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1、四年級(jí)數(shù)學(xué)奧數(shù)培訓(xùn)資料 第1講 找 規(guī) 律（一）一、知識(shí)要點(diǎn) 觀察是解決問(wèn)題的根據(jù)。通過(guò)觀察，得以揭示出事物的發(fā)展和變化規(guī)律，在一般情況下，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)找規(guī)律：1根據(jù)每組相鄰兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；2根據(jù)相隔的每?jī)蓚€(gè)數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，推斷出所要填的數(shù)；3要善于從整體上把握數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，從而很快找出規(guī)律；4數(shù)之間的聯(lián)系往往可以從不同的角度來(lái)理解，只要言之有理，所得出的規(guī)律都可以認(rèn)為是正確的。二、精講精練【例題1】 先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，4，7，10，（ ），16，19【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，相鄰的兩個(gè)數(shù)的差都是3，即每一

2、個(gè)數(shù)加上3都等于后面的數(shù)。根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：10+3=13或163=13。像上面按照一定的順序排列的一串?dāng)?shù)叫做數(shù)列。練習(xí)1：先找出下列各列數(shù)的排列規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，6，10，14，（ ），22，26（2）3，6，9，12，（ ），18，21（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3（4）55，49，43，（ ），31，（ ），19（5）3，6，12，（ ），48，（ ），192（6）2，6，18，（ ），162，（ ）（7）128，64，32，（ ），8，（ ），2（8）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3.【例題2】先找出下列數(shù)排

3、列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。1，2，4，7，（ ），16，22【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，前4個(gè)數(shù)每相鄰的兩個(gè)數(shù)的差依次是1，2，3。由此可以推算7比括號(hào)里的數(shù)少4，括號(hào)里應(yīng)填：7+4=11。經(jīng)驗(yàn)證，所填的數(shù)是正確的。應(yīng)填的數(shù)為：7+4=11或16-5=11。練習(xí)2：先找出下列數(shù)排列的規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）10，11，13，16，20，（ ），31（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64（3）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2（4）53，44，36，29，（ ），18，（ ），11，9，8（5）81，64，49，36，（ ），16，（ ），4，1，0（

4、6）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1（7）30，2，26，2，22，2，（ ），（ ），14，2（8）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14【例題3】先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。23，4，20，6，17，8，（ ），（ ），11，12【思路導(dǎo)航】在這列數(shù)中，第一個(gè)數(shù)減去3的差是第三個(gè)數(shù)，第二個(gè)數(shù)加上2的和是第四個(gè)數(shù)，第三個(gè)數(shù)減去3的差是第五個(gè)數(shù)，第四個(gè)數(shù)加上2的和是第六個(gè)數(shù)依此規(guī)律，8后面的一個(gè)數(shù)為：17-3=14，11前面的數(shù)為：8+2=10練習(xí)3：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）（2）

5、13，2，15，4，17，6，（ ），（ ）（3）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14（4）21，2，19，5，17，8，（ ），（ ）（5）32，20，29，18，26，16，（ ），（ ），20，12（6）2，9，6，10，18，11，54，（ ），（ ），13，486（7）1，5，2，8，4，11，8，14，（ ），（ ）（8）320，1，160，3，80，9，40，27，（ ），（ ）【例題4】在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，（ ），34，55中，括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：從第三個(gè)數(shù)開(kāi)始，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。

6、根據(jù)這一規(guī)律，括號(hào)里應(yīng)填的數(shù)為：8+13=21或3413=21上面這個(gè)數(shù)列叫做斐波那切（意大利古代著名數(shù)學(xué)家）數(shù)列，也叫做“兔子數(shù)列”。練習(xí)4：先找出規(guī)律，然后在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）2，2，4，6，10，16，（ ），（ ）（2）34，21，13，8，5，（ ），2，（ ）（3）0，1，3，8，21，（ ），144（4）3，7，15，31，63，（ ），（ ）（5）33，17，9，5，3，（ ）（6）0，1，4，15，56，（ ）（7）1，3，6，8，16，18，（ ），（ ），76，78（8）0，1，2，4，7，12，20，（ ）【例題5】下面每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)都是按一定的規(guī)律組合的，

7、在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（8，4）（5，7）（10，2）（，9）【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析，不難發(fā)現(xiàn)：每個(gè)括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)相加的和都是12。根據(jù)這一規(guī)律，里所填的數(shù)應(yīng)為：129=3練習(xí)5：下面括號(hào)里的兩個(gè)數(shù)是按一定的規(guī)律組合的，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）（6，9）（7，8）（10，5）（，）（2）（1，24）（2，12）（3，8）（4，）（3）（18，17）（14，10）（10，1）（，5）（4）（2，3）（5，9）（7，13）（9，）（5）（2，3）（5，7）（7，10）（10，）（6）（64，62）（48，46）（29，27）（15，）（7）（100，50）（86，43）（64，32）（，21）（

8、8）（8，6）（16，3）（24，2）（12，）第2講 找 規(guī) 律（二）一、知識(shí)要點(diǎn) 對(duì)于較復(fù)雜的按規(guī)律填數(shù)的問(wèn)題，我們可以從以下幾個(gè)方面來(lái)思考：1.對(duì)于幾列數(shù)組成的一組數(shù)變化規(guī)律的分析，需要我們靈活地思考，沒(méi)有一成不變的方法，有時(shí)需要綜合運(yùn)用其他知識(shí)，一種方法不行，就要及時(shí)調(diào)整思路，換一種方法再分析；2.對(duì)于那些分布在某些圖中的數(shù)，它們之間的變化規(guī)律往往與這些數(shù)在圖形中的特殊位置有關(guān)，這是我們解這類題的突破口。3.對(duì)于找到的規(guī)律，應(yīng)該適合這組數(shù)中的所有數(shù)或這組算式中的所有算式。二、精講精練【例題1】根據(jù)下表中的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析表格中的數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：1

9、2+6=18，8+7=15，即每一橫行中間的數(shù)等于兩邊的兩個(gè)數(shù)的和。依此規(guī)律，空格中應(yīng)填的數(shù)為：4+8=12。練習(xí)1：找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！纠}2】根據(jù)前面圖形中的數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的括號(hào)里應(yīng)填什么數(shù)？【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)前面兩個(gè)圈中三個(gè)數(shù)之間有這樣的關(guān)系：51210=6 42010=8根據(jù)這一規(guī)律，第三個(gè)圈中右下角應(yīng)填的數(shù)為：83010=24.練習(xí)2：根據(jù)前面圖形中數(shù)之間的關(guān)系，想一想第三個(gè)圖形的空格里應(yīng)填什么數(shù)。（1） （2） （3） 【例題3】先計(jì)算下面一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫(xiě)出后幾題的得數(shù)。123456799= 123

10、4567918=1234567954= 1234567981=【思路導(dǎo)航】題中每個(gè)算式的第一個(gè)因數(shù)都是12345679，它是有趣的“缺8數(shù)”，與9相乘，結(jié)果是由九個(gè)1組成的九位數(shù)，即：111111111。不難發(fā)現(xiàn)，這組題得數(shù)的規(guī)律是：只要看每道算式的第二個(gè)因數(shù)中包含幾個(gè)9，乘積中就包含幾個(gè)111111111。因?yàn)椋?23456799=111111111所以：1234567918=1234567992=2222222221234567954=1234567996=666666666 1234567981=1234567999=999999999.練習(xí)3：找規(guī)律，寫(xiě)得數(shù)。（1） 1+09= 2+1

11、9= 3+129= 4+1239= 9+123456789=（2） 11= 1111= 111111= 111111111111111111=（3）19+99= 118+989= 1117+9879=11116+98769= 111115+987659=【例題4】找規(guī)律計(jì)算。（1） 8118=（81）9=79=63（2） 7227=（72）9=59=45 （3） 6336=（）9=9=【思路導(dǎo)航】經(jīng)仔細(xì)觀察、分析可以發(fā)現(xiàn)：一個(gè)兩位數(shù)與交換它的十位、個(gè)位數(shù)字位置后的兩位數(shù)相減，只要用十位與個(gè)位數(shù)字的差乘9，所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的差。練習(xí)4：1利用規(guī)律計(jì)算。（1）5335 （2）8228 （3）9

12、229 （4）6116 （5）95592找規(guī)律計(jì)算。（1） 62+26=（6+2）11=811=88（2） 87+78=（8+7）11=1511=165（3） 54+45=（+）11=11=【例題5】計(jì)算（1）2611 （2）3811【思路導(dǎo)航】一個(gè)兩位數(shù)與11相乘，只要把這個(gè)兩位數(shù)的兩個(gè)數(shù)字的和插入這兩個(gè)數(shù)字中間，就是所求的積。（1） 2611=2（2+6）6=286（2） 3811=3（3+8）8=418注意：如果兩個(gè)數(shù)字的和滿十，要向前一位進(jìn)一。練習(xí)5：計(jì)算下面各題。（1）2711 （2）3211（3） 3911 （4）4611（5）9211 （6）9811第3講 簡(jiǎn) 單 推 理 一、知

13、識(shí)要點(diǎn) 解答推理問(wèn)題，要從許多條件中找出關(guān)鍵條件作為推理的突破口。推理要有條理地進(jìn)行，要充分利用已經(jīng)得出的結(jié)論，作為進(jìn)一步推理的依據(jù)。二、精講精練【例題1】 一包巧克力的重量等于兩袋餅干的重量，4袋牛肉干的重等于一包巧克力的重量，一袋餅干等于幾袋牛肉干的重量？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“一包巧克力的重量=兩袋餅干的重量”與“4袋牛肉干的重量=一包巧克力的重量”可推出：兩袋餅干的重量=4袋牛肉干的重量。因此，一袋餅干的重量=兩袋牛肉干的重量。練習(xí)1：（1）一只菠蘿的重量等于4根香蕉的重量，兩只梨子的重量等于一只菠蘿的重量，一只梨子的重量等于幾根香蕉的重量？ （2）3包巧克力的重量等于兩袋糖的的重量，12袋

14、牛肉干的重量等于3包巧克力的重量，一袋糖的重量等于幾袋牛肉干的重量？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量。一只小豬的重量等于幾只鴨的重量？ 【例題2】一頭象的重量等于4頭牛的重量，一頭牛的重量等于3匹小馬的重量，一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量。一頭象的重量等于幾頭小豬的重量？【思路導(dǎo)航】根據(jù)“一頭象的重量等于4頭牛的重量”與“一頭牛的重量等于3匹小馬的重量”可推出：“一頭象的重量等于12匹小馬的重量”，而“一匹小馬的重量等于3頭小豬的重量”，因此，一頭象的重量等于36頭小豬的重量。練習(xí)2：（1）一只西瓜的重量等于兩個(gè)菠蘿的重量，1個(gè)菠蘿的重量等于4個(gè)蘋(píng)果的重量

15、，1個(gè)蘋(píng)果的重量等于兩個(gè)橘子的重量。1只西瓜的重量等于幾個(gè)橘子的重量？ （2）一頭牛一天吃草的重量和一只兔子9天吃草的重量相等，也和6只羊一天吃草的重量相等。已知一頭牛每天吃青草18千克，一只兔子和一只羊一天共吃青草多少千克？ （3）一只小豬的重量等于6只雞的重量，3只雞的重量等于4只鴨的重量，兩只鴨的重量等于6條魚(yú)的重量。問(wèn)：兩只小豬的重量等于幾條魚(yú)的重量？【例題3】根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=18 =10【思路導(dǎo)航】在第一個(gè)算式中，3個(gè)相加的和是18，所以代表的數(shù)是：183=6，又由第二個(gè)算式可求出代表的數(shù)是：106=4.練習(xí)3：（1）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=32 =2

16、0（2）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=15 =40（3）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=8 =【例題4】根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=2 =56【思路導(dǎo)航】由第一個(gè)算式可知，比多2；如果將第二個(gè)算式的都換成，那么5個(gè)=5622，=12，再由第一個(gè)算式可知，=122=10.練習(xí)4：（1）根據(jù)下面兩個(gè)算式求與各代表多少？=8 =20（2）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=78 =72（3）根據(jù)下面兩個(gè)算式，求與各代表多少？=12 =2【例題5】甲、乙、丙三人分別是一小、二小和三小的學(xué)生，在區(qū)運(yùn)動(dòng)會(huì)上他們分別獲得跳高、跳遠(yuǎn)和壘球冠軍。已知：二小的是跳遠(yuǎn)冠軍；一小的不是壘球冠軍，甲不

17、是跳高冠軍；乙既不是二小的也不是跳高冠軍。問(wèn)：他們?nèi)齻€(gè)人分別是哪個(gè)學(xué)校的？獲得哪項(xiàng)冠軍？【思路導(dǎo)航】由“二小的是跳遠(yuǎn)冠軍”可知壘球、跳高冠軍是一小或三小的；因?yàn)椤耙恍〉牟皇菈厩蚬谲姟?，所以一小一定是跳高冠軍，三小的是壘球冠軍；由“甲不是跳遠(yuǎn)冠軍”，“乙既不是二小的也不是跳高冠軍”可知，一小的甲是跳高冠軍，二小的丙是跳遠(yuǎn)冠軍，三小的乙是壘球冠軍。練習(xí)5：（1）有三個(gè)女孩穿著嶄新的連衣裙去參加游園會(huì)。一個(gè)穿花的，一個(gè)穿白的，一個(gè)穿紅的。但不知哪一個(gè)姓王、哪一個(gè)姓李、哪一個(gè)姓劉。只知道姓劉的不喜歡穿紅的，姓王的既不是穿紅裙子，也不是穿花裙子。你能猜出這三個(gè)女孩各姓什么嗎？（2）小兔、小貓、小狗、小猴

18、和小鹿參加100米比賽，比賽結(jié)束后小猴說(shuō)：“我比小貓跑得快。”小狗說(shuō)：“小鹿在我前面沖過(guò)終點(diǎn)線?！毙⊥谜f(shuō)：“我們的名次排在小猴前面，小狗在后面?！闭?qǐng)根據(jù)它們的回答排出名次。（3）五個(gè)女孩并排坐著，甲坐在離乙、丙距離相等的座位上，丁坐在離甲、丙距離相等的座位上，戌坐在她兩個(gè)姐姐之間。請(qǐng)問(wèn)誰(shuí)是戌的姐姐？第4講 應(yīng)用題（一）一、知識(shí)要點(diǎn) 解答應(yīng)用題時(shí)，必須認(rèn)真審題，理解題意，深入細(xì)致地分析題目中數(shù)量間的關(guān)系，通過(guò)對(duì)條件進(jìn)行比較、轉(zhuǎn)化、重新組合等多種手段，找到解題的突破口，從而使問(wèn)題得以順利解決。二、精講精練【例題1】 某玩具廠把630件玩具分別裝在5個(gè)塑料箱和6個(gè)紙箱里，1個(gè)塑料箱與3個(gè)紙箱裝的玩具

19、同樣多。每個(gè)塑料箱和紙箱各裝多少件玩具？【思路導(dǎo)航】如果玩具全部裝在塑料箱或全部裝在紙箱里，那么可以求出一個(gè)紙箱或一個(gè)塑料箱裝多少件。因?yàn)?個(gè)紙箱與一個(gè)塑料箱裝的同樣多，所以6個(gè)紙箱與2個(gè)塑料箱裝的同樣多。這樣，5個(gè)塑料箱裝的玩具件數(shù)和7個(gè)塑料箱裝的就同樣多。由此，可求出一個(gè)塑料箱裝多少件。練習(xí)1：（1）百貨商店運(yùn)來(lái)300雙球鞋分別裝在2個(gè)木箱和6個(gè)紙箱里。如果兩個(gè)紙箱同一個(gè)木箱裝的球鞋同樣多，每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙球鞋？（2）新華小學(xué)買(mǎi)了兩張桌子和5把椅子，共付款195元。已知每張桌子的價(jià)錢(qián)是每把椅子的4倍，每張桌子多少元？（3）王叔叔買(mǎi)了3千克荔枝和4千克桂圓，共付款156元。已知5

20、千克荔枝的價(jià)錢(qián)等于2千克桂圓的價(jià)錢(qián)。每千克荔枝和每千克桂圓各多少元？【例題2】一桶油，連桶重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克。問(wèn)：油和桶各重多少千克？【思路導(dǎo)航】原來(lái)油和桶共重180千克，用去一半油后，連桶還有100千克，說(shuō)明用去的一半油的重是180100=80（千克），一桶油的重量就是802=160（千克），油桶的重量就是180160=20（千克）。練習(xí)2：（1）一筐梨，連筐重38千克，吃去一半后，連筐還有20千克。問(wèn)：梨和筐各重多少千克？（2）一筐蘋(píng)果，連筐共重35千克，先拿一半送給幼兒園小朋友，再拿剩下的一半送給一年級(jí)小朋友，余下的蘋(píng)果連筐重11千克。這筐蘋(píng)果重多少千克？（3

21、）一只油桶里有一些油，如果把油加到原來(lái)的2倍，油桶連油重38千克；如果把油加到原來(lái)的4倍，這里油和桶共重46千克。原來(lái)油桶里有油多少千克？【例題3】有5盒茶葉，如果從每盒中取出200克，那么5盒剩下的茶葉正好和原來(lái)4盒茶葉的重量相等。原來(lái)每盒茶葉有多少克？【思路導(dǎo)航】由條件“每盒取出200克，5盒剩下的茶葉正好和原來(lái)4盒茶葉重量相等”可以推出，拿出的2005=1000（克）茶葉正好等于原來(lái)的54=1（盒）茶葉的重量。練習(xí)3：（1）有6筐梨子，每筐梨子個(gè)數(shù)相等，如果從每筐中拿出40個(gè)，6筐梨子剩下的個(gè)數(shù)總和正好和原來(lái)兩筐的個(gè)數(shù)相等。原來(lái)每筐有多少個(gè)？（2）在5個(gè)木箱中放著同樣多的橘子。如果從每個(gè)

22、木箱中拿出60個(gè)橘子，那么5個(gè)木箱中剩下的橘子的個(gè)數(shù)的總和等于原來(lái)兩個(gè)木箱里橘子個(gè)數(shù)的和。原來(lái)每個(gè)木箱中有多少個(gè)橘子？（3）某食品店有5箱餅干，如果從每個(gè)箱子里取出20千克，那么5個(gè)箱子里剩下的餅干正好等于原來(lái)3箱餅干的重量。原來(lái)每個(gè)箱子里裝多少千克餅干？【例題4】一個(gè)木器廠要生產(chǎn)一批課桌。原計(jì)劃每天生產(chǎn)60張，實(shí)際每天比原計(jì)劃多生產(chǎn)4張，結(jié)果提前一天完成任務(wù)。原計(jì)劃要生產(chǎn)多少?gòu)堈n桌？【思路導(dǎo)航】這道題的關(guān)鍵是要求出工作時(shí)間。因?yàn)閷?shí)際比原計(jì)劃提前1天完成任務(wù)，這就相當(dāng)于把原計(jì)劃最后1天的任務(wù)平均分到前面的幾天去做，正好分完。實(shí)際比原計(jì)劃每天多生產(chǎn)4張，所以實(shí)際生產(chǎn)的天數(shù)是604=15天，原計(jì)劃

23、生產(chǎn)的天數(shù)是151=16天。所以原計(jì)劃要生產(chǎn)6016=960張。練習(xí)4：（1）電視機(jī)廠接到一批生產(chǎn)任務(wù)，計(jì)劃每天生產(chǎn)90臺(tái)，可以按期完成。實(shí)際每天多生產(chǎn)5臺(tái)，結(jié)果提前1天完成任務(wù)。這批電視機(jī)共有多少臺(tái)？（2）小明看一本故事書(shū)，計(jì)劃每天看12頁(yè)，實(shí)際每天多看8頁(yè)，結(jié)果提前2天看完。這本故事書(shū)有多少頁(yè)？（3）修一條公路，計(jì)劃每天修60米，實(shí)際每天比計(jì)劃多修15米，結(jié)果提前4天修完。一共修了多少米？【例題5】有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只，從甲盒拿出多少只放入乙盒，才能使兩盒中的圖釘相等？【思路導(dǎo)航】由條件可知，甲盒比乙盒多7248=24只。要盒兩盒中的圖釘相等，只要把甲盒比乙盒多的24只圖

24、釘平均分成2份，取其中的1份放入乙盒就行了。所以應(yīng)拿出242=12只。練習(xí)5：（1）有兩袋面粉，第一袋面粉有24千克，第二袋面粉有18千克。從第一袋中取出幾千克放入第二袋，才能使兩袋中的面粉重量相等？（2）有兩盒圖釘，甲盒有72只，乙盒有48只。每次從甲盒中拿4只放到乙盒，拿幾次才能使兩盒相等？（3）有兩袋糖，一袋是68粒，另一袋是20粒。每次從多的一袋中拿出6粒放到少的一袋里，拿幾次才能使兩袋糖同樣多？第5講 算式謎（一）一、知識(shí)要點(diǎn) “算式謎”一般是指那些含有未知數(shù)字或缺少運(yùn)算符號(hào)的算式。解決這類問(wèn)題，可以根據(jù)已學(xué)過(guò)的知識(shí)，運(yùn)用正確的分析推理方法，確定算式中的未知數(shù)字和運(yùn)用符號(hào)。由于這類題

25、目的解答過(guò)程類似全平時(shí)進(jìn)行的猜謎語(yǔ)游戲，所以，我們把這類題目稱為“算式謎題”。解答算式謎問(wèn)題時(shí)，要先仔細(xì)審題，分析數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，找到突破口，逐步試驗(yàn)，分析求解，通常要運(yùn)用倒推法、湊整法、估值法等。二、精講精練【例題1】 在下面算式的括號(hào)里填上合適的數(shù)。【思路導(dǎo)航】根據(jù)題目特點(diǎn)，先看個(gè)位：75=12，在和的個(gè)位（ ）中填2，并向十位進(jìn)一；再看十位，（ ）+4+1的和個(gè)位是1，因此，第一個(gè)加數(shù)的（ ）中只能填6，并向百位進(jìn)1；最后來(lái)看百位、千位，6+（ ）+1的和的個(gè)位是2，第二個(gè)加數(shù)的（ ）中只能填5，并向千位進(jìn)1；因此，和的千位（ ）中應(yīng)填8。練習(xí)1：（1）在括號(hào)里填上合適的數(shù)。 （2）在方

26、框里填上合適的數(shù)。（3）下面的豎式里，有4個(gè)數(shù)字被遮住了，求豎式中被蓋住的4個(gè)數(shù)字的和。【例題2】下面各式中“巨”、“龍”、“騰”、“飛”分別代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字。當(dāng)它們各代表什么數(shù)字時(shí)，下列的算式成立?！舅悸穼?dǎo)航】先看個(gè)位，3個(gè)“飛”相加的和的個(gè)位數(shù)字是1，可推知“飛”代表7；再看十位，3個(gè)“騰”相加，再加上個(gè)位進(jìn)來(lái)的2，所得的和的個(gè)位是0，可推知“騰”代表6；再看百位，兩個(gè)“龍”相加，加上十位進(jìn)上來(lái)的2，所得和的個(gè)位是0，“龍”可能是4或9，考慮到千位上的“巨”不可能為0，所以“龍”只能代表4，“巨”只能代表1。練習(xí)2：【例題3】下面各式中的“兵”、“炮”、“馬”、“卒

27、”各代表09這十個(gè)數(shù)字中的某一個(gè)，相同的漢字代表相同的數(shù)字。這些漢字各代表哪些數(shù)字？【思路導(dǎo)航】這道題應(yīng)以“卒”入手來(lái)分析?！白洹焙汀白洹毕嗉雍偷膫€(gè)位數(shù)字仍然是“卒”，這個(gè)數(shù)字只能是0。確定“卒”是0后，所有是“卒”的地方，都是0。注意到百位上是“兵”+“兵”=“卒”，容易知道“兵”是5，“車(chē)”是1；再由十位上的情況可推知“馬”是4，進(jìn)而推得“炮”是2。練習(xí)3：【例題4】將0、1、2、3、4、5、6這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方格內(nèi)，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次，組成一個(gè)整數(shù)算式。 =【思路導(dǎo)航】要求用七個(gè)數(shù)字組成五個(gè)數(shù)，這五個(gè)數(shù)有三個(gè)是一位數(shù)，有兩個(gè)是兩位數(shù)。顯然，方格中的數(shù)和被除數(shù)是兩位數(shù)，其他是一位數(shù)。

28、0和1不能填入乘法算式，也不能做除數(shù)。由于26=12（2將出現(xiàn)兩次），25=10（經(jīng)試驗(yàn)不合題意），24=8（7個(gè)數(shù)字中沒(méi)有8），23=6（6不能成為商）。因此，0、1、2只能用來(lái)組成兩位數(shù)。經(jīng)試驗(yàn)可得：34=12=6=5.練習(xí)4：（1）將0、1、3、5、6、8、9這七個(gè)數(shù)字填在圓圈和方筐里，每個(gè)數(shù)字恰好出現(xiàn)一次組成一個(gè)整數(shù)算式。 =（2）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。 =（3）用1、2、3、7、8這五個(gè)數(shù)字可以列成一個(gè)算式：（1+3）7=28。請(qǐng)你用0、1、2、3、4、6這六個(gè)數(shù)字列成一個(gè)算式。【例題5】把“、”分別放在適當(dāng)?shù)膱A圈中（運(yùn)算符號(hào)只能用一次），并在方框中填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使

29、下面的兩個(gè)等式成立。36015=15 2135=【思路導(dǎo)航】先從第一個(gè)等式入手，等式右邊是15，與等式左邊最后一個(gè)數(shù)15相同，因?yàn)?+15=15，所以，只要使36與0的運(yùn)算結(jié)果為0就行。顯然，360+15=15因?yàn)榈谝粋€(gè)等式已填“”、“+”，在第二個(gè)等式中只有“”、“”可以填，題目要求在方框中填整數(shù)，已知3不能被5整除，所以“”只能填在21與3之間，而3與5之間填“”。練習(xí)5：（1）把“、”分別填入下面的圓圈中，并在方框中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使下面每組的兩個(gè)等式成立。 9137=100 1425= 1762=100 5147=（2）將19這九個(gè)數(shù)字填入中（每個(gè)數(shù)字只能用一次），組成三個(gè)等式。= =

30、 =第6講 算式謎（二）一、知識(shí)要點(diǎn) 解決算式謎題，關(guān)鍵是找準(zhǔn)突破口，推理時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1認(rèn)真分析算式中所包含的數(shù)量關(guān)系，找出隱蔽條件，選擇有特征的部分作出局部判斷；2利用列舉和篩選相結(jié)合的方法，逐步排除不合理的數(shù)字；3試驗(yàn)時(shí)，應(yīng)借助估值的方法，以縮小所求數(shù)字的取值范圍，達(dá)到快速而準(zhǔn)確的目的；4算式謎解出后，要驗(yàn)算一遍。二、精講精練【例題1】 在下面的方框中填上合適的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由積的末尾是0，可推出第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5；由第二個(gè)因數(shù)的個(gè)位是5，并結(jié)合第一個(gè)因數(shù)與5相乘的積的情況考慮，可推出第一人個(gè)因數(shù)的百位是3；由第一個(gè)因數(shù)為376與積為310，可推出第二個(gè)因數(shù)的十?dāng)?shù)上是8。題中別

31、的數(shù)字就容易填了。練習(xí)1：在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。 【例題2】在下面方框中填上適合的數(shù)字?！舅悸穼?dǎo)航】由商的十位是1，以及1與除數(shù)的乘積的最高位是1可推知除數(shù)的十位是1。由第一次除后余下的數(shù)是1，可推知被除數(shù)的十位只可能是7、8、9。如果是7，除數(shù)的個(gè)位是0，那么最后必有余數(shù)；如果被除數(shù)是8，除數(shù)的個(gè)位就是1，也不能除盡；只有當(dāng)被除數(shù)的十位是9時(shí)，除數(shù)的個(gè)位是2時(shí)，商的個(gè)位為6，正好除盡。完整的豎式是：練習(xí)2：在內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使下列除法豎式成立?！纠}3】下面算式中的a、b、c、d這四個(gè)字母各代表什么數(shù)字？【思路導(dǎo)航】因?yàn)樗奈粩?shù)abcd乘9的積是四位數(shù)，可知a是1；d和9相乘的積的個(gè)位是1，可知

32、d只能是9；因?yàn)榈诙€(gè)因數(shù)9與第一個(gè)因數(shù)百位上的數(shù)b相乘的積不能進(jìn)位，所以b只能是0（1已經(jīng)用過(guò)）；再由b=0，可推知c=8。練習(xí)3：花= 紅 = 柳 = 綠 =華 = 羅 = 庚 = 金 = 杯 =盼 = 望 = 祖 = 國(guó) = 早 = 日 = 統(tǒng) = 一 =求下列各題中每個(gè)漢字所代表的數(shù)字。【例題4】在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“、”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100【思路導(dǎo)航】先湊出與100比較接近的數(shù)，再根據(jù)需要把相鄰的幾個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)。比如：123與100比較接近，所以把前三個(gè)數(shù)字組成123，

33、后面的數(shù)字湊出23就行。因?yàn)?5與67相差22，8與9相差1，所以得到一種解法：123456789=100再比如：89與100比較接近，78與67正好相差11，所此可得另一種解法：123456789=100.練習(xí)4：（1）在下面等號(hào)左邊的數(shù)字之間添上一些加號(hào)，使其結(jié)果等于99（數(shù)字的順序不能改變）。 8 7 6 5 4 3 2 1 = 99（2）一個(gè)乘號(hào)和七個(gè)加號(hào)添在下面的算式中合適的地方，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 100（3）添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號(hào)和括號(hào)，使下列等式成立。 1 2 3 4 5 = 100【例題5】在下面的式子里添上括號(hào)，使

34、等式成立。 791232 = 23【思路導(dǎo)航】采用逆推法，從最后一步運(yùn)算開(kāi)始考慮。假如最后一步是用前面計(jì)算的結(jié)果減2，那么前面式子的運(yùn)算結(jié)果應(yīng)等25，又因?yàn)?53=75，而前面7912又正好等于75，所以，應(yīng)給前面兩步運(yùn)算加括號(hào)。 （7912）32 = 23練習(xí)5：1.在下面的式子里添上括號(hào)，使等式成立。（1）791232 = 75（2）791232 = 47（3）883311112 = 52.在1、2、3、4、5、6、7、8、9這九個(gè)數(shù)字中間加上“、”兩種運(yùn)算符號(hào)，使其結(jié)果等于100（數(shù)字的順序不能改變）。第7講 最優(yōu)化問(wèn)題一、知識(shí)要點(diǎn) 在日常生活和生產(chǎn)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到下面的問(wèn)題：完成一件

35、事情，怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間最少，效果最佳。這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問(wèn)題。我們還會(huì)遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗最小”等等問(wèn)題，這些問(wèn)題往往可以從極端情況去探討它的最大（小）值，這類問(wèn)題在數(shù)學(xué)中稱為極值問(wèn)題。以上的問(wèn)題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問(wèn)題”。二、精講精練【例題1】 用一只平底鍋煎餅，每次只能放兩個(gè)，剪一個(gè)餅需要2分鐘（規(guī)定正反面各需要1分鐘）。問(wèn)煎3個(gè)餅至少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】先將兩個(gè)餅同時(shí)放入鍋中一起煎，一分鐘后兩個(gè)餅都熟了一面，這時(shí)可將一個(gè)取出，另一個(gè)翻過(guò)去，再放入第三個(gè)。又煎了一分鐘，將兩面都熟的那個(gè)取出，把第三個(gè)翻過(guò)去，再將第一個(gè)放入煎，再煎一分鐘就會(huì)全部煎好。所

36、以，煎3個(gè)餅至少需要3分鐘。練習(xí)1：1.烤面包時(shí)，第一面需要2分鐘，第二面只要烤1分鐘，即烤一片面包需要3分鐘。小麗用來(lái)烤面包的架子，一次只能放兩片面包，她每天早上吃3片面包，至少要烤多少分鐘？2.用一只平底鍋烙大餅，鍋里只能同時(shí)放兩個(gè)。烙熟大餅的一面需要3分鐘，現(xiàn)在要烙3個(gè)大餅，最少要用幾分鐘？3.小華用平底鍋烙餅，這只鍋同時(shí)能放4個(gè)大餅，烙一個(gè)要用4分鐘（每面各需要2分鐘）?？尚∪A烙6個(gè)大餅只用了6分鐘，他是怎樣烙的？【例題2】媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘，燒開(kāi)水需要15分鐘，洗茶壺需要1分鐘，洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶，最少需要多少分鐘？【思路導(dǎo)航】經(jīng)驗(yàn)表明，能同時(shí)做

37、的事，盡量同時(shí)做，這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗，不能燒開(kāi)水，因此，洗水壺和燒開(kāi)水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開(kāi)水可以同時(shí)進(jìn)行。根據(jù)以上的分析，可以這樣安排：先洗水壺用1分鐘，接著燒開(kāi)水用15分鐘，同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉，水開(kāi)了就沏茶，共需要16分鐘。練習(xí)2：1.小虎早晨要完成這樣幾件事：燒一壺開(kāi)水需要10分鐘，把開(kāi)水灌進(jìn)熱水瓶需要2分鐘，取奶需要5分鐘，整理書(shū)包需要4分鐘。他完成這幾件事最少需要多少分鐘？2.小強(qiáng)給客人沏茶，燒開(kāi)水需要12分鐘，洗茶杯要2分鐘，買(mǎi)茶葉要8分鐘，放茶葉泡茶要1分鐘。為了讓客人早點(diǎn)喝上茶，你認(rèn)為最合理的安排，多少分鐘就可以了？3.在早晨起床后的1小時(shí)

38、內(nèi)，小欣要完成以下事情：疊被3分鐘，洗臉?biāo)⒀?分鐘，讀外語(yǔ)30分鐘，吃早餐10分鐘，收碗擦桌5分鐘，收聽(tīng)廣播30分鐘。最少需要多少分鐘？【例題3】五（1）班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室，等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘，孫勇包紗布需要3分鐘，李佳點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī)，校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序，才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短？【思路導(dǎo)航】校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病，治療時(shí)間長(zhǎng)的最后治療，才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣，三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是：李佳1分鐘，趙1+3=4分鐘，趙明1+3+5=9分鐘。時(shí)間總和是1+4+9=14分鐘。

39、練習(xí)3：1甲、乙、丙三人分別拿著2個(gè)、3個(gè)、1個(gè)熱水瓶同時(shí)到達(dá)開(kāi)水供應(yīng)點(diǎn)打熱水。熱水龍頭只有一個(gè)，怎樣安排他們打水的次序，可以使他們打熱水所花的總時(shí)間最少？2甲、乙、丙三人到商場(chǎng)批發(fā)部洽談業(yè)務(wù)，甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排，使3人所花的時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？3甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水，甲洗托把需要3分鐘，乙洗抹布需要2分鐘，丙洗衣服需要10分鐘，丁用桶注水需要1分鐘。怎樣安排四人用水的次序，使他們所花的總時(shí)間最少？最少時(shí)間是多少？【例題4】用18厘米長(zhǎng)的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？【思路

40、導(dǎo)航】根據(jù)題意，圍成的長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和是182=9厘米。顯然，當(dāng)長(zhǎng)與寬的差越小，圍成的長(zhǎng)方形的面積越大。又已知長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，因此，當(dāng)長(zhǎng)是5厘米，寬是4厘米時(shí)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大：54=20平方厘米。練習(xí)4：1.用長(zhǎng)26厘米的鐵絲圍成各種長(zhǎng)方形，要求長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)，圍成的長(zhǎng)方形的面積最大是多少？2.一個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是20分米，它的面積最大是多少？3.一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是36平方厘米，并且長(zhǎng)和寬的長(zhǎng)度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少厘米？【例題5】用36這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大?！舅悸穼?dǎo)航】解決這個(gè)問(wèn)題應(yīng)考慮兩點(diǎn)：（1）盡可能

41、把大數(shù)放在高位；（2）盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位，4和3放在個(gè)位。根據(jù)“兩個(gè)因數(shù)的差越小，積越大”的規(guī)律，3應(yīng)放在6的后面，4應(yīng)放在5的后面。6354=3402.練習(xí)5：1.用14這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。2.用58這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù)，使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大。3.用38這六個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)三位數(shù)，使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大。第8講 巧妙求和（一）一、知識(shí)要點(diǎn) 若干個(gè)數(shù)排成一列稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)稱為一項(xiàng)。其中第一項(xiàng)稱為首項(xiàng)，最后一項(xiàng)稱為末項(xiàng)，數(shù)列中項(xiàng)的個(gè)數(shù)稱為項(xiàng)數(shù)。從第二項(xiàng)開(kāi)始，后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)之差都相等的數(shù)列稱為

42、等差數(shù)列，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差稱為公差。在這一章要用到兩個(gè)非常重要的公式：“通項(xiàng)公式”和“項(xiàng)數(shù)公式”。通項(xiàng)公式：第n項(xiàng)=首項(xiàng)+（項(xiàng)數(shù)1）公差項(xiàng)數(shù)公式：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差1二、精講精練【例題1】 有一個(gè)數(shù)列：4，10，16，22.，52.這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)？【思路導(dǎo)航】容易看出這是一個(gè)等差數(shù)列，公差為6，首項(xiàng)是4，末項(xiàng)是52.要求項(xiàng)數(shù)，可直接帶入項(xiàng)數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。項(xiàng)數(shù)=（524）61=9，即這個(gè)數(shù)列共有9項(xiàng)。練習(xí)1：1.等差數(shù)列中，首項(xiàng)=1.末項(xiàng)=39，公差=2.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？2.有一個(gè)等差數(shù)列：2.5，8，11.，101.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？3.已知等差數(shù)列11.16，21.26，

43、1001.這個(gè)等差數(shù)列共有多少項(xiàng)？【例題2】有一等差數(shù)列：3.7，11.15，這個(gè)等差數(shù)列的第100項(xiàng)是多少？【思路導(dǎo)航】這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)是3.公差是4，項(xiàng)數(shù)是100。要求第100項(xiàng)，可根據(jù)“末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差（項(xiàng)數(shù)1）”進(jìn)行計(jì)算。第100項(xiàng)=3+4（1001）=399.練習(xí)2：1.一等差數(shù)列，首項(xiàng)=3.公差=2.項(xiàng)數(shù)=10，它的末項(xiàng)是多少？2.求1.4，7，10這個(gè)等差數(shù)列的第30項(xiàng)。3.求等差數(shù)列2.6，10，14的第100項(xiàng)?！纠}3】有這樣一個(gè)數(shù)列：1.2.3.4，99，100。請(qǐng)求出這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)的和。【思路導(dǎo)航】如果我們把1.2.3.4，99，100與列100，99，3.2.1相加

44、，則得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+（99+2）+（100+1），其中每個(gè)小括號(hào)內(nèi)的兩個(gè)數(shù)的和都是101.一共有100個(gè)101相加，所得的和就是所求數(shù)列的和的2倍，再除以2.就是所求數(shù)列的和。1+2+3+99+100=（1+100）1002=5050上面的數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，所有的等差數(shù)列都可以用下面的公式求和：等差數(shù)列總和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2這個(gè)公式也叫做等差數(shù)列求和公式。練習(xí)3：計(jì)算下面各題。（1）1+2+3+49+50（2）6+7+8+74+75（3）100+99+98+61+60【例題4】求等差數(shù)列2，4，6，48，50的和?！舅悸穼?dǎo)航】這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列

45、，我們可以用公式計(jì)算。要求這一數(shù)列的和，首先要求出項(xiàng)數(shù)是多少：項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)首項(xiàng)）公差+1=（502）2+1=25首項(xiàng)=2.末項(xiàng)=50，項(xiàng)數(shù)=25等差數(shù)列的和=（2+50）252=650.練習(xí)4：計(jì)算下面各題。（1）2+6+10+14+18+22（2）5+10+15+20+195+200（3）9+18+27+36+261+270【例題5】計(jì)算（2+4+6+100）（1+3+5+99）【思路導(dǎo)航】容易發(fā)現(xiàn)，被減數(shù)與減數(shù)都是等差數(shù)列的和，因此，可以先分別求出它們各自的和，然后相減。進(jìn)一步分析還可以發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)數(shù)列其實(shí)是把1 100這100個(gè)數(shù)分成了奇數(shù)與偶數(shù)兩個(gè)等差數(shù)列，每個(gè)數(shù)列都有50個(gè)項(xiàng)。因此，

46、我們也可以把這兩個(gè)數(shù)列中的每一項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)相減，可得到50個(gè)差，再求出所有差的和。（2+4+6+100）（1+3+5+99）=（21）+（43）+（65）+（10099）=1+1+1+1=50練習(xí)5：用簡(jiǎn)便方法計(jì)算下面各題。（1）（2001+1999+1997+1995）（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+2000）（1+3+5+1999）（3）（1+3+5+1999）（2+4+6+1998）第9講 變化規(guī)律（一）一、知識(shí)要點(diǎn)和、差的規(guī)律見(jiàn)下表（m0）一個(gè)加數(shù)（a）另一個(gè)加數(shù)（b）和（c）m不變m不變mmmm不變被減數(shù)（a）減數(shù)（b）差（c）m不變m不變mmmm不變二、

47、精講精練【例題1】 兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)加數(shù)增加9，另一個(gè)加數(shù)減少9，和是否發(fā)生變化？【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加9，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加9；假如一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)減少9，和就減少9；和先增加9，接著又減少9，所以不發(fā)生變化。練習(xí)1：1.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)減8，另一個(gè)數(shù)加8，和是否變化？2.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)加3.另一個(gè)數(shù)也加3.和起什么變化？3.兩個(gè)數(shù)相加，一個(gè)數(shù)減6，另一個(gè)數(shù)減2.和起什么變化？【例題2】?jī)蓚€(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加10，要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】一個(gè)加數(shù)增加10，假如另一個(gè)加數(shù)不變，和就增加10?，F(xiàn)在要使和增加6，那么另一個(gè)加數(shù)應(yīng)減少10

48、6=4。練習(xí)2：1.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和增加15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？2.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)增加8，要使和減少15，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？3.兩個(gè)數(shù)相加，如果一個(gè)加數(shù)減少8，要使和減少8，另一個(gè)加數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題3】?jī)蓴?shù)相減，如果被減數(shù)增加8，減數(shù)也增加8，差是否起變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)增加8，假如減數(shù)不變，差就增加8；假如被減數(shù)不變，減數(shù)增加8，差就減少8。兩個(gè)數(shù)的差先增加8，接著又減少8，所以不起什么變化。練習(xí)3：1.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少6，減數(shù)也減少6，差是否起變化？2.兩數(shù)相減，被減數(shù)增加12.減數(shù)減少12.差起什么變化？3.兩數(shù)相減，被減數(shù)減少1

49、0，減數(shù)增加10，差起什么變化？【例題4】?jī)蓴?shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將有什么變化？【思路導(dǎo)航】如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大8倍，另一個(gè)因數(shù)不變，積將擴(kuò)大8倍；如果一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)縮小2倍，積將縮小2倍。積先擴(kuò)大8倍又縮小2倍，因此，積擴(kuò)大了82=4倍。練習(xí)4：1.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)縮小4倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大4倍，和是否起變化？2.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)縮小12倍，積將有什么變化？3.兩數(shù)相乘，如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大6倍，積將有什么變化？【例題5】?jī)蓴?shù)相除，如果被除數(shù)擴(kuò)大4倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？【思路導(dǎo)航】如果被除數(shù)擴(kuò)大4倍，

50、除數(shù)不變，商就擴(kuò)大4倍；如果被除數(shù)不變，除數(shù)縮小2倍，商就擴(kuò)大2倍。商先擴(kuò)大4倍，接著又?jǐn)U大2倍，商將擴(kuò)大42=8倍。練習(xí)5：1.兩數(shù)相除，被除數(shù)擴(kuò)大30倍，除數(shù)縮小5倍，商將怎樣變化？2.兩數(shù)相除，被除數(shù)縮小12倍，除數(shù)縮小2倍，商將怎樣變化？3.兩數(shù)相除，除數(shù)擴(kuò)大6倍，要使商擴(kuò)大3倍，被除數(shù)應(yīng)怎樣變化？第10講 變化規(guī)律一、知識(shí)要點(diǎn)乘、除變化規(guī)律見(jiàn)下表（m0）被乘數(shù)（a）乘數(shù)（b）積（c）m不變m不變mmmm不變被除數(shù)（a）除數(shù)（b）商（c）m不變m不變mm mm不變我們學(xué)習(xí)了和、差、積、商的變化規(guī)律，這一周，我們利用這些規(guī)律來(lái)解決一些較簡(jiǎn)單的問(wèn)題。二、精講精練【例題1】 兩數(shù)相減，被減數(shù)

51、減少8，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？【思路導(dǎo)航】被減數(shù)減少8，假如減數(shù)不變，差也減少8；現(xiàn)在要使差減少12.減數(shù)應(yīng)增加128=4。練習(xí)1：1.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加6，要使差增加15，減數(shù)應(yīng)有什么變化？2.兩數(shù)相減，如果被減數(shù)增加20，要使差減少12.減數(shù)應(yīng)有什么變化？3.兩數(shù)相減，減數(shù)減少9，要使差增加16，被減數(shù)應(yīng)有什么變化？【例題2】?jī)蓚€(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是20，如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】?jī)蓴?shù)相除，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商不變，余數(shù)擴(kuò)大相同的倍數(shù)。所以商是8，余數(shù)是2010=200。練習(xí)2：1.兩數(shù)相除，商是6，余數(shù)是30，如果

52、被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大10倍，商是多少？余數(shù)是多少？2.兩個(gè)數(shù)相除，商是9，余數(shù)是3。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大120倍，商是多少？余數(shù)是多少？3.兩個(gè)數(shù)相除，商是8，余數(shù)是600。如果被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)縮小100倍，商是多少？余數(shù)是多少？【例題3】?jī)蓴?shù)相乘，積是48。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，那么積是多少？【思路導(dǎo)航】一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大2倍，積擴(kuò)大2倍；另一個(gè)因數(shù)縮小3倍，積縮小3倍。所以最后的積是4823=32。練習(xí)3：1.兩數(shù)相乘，積是20。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大3倍，另一個(gè)因數(shù)縮小4倍，那么積是多少？2.兩數(shù)相除，商是19。如果被除數(shù)擴(kuò)大20倍，除數(shù)縮小4倍，那么商是多少？3.兩數(shù)相除，

53、商是27。如果被除數(shù)擴(kuò)大12倍，除數(shù)擴(kuò)大6倍，那么商是多少？【例題4】小華在計(jì)算兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1錯(cuò)誤地寫(xiě)成7，把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)誤地寫(xiě)成8，所得的和是1996。原來(lái)兩個(gè)數(shù)相加的正確答案是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的1被寫(xiě)成了7，這樣錯(cuò)寫(xiě)一個(gè)加數(shù)比原來(lái)增加了6；另一個(gè)加數(shù)十位上的3寫(xiě)成8，增加了50。這樣，所得的結(jié)果就比原來(lái)增加了6+50=56。所以，原來(lái)兩數(shù)相加的正確答案是：1996（656）=1940。練習(xí)4：1.小明在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)十位上的0錯(cuò)寫(xiě)成8，把另一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的6錯(cuò)寫(xiě)成9，所得的和是532。正確的和是多少？2.小強(qiáng)在計(jì)算加法時(shí)，把一

54、個(gè)加數(shù)十位上的7錯(cuò)寫(xiě)成1.把個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成0，所得的和是285。正確的和是多少？3.小亮在計(jì)算加法時(shí)，把一個(gè)加數(shù)個(gè)位上的5錯(cuò)寫(xiě)成3.把另一個(gè)加數(shù)十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成8，所得的和是650。正確的和是多少？【例題5】王霞在計(jì)算題時(shí)，由于粗心大意，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫(xiě)成5，把十位上的6錯(cuò)寫(xiě)成0，這樣算得差是189。正確的差是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，被減數(shù)個(gè)位上的3寫(xiě)成5，因此增加了2；十位上的6寫(xiě)成0，因此減少60。這樣錯(cuò)寫(xiě)的被減數(shù)比原來(lái)減少了602=58。因?yàn)闇p數(shù)不變，根據(jù)差的變化規(guī)律，正確的差要比錯(cuò)誤的差多50。正確的差是：18958=247。練習(xí)5：1.小軍在做題時(shí)，把被減數(shù)個(gè)位上的3錯(cuò)寫(xiě)

55、成8，把十位上的0錯(cuò)寫(xiě)成6，這樣算得的差是198。正確的差是多少？2.小剛在做題時(shí)，把減數(shù)個(gè)位上的9錯(cuò)寫(xiě)成6，把十位上的3錯(cuò)寫(xiě)成8，這樣算得的差是268。正確的差是多少？3.小紅在做題時(shí)，把被減數(shù)十位上的0錯(cuò)寫(xiě)成8，把減數(shù)個(gè)位上的8錯(cuò)寫(xiě)成3.這樣算得的差是632。正確的差是多少？第11講 錯(cuò)中求解一、知識(shí)要點(diǎn) 在加、減、乘、除式的計(jì)算中，如果粗心大意將算式中的一些運(yùn)算數(shù)或符號(hào)抄錯(cuò)，就會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果發(fā)生錯(cuò)誤。這一周，我們就來(lái)討論怎樣利用錯(cuò)誤的答案求出正確的結(jié)論。二、精講精練【例題1】小玲在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)65寫(xiě)成56，結(jié)果得到的商是13.還余52。正確的商是多少？【思路導(dǎo)航】要求出正確的商，必

56、須先求出被除數(shù)是多少。我們可以先抓住錯(cuò)誤的得數(shù)，求出被除數(shù)：135652=780。所以，正確的商是：78065=12。練習(xí)1：1.小星在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87錯(cuò)寫(xiě)成78，結(jié)果得到的商是5，余數(shù)是45。正確的商應(yīng)該是多少？2.甜甜和蜜蜜在用同一個(gè)數(shù)做被除數(shù)。甜甜用12去除，蜜蜜用15去除，甜甜得到的商是32還余6，蜜蜜計(jì)算的結(jié)果應(yīng)該是多少？3.小虎在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1250寫(xiě)成1205，結(jié)果得到的商是48，余數(shù)是5。正確的商應(yīng)該是多少？【例題2】小芳在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)32錯(cuò)寫(xiě)成320，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？【思路導(dǎo)航】根據(jù)題意，把除數(shù)32改成320擴(kuò)大到原來(lái)的10倍，又因?yàn)?/p>

57、被除數(shù)不變，根據(jù)商的變化規(guī)律，正確的商應(yīng)該是錯(cuò)誤商的10倍。所以正確的商應(yīng)該是4810=480。練習(xí)2：1.小麗在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)530末尾的0漏寫(xiě)了，得到的商是40。正確的商應(yīng)該是多少？2.小馬在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)1280誤寫(xiě)成12800，得到的商是32。正確的商應(yīng)該是多少？3.小欣在計(jì)算除法時(shí)，把被除數(shù)420錯(cuò)寫(xiě)成240，結(jié)果得到商是48。正確的商應(yīng)該是多少？【例題3】小冬在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫(xiě)成173.這樣商比原來(lái)多了3.而余數(shù)正好相同。正確的商和余數(shù)是多少？【思路導(dǎo)航】因?yàn)楸怀龜?shù)137被錯(cuò)寫(xiě)成了173.被除數(shù)比原來(lái)多了173137=36，又因?yàn)樯瘫仍瓉?lái)多了3.而且

58、余數(shù)相同，所以除數(shù)是363=12。又由13712=115，所以余數(shù)是5。練習(xí)3：1.小軍在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)208錯(cuò)寫(xiě)成268，結(jié)果商增加了5，而余數(shù)正好相同。正確的除數(shù)和余數(shù)是多少？2.李明在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)171錯(cuò)寫(xiě)成117，結(jié)果商比原來(lái)少了3.而余數(shù)正好相同。求這道除法算式正確的商和余數(shù)。3.劉強(qiáng)在計(jì)算有余數(shù)的除法時(shí)，把被除數(shù)137錯(cuò)寫(xiě)成174，結(jié)果商比原來(lái)多3.余數(shù)比原來(lái)多1。求這道除法算式的除數(shù)和余數(shù)?！纠}4】小龍?jiān)谧鰞晌粩?shù)乘兩位數(shù)的題時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字4錯(cuò)當(dāng)作1.乘得的結(jié)果是525，實(shí)際應(yīng)為600。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？【思路導(dǎo)航】一個(gè)因數(shù)的個(gè)位4錯(cuò)當(dāng)

59、作1.所得的結(jié)果比原來(lái)少了（41）個(gè)另一個(gè)因數(shù)；實(shí)際的結(jié)果與錯(cuò)誤的結(jié)果相差600525=75，753=25，60025=24。所以一個(gè)因數(shù)是24，另一個(gè)因數(shù)是25。練習(xí)4：1.小鋒在計(jì)算乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)8錯(cuò)當(dāng)作3.得345，實(shí)際應(yīng)為420。這兩個(gè)因數(shù)各是多少？2.小菊做兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)，把一個(gè)因數(shù)的個(gè)位數(shù)字1誤寫(xiě)成7，結(jié)果得646，實(shí)際應(yīng)為418。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？3.李曉在計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的題目時(shí)，把一個(gè)因數(shù)十位上的3誤當(dāng)作8，結(jié)果得2150，這道題的正確積應(yīng)是900。這兩個(gè)兩位數(shù)各是多少？【例題5】方方和圓圓做一道乘法式題，方方誤將一個(gè)因數(shù)增加14，計(jì)算的積增加了84，圓圓誤將另一個(gè)因數(shù)增