)上述三個(gè)條件中,哪兩個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形(用序號寫出所有情形);(2
13、)選擇第(1)小題中的一種情況,證明ABC是等腰三角形2. (1)已知如圖,在AOB和COD中,OAOB,OCOD,AOBCOD60。求證:ACBD,APB60。(2)如圖,在AOB和COD中,OAOB,OCOD,AOBCOD,則AC與BD間的等量關(guān)系式為_;APB的大小為_。(3)如圖,在AOB和COD中,OAkOB,OCkOD(k1),AOBCOD,則AC與BD間的等量關(guān)系式為_;APB的大小為_。 3. 一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1.5m,面積為1.5m2,工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的正方形,請兩位同學(xué)設(shè)計(jì)加工方案,甲設(shè)計(jì)方案如圖(1),乙設(shè)計(jì)的方案如圖(2)。你認(rèn)為哪
14、位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好?試說明理由。(加工損耗忽略,計(jì)算結(jié)果可保留分?jǐn)?shù))4. 一般的室外放映的電影膠片上每一個(gè)圖片的規(guī)格為:3.5cm3.5cm,放映的熒屏的規(guī)格為2m2m,若放映機(jī)的光源距膠片20cm時(shí),問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠(yuǎn)的地方,放映的圖象剛好布滿整個(gè)熒屏?5. 如圖,已知MON90,等邊三角形ABC的一個(gè)頂點(diǎn)A是射線OM上的一定點(diǎn),頂點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,頂點(diǎn)C在MON內(nèi)部。(1)當(dāng)頂點(diǎn)B在射線ON上移動(dòng)到B1時(shí),連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1(保留作圖痕跡,不寫作法和證明); (2)設(shè)AB1與OC交于點(diǎn)Q,AC的延長線與B1C1交于點(diǎn)D。求證:;(3)連結(jié)CC1,試猜想ACC1為多少
15、度?并證明你的猜想。6. 如圖所示,設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處,正以每小時(shí)200km的速度沿北偏東60的BF方向移動(dòng),距臺風(fēng)中心500km的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域 (1)A城是否受到這次臺風(fēng)的影響?為什么?(2)若A城受到這次臺風(fēng)的影響,那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時(shí)間?7. (1)如圖,在RtABC中,C90,AD是BAC的角平分線,CAB60,CD,BD2,求AC,AB的長(2)“實(shí)驗(yàn)中學(xué)”有一塊三角形狀的花園ABC,有人已經(jīng)測出A30,AC40米,BC25米,你能求出這塊花園的面積嗎?(3)某片綠地形狀如圖所示,其中ABBC,CDAD,A60,AB200m
16、,CD100m,求AD、BC的長8. 高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB,如圖所示 (1)某一時(shí)刻測得大樹AB,教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC2.5米,DF7.5米,求大樹AB的高度; (2)現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀,請你設(shè)計(jì)另一種測量大樹AB高度的方案,要求: 在圖中,畫出你設(shè)計(jì)的圖形(長度用字母m,n表示,角度用希臘字母,表示); 根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù),求出大樹的高度并用字母表示9. 如圖所示,某居民小區(qū)有一朝向?yàn)檎戏较虻木用駱?,該居民樓的一樓是?米的小區(qū)超市,超市以上是居民住房,在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32時(shí)(
17、1)問超市以上的居民住房采光是否受影響,為什么?(2)若要使超市采光不受影響,兩樓至少應(yīng)相距多少米?(結(jié)果保留整數(shù),參考數(shù)據(jù):sin32,cos32)1. 解:(1)或 (2)已知求證ABC是等腰三角形證:先證EBODCO得OBOC,得DBCECBABCACB即ABC是等腰三角形2. 證明:AOB和COD為正三角形,OAOB,ODOC,AOB60,COD60。AOBBOCCODBOC,AOCBOD。AOCBOD ,ACBD。OACOBD,APBAOB60。(2)AC與BD間的等量關(guān)系式為ACBD;APB的大小為。(3)AC與BD間的等量關(guān)系式為ACkBD;APB的大小為180。3. 解:方案(
18、1):有題意可知,DEBA,得CDECBA。;方案(2):作BHAC于H。DEAC,得BDEBAC。圖(1)加工出的正方形面積大。綜上所得,甲同學(xué)設(shè)計(jì)的方案較好。4. 解:膠片上的圖象和熒屏上的圖象是位似的,鏡頭就相當(dāng)于位似中心,因此本題可以轉(zhuǎn)化為位似問題解答:m5. 解:(1)如圖所示;證明:(2)AOC與AB1C1是等邊三角形,ACBAB1D60。又CAQB1AD,ACQAB1D;(3)猜想ACC190。證明:AOC和AB1C1為正三角形,AOAC,AB1AC1,OACC1AB1,OACCAQC1AB1CAQ,OAB1CAC1。AO B1 AC C1。ACC1AOB190。6. (1)作AMBF可計(jì)算AM300km500km,故A城受影響 (2)受影響時(shí)間為小時(shí)7. 解:(1)AC3,AB6 (2)能,分兩種情況,SABC200150和SABC200150 (3)延長BC,AD交于E,AD400100,BC2002008. 解:連結(jié)AC,EF,(1)太陽光線是平行的,ACEF,ACBEFD,ABCEDF90,ABCEDF,AB4米 (2)如圖所示:AB(mtanh)米9. 解:(1)超市以上居民住房采光受影響,由計(jì)算知新樓在居民樓上的投影高約11米,故受影響 (2)若要使超市采光不受影響,兩樓至少相距:2032(米) 10 / 10
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