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2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第13章 選修部分 58 參數(shù)方程課時(shí)訓(xùn)練 文(含解析)

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1、【課時(shí)訓(xùn)練】參數(shù)方程 解答題 1.(2018河南鄭州模擬)已知曲線C1的參數(shù)方程為曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cos (θ-),以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系. (1)求曲線C2的直角坐標(biāo)方程; (2)求曲線C2上的動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值. 【解】(1)ρ=2 cos =2(cos θ+sin θ), 即ρ2=2(ρcos θ+ρsin θ),可得x2+y2-2x-2y=0, 故C2的直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+(y-1)2=2. (2)C1的普通方程為x+y+2=0,由(1)知曲線C2是以(1,1)為圓心,以為半徑的圓,且圓心到直線C1的距離d

2、==,所以動(dòng)點(diǎn)M到曲線C1的距離的最大值為. 2.(2018福建三明質(zhì)檢)在極坐標(biāo)系中,已知三點(diǎn)O(0,0),A,B. (1)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程; (2)以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,圓C2的參數(shù)方程為(θ是參數(shù)).若圓C1與圓C2外切,求實(shí)數(shù)a的值. 【解】(1)O(0,0),A,B 對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)分別為O(0,0),A(0,2),B(2,2),則過(guò)點(diǎn)O,A,B的圓的普通方程為x2+y2-2x-2y=0,將代入可求得經(jīng)過(guò)點(diǎn)O,A,B的圓C1的極坐標(biāo)方程為ρ=2 cos . (2)圓C2:(θ是參數(shù))對(duì)應(yīng)的普通方程為(x+1)2+(y+1

3、)2=a2,圓心為(-1,-1),半徑為|a|,而圓C1的圓心為(1,1),半徑為,所以當(dāng)圓C1與圓C2外切時(shí),有+|a|=,解得a=±. 3.(2018江西百校聯(lián)盟)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,C1:(t為參數(shù))以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C2:ρ2+10ρcos θ-6ρsin θ+33=0. (1)求C1的普通方程及C2的直角坐標(biāo)方程,并說(shuō)明它們分別表示什么曲線; (2)若P,Q分別為C1,C2上的動(dòng)點(diǎn),且|PQ|的最小值為2,求k的值. 【解】(1)由可得其普通方程為y=k(x-1),它表示過(guò)定點(diǎn)(1,0),斜率為k的直線. 由ρ2+10ρcos θ

4、-6ρsin θ+33=0可得其直角坐標(biāo)方程為x2+y2+10x-6y+33=0,整理得(x+5)2+(y-3)2=1,它表示圓心為(-5,3),半徑為1的圓. (2)因?yàn)閳A心(-5,3)到直線y=k(x-1)的距離d==,故|PQ|的最小值為-1,故-1=2,得3k2+4k=0,解得k=0或k=-. 4.(2018貴州貴陽(yáng)模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=5,直線l過(guò)點(diǎn)P且與曲線C相交于A,B兩點(diǎn). (1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程; (2)若|AB|=8,求直線l的直角坐標(biāo)方程. 【解】(1

5、)由ρ=5知ρ2=25,所以x2+y2=25, 即曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=25. (2)設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))① 將參數(shù)方程①代入圓的方程x2+y2=25, 得4t2-12(2cos α+sin α)t-55=0, ∴Δ=16[9(2cos α+sin α)2+55]>0, 上述方程有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根,設(shè)為t1,t2, ∴|AB|=|t1-t2|==8, 化簡(jiǎn)有3cos2 α+4sin αcos α=0, 解得cos α=0或tan α=-, 從而可得直線l的直角坐標(biāo)方程為x+3=0或3x+4y+15=0. 5.(2018遼寧五校聯(lián)考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P,Q都在曲線C:(t為參數(shù))上,對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α(0<α<2π),M為PQ的中點(diǎn). (1)求M的軌跡的參數(shù)方程; (2)將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù),并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). 【解】(1)依題意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α). M的軌跡的參數(shù)方程為(α為參數(shù),0<α<2π). (2)點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d==(0<α<2π). 當(dāng)α=π時(shí),d=0,故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn). 3

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