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1、2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）數(shù)學試題 2018.3一、填空題：本大題共14個小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.已知集合，則集合 2.已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則 3.雙曲線的漸近線方程為 4.某中學共有人，其中高二年級的人數(shù)為.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取人，其中高二年級被抽取的人數(shù)為，則 5.將一顆質(zhì)地均勻的正四面體骰子（每個面上分別寫有數(shù)字，）先后拋擲次，觀察其朝下一面的數(shù)字，則兩次數(shù)字之和等于的概率為 6.如圖是一個算法的流程圖，則輸出的值是 7.若正四棱錐的底面邊長為，側面積為，則它的體積為 8.設是等差數(shù)列的前項和，若，則

2、 9.已知，且，則的最小值是 10.設三角形的內(nèi)角，的對邊分別為，已知，則 11.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底）.若函數(shù)的最小值是，則實數(shù)的取值范圍為 12.在中，點是邊的中點，已知，則 13.已知直線：與軸交于點，點在直線上，圓：上有且僅有一個點滿足，則點的橫坐標的取值集合為 14.若二次函數(shù)在區(qū)間上有兩個不同的零點，則的取值范圍為 二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知向量，.（1）若角的終邊過點，求的值；（2）若，求銳角的大小.16.如圖，正三棱柱的高為，其底面邊長為.已知點，分別是棱，的中點，點是棱上靠近的三等分

3、點.求證：（1）平面；（2）平面.17.已知橢圓：經(jīng)過點，點是橢圓的下頂點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點且互相垂直的兩直線，與直線分別相交于，兩點，已知，求直線的斜率.18.如圖，某景區(qū)內(nèi)有一半圓形花圃，其直徑為，是圓心，且.在上有一座觀賞亭，其中.計劃在上再建一座觀賞亭，記.（1）當時，求的大??；（2）當越大，游客在觀賞亭處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭處的觀賞效果最佳時，角的正弦值.19.已知函數(shù)，.（1）若，且恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù).求實數(shù)的值；當時，求函數(shù)的值域.20.已知是數(shù)列的前項和，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）對于正整數(shù)，已知

4、，成等差數(shù)列，求正整數(shù)，的值；（3）設數(shù)列前項和是，且滿足：對任意的正整數(shù)，都有等式成立.求滿足等式的所有正整數(shù).2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）數(shù)學（附加題）21.【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.A. 選修4-1：幾何證明選講如圖，是圓的直徑，為圓上一點，過點作圓的切線交的延長線于點，且滿足.（1）求證：；（2）若，求線段的長.B. 選修4-2：矩陣與變換已知矩陣，列向量.（1）求矩陣；（2）若，求，的值.C. 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在極坐標系中，已知

5、圓經(jīng)過點，圓心為直線與極軸的交點，求圓的極坐標方程.D. 選修4-5：不等式選講已知，都是正數(shù)，且，求證：.【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在四棱錐中，底面是矩形，垂直于底面，點為線段（不含端點）上一點.（1）當是線段的中點時，求與平面所成角的正弦值；（2）已知二面角的正弦值為，求的值.23.在含有個元素的集合中，若這個元素的一個排列（，）滿足，則稱這個排列為集合的一個錯位排列（例如：對于集合，排列是的一個錯位排列；排列不是的一個錯位排列）.記集合的所有錯位排列的個數(shù)為.（1）直接寫出，的值；

6、（2）當時，試用，表示，并說明理由；（3）試用數(shù)學歸納法證明：為奇數(shù).2017-2018學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）數(shù)學試題參考答案一、填空題1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 二、解答題15.解：（1）由題意，所以.（2）因為，所以，即，所以，則，對銳角有，所以，所以銳角.16.證明：（1）連結，正三棱柱中，且，則四邊形是平行四邊形，因為點、分別是棱，的中點，所以且，又正三棱柱中且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）正三棱柱中，平面，平面，所以，正中，是的中點，所以，又、平面，所以平面，又

7、平面，所以，由題意，所以，又，所以與相似，則，所以，則，又，平面，所以平面.17.解：（1）由題意得，解得，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意知，直線，的斜率存在且不為零，設直線：，與直線聯(lián)立方程有，得，設直線：，同理，因為，所以，無實數(shù)解；，解得，綜上可得，直線的斜率為.18.解：（1）設，由題，中，所以，在中，由正弦定理得，即，所以，則，所以，因為為銳角，所以，所以，得；（2）設，在中，由正弦定理得，即，所以，從而，其中，所以，記，；令，存在唯一使得，當時，單調(diào)增，當時，單調(diào)減，所以當時，最大，即最大，又為銳角，從而最大，此時.答：觀賞效果達到最佳時，的正弦值為.19.解：（1）函數(shù)的定義

8、域為.當，恒成立，恒成立，即.令，則，令，得，在上單調(diào)遞增，令，得，在上單調(diào)遞減，當時，.（2）當時，.由題意，對恒成立，即實數(shù)的值為.函數(shù)的定義域為.當，時，.，令，得.-+極小值當時，當時，當時，.對于，當時，當時，當時，.當時，當時，當時，.故函數(shù)的值域為.20.解：（1）由得，兩式作差得，即.，所以，則，所以數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，所以；（2）由題意，即，所以，其中，所以，所以，；（3）由得，所以，即，所以，又因為，得，所以，從而，當時；當時；當時；下面證明：對任意正整數(shù)都有，當時，即，所以當時，遞減，所以對任意正整數(shù)都有；綜上可得，滿足等式的正整數(shù)的值為和.2017-2018學

9、年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)研（一）數(shù)學（附加題）參考答案21.【選做題】A. 選修4-1：幾何證明選講證明：（1）連接，.因為是圓的直徑，所以，.因為是圓的切線，所以，又因為，所以，于是，得到，所以，從而.（2）解：由及得到，.由切割線定理，所以.B. 選修4-2：矩陣與變換解：（1）；（2）由，解得，又因為，所以，.C. 選修4-4：坐標系與參數(shù)方程解：在中，令，得，所以圓的圓心的極坐標為.因為圓的半徑，于是圓過極點，所以圓的極坐標方程為.D. 選修4-5：不等式選講證明：因為，都是正數(shù)，所以，又因為，所以.【必做題】22.解：（1）以為原點，為坐標軸，建立如圖所示空間直角坐標系；設，則

10、，；所以，設平面的法向量，則，即，解得，所以平面的一個法向量，則與平面所成角的正弦值為.（2）由（1）知平面的一個法向量為，設，則，設平面的法向量，則，即，解得，所以平面的一個法向量，由題意得，所以，即，因為，所以，則.23. 解：（1），（2），理由如下：對的元素的一個錯位排列（，），若，分以下兩類：若，這種排列是個元素的錯位排列，共有個；若，這種錯位排列就是將，排列到第到第個位置上，不在第個位置，其他元素也不在原先的位置，這種排列相當于個元素的錯位排列，共有個；根據(jù)的不同的取值，由加法原理得到；（3）根據(jù)（2）的遞推關系及（1）的結論，均為自然數(shù)；當，且為奇數(shù)時，為偶數(shù)，從而為偶數(shù)，又也是偶數(shù)，故對任意正奇數(shù)，有均為偶數(shù).下面用數(shù)學歸納法證明（其中）為奇數(shù).當時，為奇數(shù)；假設當時，結論成立，即是奇數(shù)，則當時，注意到為偶數(shù)，又是奇數(shù)，所以為奇數(shù)，又為奇數(shù)，所以，即結論對也成立；根據(jù)前面所述，對任意，都有為奇數(shù)。