《2020年高考數(shù)學一輪復習 考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題 理(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020年高考數(shù)學一輪復習 考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù)必刷題 理(含解析)(13頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、考點07 二次函數(shù)與冪函數(shù)
1.(2017·浙江卷)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[0,1]上的最大值是M,最小值是m,則M-m( )
A.與a有關(guān),且與b有關(guān)
B.與a有關(guān),但與b無關(guān)
C.與a無關(guān),且與b無關(guān)
D.與a無關(guān),但與b有關(guān)
【答案】B
【解析】設x1,x2分別是函數(shù)f(x)在[0,1]上的最小值點與最大值點,則m=x+ax1+b,M=x+ax2+b.
∴M-m=x-x+a(x2-x1),顯然此值與a有關(guān),與b無關(guān).故選B.
2.函數(shù)在區(qū)間的最大值是( )
A. 0 B.
C.
2、 D. 1
【答案】C
【解析】y=log(x2﹣6x+10),
可令t=x2﹣6x+10,
對稱軸為x=3,函數(shù)t在[1,2]遞減,
且y=logt在(0,+∞)遞減,
可得y=log(x2﹣6x+10)在[1,2]遞增,
可得x=2時,函數(shù)y取得最大值log(22﹣12+10)=﹣log32,
故選:C.
3.已知函數(shù)在R上是減函數(shù),則的取值范圍是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由f(x)=ax3+3x2﹣x+2,得到=3ax2+6x﹣1,
因為函數(shù)在R上是減函數(shù),所
3、以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立,
所以,由△=36+12a≤0,解得a≤﹣3,
則a的取值范圍是(﹣∞,﹣3].
故答案為:B.
4.,若方程f(x)=x無實根,則方程f(f(x))=x( )
A. 有四個相異實根 B. 有兩個相異實根
C. 有一個實根 D. 無實數(shù)根
【答案】D
【解析】∵f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
方程f(x)=x 即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實根,f(x)-x仍是二次函數(shù),f(x)-x=0仍是二次方程,且無實根,∴△<0.
若a>0,則函數(shù)y=f(x)-x
4、的圖象在x軸上方,∴y>0,即f(x)-x>0恒成立,即:f(x)>x對任意實數(shù)x恒成立.
∴對f(x),有f(f(x))>f(x)>x恒成立,∴f(f(x))=x無實根.
故選D.
5.函數(shù)的值域為
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】設μ=﹣x2﹣6x﹣5(μ≥0),
則原函數(shù)可化為y=.
又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣(x+3)2+4≤4,
∴0≤μ≤4,故∈[0,2],
∴y=的值域為[0,2].
故選:D.
6.平行四邊形中,點在邊上,則的最大值
5、為
A. 2 B.
C. 0 D.
【答案】A
【解析】∵平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,
,點M在邊CD上,
∴=﹣1,cos∠A=﹣1,
∴cosA=﹣,∴A=120°,
以A為原點,以AB所在的直線為x軸,以AB的垂線為y軸,
建立如圖所示的坐標系,∴A(0,0),B(2,0),D(﹣,),
設M(x,),則﹣≤x≤,
∴=(﹣x,﹣),=(2﹣x,﹣),
∴=x(x﹣2)+=x2﹣2x+=(x﹣1)2﹣,
設f(x)=(x﹣1)2﹣,則f(x)在[﹣,1)上單調(diào)遞減,在[1,]
6、上單調(diào)遞增,
∴f(x)min=f(1)=﹣,f(x)max=f(﹣)=2,
則的最大值是2,
故答案為:A
7.中國古代名詞“芻童”原來是草堆的意思,關(guān)于“芻童”體積計算的描述,《九章算術(shù)》注曰:“倍上袤,下袤從之。亦倍下袤,上袤從之。各以其廣乘之,并以高乘之,皆六而一?!逼溆嬎惴椒ㄊ牵簩⑸系酌娴拈L乘二,與下底面的長相加,再與上底面的寬相乘;將下底面的長乘二,與上底面的長相加,再與下底面的寬相乘;把這兩個數(shù)值相加,與高相乘,再取其六分之一。已知一個“芻童”的下底面是周長為18的矩形,上底面矩形的長為3,寬為2,“芻童”的高為3,則該“芻童”的體積的最大值為
A.
7、 B.
C. 39 D.
【答案】D
【解析】設下底面的長寬分別為,有
則“芻童”的體積為,
當時,“芻童”的體積取最大值,選D.
8.在區(qū)間上任取一個數(shù),則函數(shù)在上的最大值是的概率為( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】在區(qū)間[﹣2,2]上任取一個數(shù)a,基本事件空間對應區(qū)間的長度是4,
由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,x∈[0,4],得y∈[﹣1,3],
8、∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a,
∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|,
即最大值是|3﹣a|或|1+a|;
令|3﹣a|≥|1+a|,得(3﹣a)2≥(1+a)2,解得a≤1;
又a∈[﹣2,2],∴﹣2≤a≤1;
∴當a∈[﹣2,1]時,|3﹣a|=3﹣a,
∴f(x)=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0,4]上的最大值是3﹣a+a=3,滿足題意;
當a∈(1,2]時,|1+a|=a+1,
函數(shù)f(x)=|x2﹣4x+3﹣a|+a在x∈[0,4]上的最大值是2a+1,
由1<a≤2,得3<2a+1≤5,f(x)的最大值不是3.
則所求的概
9、率為P=.
故答案為:A.
9.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},則( )
A.?m∈A,都有f(m+3)>0
B.?m∈A,都有f(m+3)<0
C.?m0∈A,使得f(m0+3)=0
D.?m0∈A,使得f(m0+3)<0
【答案】A
【解析】由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,
且f(1)=0,f(0)=c<0,
即1是方程ax2+bx+c=0的一個根,
當x>1時,f(x)>0.
由a>b,得1>,
設方程ax2+bx+c=0的另一個根為x1,
則x1+1=->-1,即x1>-2,
10、
由f(m)<0可得-2<m<1,
所以1<m+3<4,
由拋物線圖象可知,f(m+3)>0,選A.
10.已知函數(shù),對任意不等實數(shù),不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】對任意兩個不等的實數(shù),都有不等式恒成立,
則當 時, 恒成立,即 在 上恒成立,
則
故選D.
11.二次函數(shù)的導數(shù)為,對一切,,又,則的最小值是( )
A. B.
C.
11、 D.
【答案】A
【解析】∵f(x)=ax2+bx+c,∴f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0,∵對任意實數(shù)x都有f(x)≥0,∴a>0,c>0,b2-4ac≤0即 而
,故答案為:A .
12.已知函數(shù)f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1.若對于任意實數(shù)x,f(x)與g(x)中至少有一個為正數(shù),則實數(shù)t的取值范圍是( )
A.(-∞,-2)∪(0,2] B.(-2,2]
C.(-∞,-2) D.(0,+∞)
【答案】A
【解析】對于(2-t)x2-4x+1=0,Δ=16-4(2-t)×1=8+4t.當t=0時,f(x)=0,Δ>0,
12、g(x)有正有負,不符合題意,故排除B;當t=2時,f(x)=2x,g(x)=-4x+1,符合題意,故排除C;當t>2時,f(x)=tx,g(x)=(2-t)x2-4x+1,當x趨近于-∞時,f(x)與g(x)都為負值,不符合題意,故排除D,選A.
13.已知拋物線的焦點為,點為上一動點,,,且的最小值為,則等于
A. 4 B.
C. 5 D.
【答案】B
【解析】設點,則.
∴,
∴當時,有最小值,且最小值為.
由題意得,
整理得,
解得或.
又,
∴,
∴點B坐標
13、為.
∴由拋物線的定義可得.
故選B.
14.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】由題意知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.
當x=0時,-3<0,符合題意;
當x≠0時,a<-,
因為∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
所以當x=1時,右邊取最小值,所以a<.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是.
15.已知函數(shù),則該函數(shù)的最小值是________.
【答案】2
【解析】設,則,此時,
當時,即 ,函數(shù)取得最小值,此時最小值為.
16.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+
14、2x+c(x∈R)的值域為[0,+∞),則的最小值為_____.
【答案】4
【解析】由題意知,
則
當且僅當時取等號.
∴的最小值為4.
17.已知關(guān)于x的不等式>0在[1,2]上恒成立,則實數(shù)m的取值范圍為___________
【答案】
【解析】①當時,函數(shù)外層單調(diào)遞減,
內(nèi)層二次函數(shù):
當,即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞減,
,解得:;
當,即時,無意義;
當,,即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增,函數(shù)先遞增后遞減,
則需,無解;
當,即時,二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,函數(shù)單調(diào)遞增,
,無解.
②當時,函數(shù)外層單調(diào)遞增,
,二次函數(shù)單
15、調(diào)遞增,函數(shù)單調(diào)遞增,
所以,解得:.
綜上所述:或.
18.設函數(shù),若,,則對任意的實數(shù), 的最小值為_________________.
【答案】10
【解析】作出的圖象,如圖,由且得
,即,其中,
如圖圓,易知點在劣弧上,記,則表示點到射線上點的距離的平方,從圖中可知最小值為點到原點的距離的平方,即.
19.已知實數(shù),且滿足,則的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
又 ,,
設,
a,b是方程的兩個實根.
,
①存在時,使,,,即.
②存在時,使,,,即.
.
故答案為:.
20.已知函數(shù)f(x)=x2-2tx+1,在
16、區(qū)間[2,5]上單調(diào)且有最大值為8,則實數(shù)t的值為________.
【答案】
【解析】函數(shù)f(x)=x2-2tx+1圖象的對稱軸是x=t,函數(shù)在區(qū)間[2,5]上單調(diào),故t≤2或t≥5.
若t≤2,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是增函數(shù),
故f(x)max=f(5)=25-10t+1=8,
解得t=;
若t≥5,函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù),
此時f(x)max=f(2)=4-4t+1=8,
解得t=-,與t≥5矛盾.
綜上所述,t=.
21.已知函數(shù)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),對任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(
17、x1)=f(x0),則實數(shù)a的取值范圍是________.
【答案】
【解析】當x0∈[-1,2]時,由f(x)=x2-2x得f(x0)∈[-1,3],又對任意的x1∈[-1,2]都存在x0∈[-1,2],使得g(x1)=f(x0),所以當x1∈[-1,2]時,g(x1)∈[-1,3].當a>0時,解得a≤.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍是.
22.設正實數(shù)滿足,則的最小值是__________.
【答案】
【解析】正實數(shù)滿足,化為,
由于關(guān)于的方程有正實數(shù)根,
,解得
因此實數(shù)y的最小值為.
故答案為:.
23.已知函數(shù)的最小值為,則實數(shù)的取值集合為________
18、__.
【答案】.
【解析】①若,即時,則,
∴在上單調(diào)遞減,最小值為;在上的最小值為.
∵函數(shù) 最小值為,
∴.
②當,即時,則,
∴在上上先減后增,最小值為;在上的最小值為.
∵函數(shù) 最小值為,
∴,解得,不合題意,舍去.
③當,即時,則,
∴在上上先減后增,最小值為;在上的最小值為.
∵函數(shù) 最小值為,
∴,解得或(舍去).
綜上可得或,
∴實數(shù)的取值集合為.
24.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函數(shù)f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,
F(x)=求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0
19、,且|f(x)|≤1在區(qū)間(0,1]上恒成立,試求b的取值范圍.
【答案】(1) 8 (2) [-2,0]
【解析】(1)由已知c=1,a-b+c=0,
且-=-1,
解得a=1,b=2,
∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)f(x)=x2+bx,原命題等價于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
即b≤-x且b≥--x在(0,1]上恒成立.
又-x的最小值為0,--x的最大值為-2.
∴-2≤b≤0.
故b的取值范圍是[-2,0].
25.已知函數(shù)f(x)=x2-2ax+5(a>1
20、).
(1)若f(x)的定義域和值域是[1,a],求實數(shù)a的值;
(2)若f(x)在(-∞,2]上是減少的,且對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1) 2 (2) [2,3]
【解析】(1)因為f(x)=x2-2ax+5=(x-a)2+5-a2(a>1),
所以f(x)在[1,a]上是減少的,
又f(x)的定義域和值域均為[1,a],
所以
即解得a=2.
(2)因為f(x)在(-∞,2]上是減少的,所以a≥2,
又對稱軸方程x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤(a+1)-2=a-1,
所以f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2,
因為對任意的x1,x2∈[1,a+1],總有|f(x1)-f(x2)|≤4,
所以f(x)max-f(x)min≤4,
即(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3,
又a≥2,所以2≤a≤3.
綜上,實數(shù)a的取值范圍是[2,3].
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