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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 課時(shí)跟蹤練(十四)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性(基礎(chǔ)課) 理(含解析)新人教A版

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1、課時(shí)跟蹤練(十四) A組 基礎(chǔ)鞏固 1.函數(shù)f(x)=cos x-x在(0,π)上的單調(diào)性是(  ) A.先增后減 B.先減后增 C.單調(diào)遞增 D.單調(diào)遞減 解析:易知f′(x)=-sin x-1,x∈(0,π), 所以f′(x)<0,則f(x)=cos x-x在(0,π)上單調(diào)遞減. 答案:D 2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示,則y=f′(x)的圖象可能是(  ) 解析:由函數(shù)f(x)的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以在(-∞,0)上,f′(x)>0;在(0,+∞)上,f′(x)<0,選項(xiàng)D滿(mǎn)足. 答案:

2、D 3.(2019·龍泉二中月考)若函數(shù)f(x)=x3-12x在區(qū)間(k-1,k+1)上不是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(  ) A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3 B.不存在這樣的實(shí)數(shù)k C.-2

3、,ef(b) B.f(a)=f(b) C.f(a)1 解析:f′(x)=,當(dāng)x>e時(shí),f′(x)<0,則f(x)在(e,+∞)上為減函數(shù),所以f(a)>f(b). 答案:A 5.(2019·保定一中模擬)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(-1)=2,對(duì)任意x∈R,f′(x)>2,則f(x)>2x+4的解集為(  ) A.(-1,1) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,+∞) 解析:由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0, 設(shè)F(x)=f(x)-2x-4,則F′(x)=f

4、′(x)-2, 因?yàn)閒′(x)>2,所以F′(x)>0在R上恒成立,所以F(x)在R上單調(diào)遞增. 又F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等價(jià)于F(x)>F(-1),所以x>-1. 答案:B 6.(2017·山東卷)若函數(shù)exf(x)(e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增,則稱(chēng)函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是(  ) A.f(x)=2-x B.f(x)=x2 C.f(x)=3-x D.f(x)=cos x 解析:若f(x)具有性質(zhì)M,則[exf(x)]′=ex[f(x)+f′

5、(x)]>0在f(x)的定義域上恒成立,即f(x)+f′(x)>0在f(x)的定義域上恒成立. 對(duì)于選項(xiàng)A,f(x)+f′(x)=2-x-2-xln 2=2-x(1-ln 2)>0,符合題意. 經(jīng)驗(yàn)證,選項(xiàng)B,C,D均不符合題意.故選A. 答案:A 7.已知函數(shù)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),f(1)=,對(duì)任意實(shí)數(shù)都有f(x)-f′(x)>0,設(shè)F(x)=,則不等式F(x)<的解集為(  ) A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(1,e) D.(e,+∞) 解析:F′(x)==, 又f(x)-f′(x)>0,知F′(x)<0. 所以F(x)在定義域R上單調(diào)遞減.

6、 由F(x)<=F(1),得x>1. 所以不等式F(x)<的解集為(1,+∞). 答案:B 8.函數(shù)f(x)=x2-2ln x的單調(diào)遞減區(qū)間是________. 解析:因?yàn)閒′(x)=2x-=(x>0),所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<0,f(x)為減函數(shù),因此f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1). 答案:(0,1) 9.若函數(shù)f(x)=ax3+3x2-x恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. 解析:由題意知f′(x)=3ax2+6x-1,由函數(shù)f(x)恰好有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,得f′(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn),需滿(mǎn)足a≠0,且Δ=36+12a>0,解得a>-3,

7、所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-3,0)∪(0,+∞). 答案:(-3,0)∪(0,+∞) 10.(2019·昆明調(diào)研)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(1)=1,f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)<,則不等式f(x2)<+的解集為_(kāi)_______. 解析:設(shè)F(x)=f(x)-x,所以F′(x)=f′(x)-, 因?yàn)閒′(x)<,所以F′(x)=f′(x)-<0, 即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減. 因?yàn)閒(x2)<+,所以f(x2)-1,解得x<-1或x>1, 即不等式的解集為{x|x<-1或x>1}. 答

8、案:{x|x<-1或x>1} 11.討論函數(shù)f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的單調(diào)性. 解:f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). f′(x)=+2ax=. (1)當(dāng)a≥1時(shí),f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; (2)當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; (3)當(dāng)00. 所以f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增. 12.(2019·徐州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-ln x,g(x)=-,其中a∈R,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底

9、數(shù). (1)討論f(x)的單調(diào)性; (2)證明:當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0. (1)解:由題意得f′(x)=2ax-=(x>0). 當(dāng)a≤0時(shí),f′(x)<0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 當(dāng)a>0時(shí),由f′(x)=0得x=, 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減; 當(dāng)x∈時(shí),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增. (2)證明:令s(x)=ex-1-x,則s′(x)=ex-1-1. 當(dāng)x>1時(shí),s′(x)>0,所以s(x)>s(1),即ex-1>x, 從而g(x)=-=>0. 故當(dāng)x>1時(shí),g(x)>0. B組 素養(yǎng)提升 13.(2016·全國(guó)卷Ⅰ改編)若函數(shù)f

10、(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是________. 解析:f′(x)=1-cos 2x+acos x=1-(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x+, f(x)在R上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0在R上恒成立. 令cos x=t,t∈[-1,1],則-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立, 令g(t)=4t2-3at-5,則 解得-≤a≤. 答案: 14.(2019·天津?yàn)I海新區(qū)八校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=x2ex. (1)求在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程; (

11、2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (3)當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),使得不等式f(x)≤2a+1能成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解:(1)因?yàn)閒′(x)=2xex+x2ex,所以k=f′(1)=3e,且f(1)=e. 故切線方程為3ex-y-2e=0. (2)令f′(x)>0,即xex(x+2)>0,解得x>0或x<-2. 令f′(x)<0,得-2

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