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2020屆高考數學一輪總復習 課時跟蹤練(五十五)直線與圓、圓與圓的位置關系 理(含解析)新人教A版

上傳人:Sc****h 文檔編號:116585761 上傳時間:2022-07-05 格式:DOC 頁數:7 大?。?.39MB
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1、課時跟蹤練(五十五) A組 基礎鞏固 1.已知點M(a,b)在圓O:x2+y2=1外,則直線ax+by=1與圓O的位置關系是(  ) A.相切 B.相交 C.相離 D.不確定 解析:由題意知點M在圓外,則a2+b2>1,圓心到直線的距離d=<1,故直線與圓相交. 答案:B 2.已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數a的值是(  ) A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 解析:由x2+y2+2x-2y+a=0, 得(x+1)2+(y-1)2=2-a, 所以圓心坐標為(-1,1),半徑r=, 圓心到直線x+y

2、+2=0的距離為=, 所以22+()2=2-a,解得a=-4. 答案:B 3.(2019·深圳調研)在平面直角坐標系中,直線y=x與圓O:x2+y2=1交于A,B兩點,α,β的始邊是x軸的非負半軸,終邊分別在射線OA和OB上,則tan(α+β)的值為(  ) A.-2 B.- C.0 D.2 解析:由題可知tan α=tan β=,那么tan(α+β)==-2,故選A. 答案:A 4.(2019·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1:x2+y2=5與圓O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B兩點,且兩圓在點A處的切線互相垂直,則線段AB的長度是(  ) A.3 B.4

3、 C.2 D.8 解析:連接O1A,O2A,由于⊙O1與⊙O2在點A處的切線互相垂直,因此O1A⊥O2A,所以|O1O2|2=|O1A|2+|O2A|2,即m2=5+20=25,設AB交x軸于點C. 在Rt△O1AO2中,sin ∠AO2O1=,所以在Rt△ACO2中, AC=AO2·sin ∠AO2O1=2×=2, 所以AB=2AC=4.故選B. 答案:B 5.(2018·全國卷Ⅲ)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是(  ) A.[2,6] B.[4,8] C.[,3] D.[2,3

4、] 解析:設圓(x-2)2+y2=2的圓心為C,半徑為r,點P到直線x+y+2=0的距離為d,則圓心C(2,0),r=,所以圓心C到直線x+y+2=0的距離為2,可得dmax=2+r=3,dmin=2-r=.由已知條件可得AB=2,所以△ABP面積的最大值為AB·dmax=6,△ABP面積的最小值為AB·dmin=2. 綜上,△ABP面積的取值范圍是[2,6]. 故選A. 答案:A 6.已知圓C1:x2+y2-6x-7=0與圓C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B兩點,則線段AB的中垂線方程為____________________ ____________. 解析:因為圓

5、C1的圓心C1(3,0),圓C2的圓心C2(0,3), 所以直線C1C2的方程為x+y-3=0, AB的中垂線即直線C1C2,故其方程為x+y-3=0. 答案:x+y-3=0 7.從圓x2-2x+y2-2y+1=0外一點P(3,2)向這個圓作兩條切線,則兩切線夾角的余弦值為________. 解析:由x2-2x+y2-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,則圓心為C(1,1),|PC|==. 設兩切點分別為B,D,則|CD|=1,所以sin ∠CPD=, 則cos ∠DPB=1-2 sin2∠CPD=1-=,即兩條切線夾角的余弦值為. 答案: 8.[一題多解](20

6、16·全國卷Ⅲ)已知直線l:x-y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.則|CD|=________. 解析:法一 由圓x2+y2=12知圓心O(0,0),半徑r=2.所以圓心(0,0)到直線x-y+6=0的距離d==3,|AB|=2 =2.過C作CE⊥BD于E. 如圖所示,則|CE|=|AB|=2. 因為直線l的方程為x-y+6=0, 所以kAB=,則∠BPD=30°,從而∠BDP=60°. 所以|CD|====4. 法二 設A(x1,y1),B(x2,y2),由 得y2-3y+6=0,解得y1=,y2=2, 所以A(-3

7、,),B(0,2). 過A,B作l的垂線方程分別為 y-=-(x+3),y-2=-x, 令y=0,得xC=-2,xD=2, 所以|CD|=2-(-2)=4. 答案:4 9.已知兩圓C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0. (1)求證:圓C1和圓C2相交; (2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長. (1)證明:圓C1的圓心為C1(1,3),半徑r1=,圓C2的圓心為C2(5,6),半徑r2=4,兩圓圓心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2,所以圓C1和圓C2相

8、交. (2)解:圓C1和圓C2的方程左、右兩邊分別相減,得4x+3y-23=0, 所以兩圓的公共弦所在直線的方程為4x+3y-23=0. 圓心C2(5,6)到直線4x+3y-23=0的距離為=3,故公共弦長為2=2. 10.已知點P(+1,2-),M(3,1),圓C:(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求過點P的圓C的切線方程; (2)求過點M的圓C的切線方程,并求出切線長. 解:由題意得圓心為C(1,2),半徑r=2. (1)因為(+1-1)2+(2--2)2=4, 所以點P在圓C上. 又kPC==-1, 所以切線的斜率k=-=1. 所以過點P的圓C的切線方程是y

9、-(2-)=x-(+1), 即x-y+1-2=0. (2)因為(3-1)2+(1-2)2=5>4, 所以點M在圓C外部. 當過點M的直線的斜率不存在時,直線方程為x=3, 即x-3=0. 又點C(1,2)到直線x-3=0的距離d=3-1=2=r, 所以直線x-3=0是圓的切線. 當切線的斜率存在時,設切線方程為y-1=k(x-3), 即kx-y+1-3k=0, 則圓心C到切線的距離d==r=2, 解得k=. 所以切線方程為y-1=(x-3), 即3x-4y-5=0. 綜上可得,過點M的圓C的切線方程為x-3=0或3x-4y-5=0. 因為|MC|==, 所以過點

10、M的圓C的切線長為==1. B組 素養(yǎng)提升 11.(2019·廣州綜合測試〈二〉)已知k∈R,點P(a,b)是直線x+y=2k與圓x2+y2=k2-2k+3的公共點,則ab的最大值為(  ) A.15 B.9 C.1 D.- 解析:由題意得解得-3≤k≤1. 因為點P是直線與圓的公共點, 所以 即ab=k2+k-=-, 所以當k=-3時,ab取得最大值9,故選B. 答案:B 12.(2019·茂名模擬)若圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點到直線l:ax+by=0的距離為2,則直線l的斜率的取值范圍是(  ) A.[2-,1] B.[2-,2

11、+] C. D.[0,+∞) 解析:圓x2+y2-4x-4y-10=0可化為 (x-2)2+(y-2)2=18, 則圓心坐標為(2,2),半徑為3. 由圓x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三個不同點的直線l:ax+by=0的距離為2可得,圓心到直線l:ax+by=0的距離d≤3-2=, 即≤, 則a2+b2+4ab≤0.① 若a=0,則b=0,不符合題意, 故a≠0且b≠0,則①可化為 1++≤0, 由于直線l的斜率k=-, 所以1++≤0可化為1+-≤0, 解得k∈[2-,2+],故選B. 答案:B 13.[一題多解](2018·江蘇卷)在平面直角坐標

12、系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若·=0,則點A的橫坐標為________. 解析:法一 設A(a,2a),a>0,則C, 所以圓C的方程為+(y-a)2=+a2, 由得 所以·=(5-a,-2a)·=+2a2-4a=0,所以a=3或a=-1, 又a>0,所以a=3,所以點A的橫坐標為3. 法二 由題意易得∠BAD=45°. 設直線DB的傾斜角為θ, 則tan θ=-, 所以tan ∠ABO=-tan(θ-45°)=3, 所以kAB=tan ∠ABO=-3. 所以AB的方程為y=-3(x-5),

13、 由得xA=3. 答案:3 14.已知直線l:4x+3y+10=0,半徑為2的圓C與l相切,圓心C在x軸上且在直線l的右上方. (1)求圓C的方程; (2)過點M(1,0)的直線與圓C交于A,B兩點(A在x軸上方),問在x軸正半軸上是否存在定點N,使得x軸平分∠ANB?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由. 解:(1)設圓心C(a,0), 則=2,解得a=0或a=-5(舍). 所以圓C的方程為x2+y2=4. (2)當直線AB⊥x軸時,x軸平分∠ANB. 當直線AB的斜率存在時,設直線AB的方程為y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0, 所以x1+x2=,x1x2=. 若x軸平分∠ANB, 則kAN=-kBN,即+=0, 則+=0, 即2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0, 即-+2t=0,解得t=4, 所以當點N坐標為(4,0)時,能使得x軸平分∠ANB. 7

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