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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)29 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理(含解析)新人教A版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(二十九) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 (建議用時(shí):60分鐘) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.(2019·南寧模擬)等差數(shù)列{an}中,a3+a7=6,則{an}的前9項(xiàng)和等于(  ) A.-18    B.27   C.18    D.-27 B [S9====27.故選B.] 2.?dāng)?shù)列{an}滿足2an=an-1+an+1(n≥2),且a2+a4+a6=12,則a3+a4+a5=(  ) A.9 B.10 C.11 D.12 D [由2an=an-1+an+1(n≥2)可知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,∴a2+a4+a6=a3+a4+a5=12.故選D.]

2、3.公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a6=3a4,且S10=λa4,則λ的值為(  ) A.15 B.21 C.23 D.25 D [由題意得a1+5d=3(a1+3d),∴a1=-2d. ∴λ====25,故選D.] 4.在數(shù)列{an}中,a1=3,an+1=,則a4=(  ) A. B.1 C. D. A [∵an+1=,∴-=,又a1=3,∴數(shù)列是以=為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,∴=+=,即an=.∴a4=.故選A.] 5.(2019·四川棠湖中學(xué)模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a1=9,-=-4,則Sn取最大值時(shí)的n為(  )

3、 A.4 B.5 C.6 D.4或5 B [由{an}為等差數(shù)列,所以-=a5-a3=2d=-4,即d=-2.由a1=9,所以an=-2n+11. 所以數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,即Sn存在最大值. 由解得4.5<n≤5.5. 所以Sn取最大值時(shí)的n為5,故選B.] 二、填空題 6.(2018·北京高考)設(shè){an}是等差數(shù)列,且a1=3,a2+a5=36,則{an}的通項(xiàng)公式為________. an=6n-3 [∵a1=3,a2+a5=a1+a6=36,∴a6=33, ∴公差d===6, ∴an=a1+(n-1)d=3+(n-1)×6=6n-3.] 7.正項(xiàng)

4、數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,2a=a+a(n∈N*,n≥2),則a7=________.  [由2a=a+a(n∈N*,n≥2),得數(shù)列{a}是等差數(shù)列,公差d=a-a=3,首項(xiàng)a=1,所以a=1+3(n-1)=3n-2,∴an=,∴a7=.] 8.(數(shù)學(xué)文化)《九章算術(shù)》是我國(guó)第一部數(shù)學(xué)專著,下面有源自其中的一個(gè)問題:“今有金箠(chuí),長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問金箠重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,長(zhǎng)5尺,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問金箠重多少斤?”根據(jù)上面的已知條件,若金箠由粗到細(xì)的重量是均勻變化的,則答案

5、是________. 15斤 [由題意可知金箠由粗到細(xì)各尺的重量成等差數(shù)列,且a1=4,a5=2,則S5==15,故金箠重15斤.] 三、解答題 9.(2019·太原模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若a1<0,S2 019=0. (1)求Sn的最小值及此時(shí)n的值; (2)求n的取值集合,使其滿足an≥Sn. [解] (1)設(shè)公差為d,則由S2 019=0?2 019a1+d=0?a1+1 009d=0, d=-a1,a1+an=a1, 所以Sn=(a1+an)=·a1=(2 019n-n2). 因?yàn)閍1<0,n∈N*,所以當(dāng)n=1 009或1 010時(shí),Sn取最小值

6、505a1. (2)an=a1, Sn≤an?(2 019n-n2)≤a1. 因?yàn)閍1<0,所以n2-2 021n+2020≤0 即(n-1)(n-2 020)≤0, 解得1≤n≤2 020.故所求n的取值集合為{n|1≤n≤2 020,n∈N*}. 10.已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)依次為a,4,3a,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=110. (1)求a及k的值; (2)已知數(shù)列{bn}滿足bn=,證明數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,并求其前n項(xiàng)和Tn. [解] (1)設(shè)該等差數(shù)列為{an},則a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有a+3a=8,得a1=a=2,公差d=4-2=2,所以Sk=ka

7、1+·d=2k+×2=k2+k. 由Sk=110,得k2+k-110=0, 解得k=10或k=-11(舍去),故a=2,k=10. (2)由(1)得Sn==n(n+1), 則bn==n+1, 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1, 即數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列,所以Tn==. B組 能力提升 1.若{an}是等差數(shù)列,首項(xiàng)a1>0,a2 019+a2 020>0,a2 019·a2 020<0,則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是(  ) A.2 019   B.2 020  C.4 038   D.4 039 C [因?yàn)閍1>0,a2 019+

8、a2 020>0,a2 019·a2 020<0,所以d<0,a2 019>0,a2 020<0,所以S4 038= =>0, S4 039==4 039a2 020<0,所以使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大正整數(shù)n是4 038.] 2.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3(m≥2),則m=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 D [∵Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3, ∴am=2,am+1=3, ∴公差d=1. 又Sm==0,∴a1+am=0,∴a1=-2. ∴am=-2+(m-1)×1=2,∴m=5.] 3.已知

9、等差數(shù)列2,6,10,…,190,…,和等差數(shù)列2,8,14,…,200,…,由這兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)按從小到大的順序組成一個(gè)新數(shù)列{an},則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=________. 12n-10 [兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)為2,14,26,…,即新數(shù)列的首項(xiàng)為2,公差為12,故an=2+(n-1)×12=12n-10.] 4.(2018·綿陽(yáng)三模)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:a1an=S1+Sn. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式; (2)若an>0,數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,試問當(dāng)n為何值時(shí),Tn最?。坎⑶蟪鲎钚≈担? [解] (1)由已知a1an=S1+Sn, 可得當(dāng)n=

10、1時(shí),a=a1+a1, 可解得a1=0或a1=2. 當(dāng)n≥2時(shí),由已知可得a1an-1=S1+Sn-1, 從而可得a1(an-an-1)=an. 若a1=0,則an=0,此時(shí)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=0. 若a1=2,則2(an-an-1)=an,化簡(jiǎn)得an=2an-1, 即此時(shí)數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列, 故an=2n. 綜上所述,數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=0或an=2n. (2)因?yàn)閍n>0,故an=2n. 設(shè)bn=log2,則bn=n-5,顯然{bn}是等差數(shù)列, 由n-5≥0,得n≥5,且b5=0, 所以當(dāng)n=4或n=5時(shí),Tn最小,最小值為T4=T5==-10. - 4 -

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