《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)13 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 文(含解析)北師大版》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)13 變化率與導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 文(含解析)北師大版(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、課后限時(shí)集訓(xùn)(十三)
(建議用時(shí):60分鐘)
A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=x-,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(1)-f(1)=( )
A.2 B.e C.1 D.-e
B [f′(x)=1-,則f′(1)=1,又f(1)=1-e,
所以f′(1)-f(1)=1-(1-e)=e,故選B.]
2.曲線(xiàn)y=ex-ln x在點(diǎn)(1,e)處的切線(xiàn)方程為( )
A.(1-e)x-y+1=0 B.(1-e)x-y-1=0
C.(e-1)x-y+1=0 D.(e-1)x-y-1=0
C [由于y′=e-,所以y′|x=1=e-1,
2、故曲線(xiàn)y=ex-ln x在點(diǎn)(1,e)處的切線(xiàn)方程為y-e=(e-1)(x-1),即(e-1)x-y+1=0,故選C.]
3.曲線(xiàn)y=xex在點(diǎn)(1,e)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)ax+by+c=0垂直,則的值為( )
A.- B.-
C. D.
D [y′=ex+xex,則y′|x=1=2e.∵曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,e)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)ax+by+c=0垂直,∴-=-,∴=.]
4.(2019·廣州模擬)已知曲線(xiàn)y=ln x的切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn),則此切線(xiàn)的斜率為( )
A.e B.-e
C. D.-
C [設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),由y′=得y′|x=x0=,
由題意知=,即y0=1,∴l(xiāng)
3、n x0=1,
解得x0=e,因此切線(xiàn)的斜率為,故選C.]
5.已知奇函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,0]上的解析式為f(x)=x2+x,則曲線(xiàn)y=f(x)在橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是( )
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
B [當(dāng)x>0時(shí),-x<0,則f(-x)=(-x)2-x=x2-x,
又f(-x)=-f(x),則-f(x)=x2-x,即f(x)=-x2+x,
∴f′(x)=-2x+1,∴f′(1)=-1,又f(1)=0.
因此所求切線(xiàn)方程為y=-(x-1),即x+y-1=0,故選B.]
二、填空題
6.(2016
4、·天津高考)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f′(0)的值為_(kāi)_______.
3 [因?yàn)閒(x)=(2x+1)ex,
所以f′(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,
所以f′(0)=3e0=3.]
7.若曲線(xiàn)y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線(xiàn)平行于x軸,則a=________.
[因?yàn)閥′=2ax-,所以y′|x=1=2a-1.因?yàn)榍€(xiàn)在點(diǎn)(1,a)處的切線(xiàn)平行于x軸,故其斜率為0,故2a-1=0,a=.]
8.如圖所示,y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù),直線(xiàn)l:y=kx+2是曲線(xiàn)y=f(x)在x=3處的切線(xiàn),令g(x)=xf(x
5、),其中g(shù)′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù),則g′(3)=________.
0 [由題圖可知曲線(xiàn)y=f(x)在x=3處切線(xiàn)的斜率等于-,即f′(3)=-.
又因?yàn)間(x)=xf(x),
所以g′(x)=f(x)+xf′(x),g′(3)=f(3)+3f′(3),
由題圖可知f(3)=1,所以g′(3)=1+3×=0.]
三、解答題
9.已知函數(shù)f(x)=x3+.
(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程;
(2)求過(guò)點(diǎn)P(2,4)的函數(shù)f(x)的切線(xiàn)方程.
[解] (1)根據(jù)已知得點(diǎn)P(2,4)是切點(diǎn)且y′=x2,
∴在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)的斜率為y′=4,
∴
6、曲線(xiàn)在點(diǎn)P(2,4)處的切線(xiàn)方程為y-4=4(x-2),
即4x-y-4=0.
(2)設(shè)曲線(xiàn)y=x3+與過(guò)點(diǎn)P(2,4)的切線(xiàn)相切于點(diǎn)A,
則切線(xiàn)的斜率為y′=x,
∴切線(xiàn)方程為y-=x(x-x0),
即y=xx-x+.
∵點(diǎn)P(2,4)在切線(xiàn)上,
∴4=2x-x+,
即x-3x+4=0,
∴x+x-4x+4=0,
∴x(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,
故所求的切線(xiàn)方程為x-y+2=0或4x-y-4=0.
10.已知點(diǎn)M是曲線(xiàn)y=x3-2x2+3x+1上任意一點(diǎn),曲線(xiàn)在M處的切線(xiàn)為l,求:
7、(1)斜率最小的切線(xiàn)方程;
(2)切線(xiàn)l的傾斜角α的取值范圍.
[解] (1)y′=x2-4x+3=(x-2)2-1≥-1,
所以當(dāng)x=2時(shí),y′=-1,y=,
所以斜率最小的切線(xiàn)過(guò)點(diǎn),
斜率k=-1,
所以切線(xiàn)方程為x+y-=0.
(2)由(1)得k≥-1,
所以tan α≥-1,所以α∈∪.
B組 能力提升
1.(2019·青島模擬)若函數(shù)y=f(x)的圖像上存在兩點(diǎn),使得函數(shù)的圖像在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,則稱(chēng)y=f(x)具有T性質(zhì),下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是( )
A.y=sin x B.y=ln x
C.y=ex D.y=x3
A [若y=f(x)的圖像上存
8、在兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),使得函數(shù)圖像在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直,則f′(x1)·f′(x2)=-1.
對(duì)于A:y′=cos x,若有cos x1·cos x2=-1,則當(dāng)x1=2kπ,x2=2kπ+π(k∈Z)時(shí),結(jié)論成立;
對(duì)于B:y′=,若有·=-1,即x1x2=-1,∵x>0,∴不存在x1,x2,使得x1x2=-1;
對(duì)于C:y′=ex,若有ex1·ex2=-1,即ex1+x2=-1.顯然不存在這樣的x1,x2;
對(duì)于D:y′=3x2,若有3x·3x=-1,即9xx=-1,顯然不存在這樣的x1,x2.
綜上所述,選A.]
2.如圖,修建一條公路需要一段
9、環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖像的一部分,則該函數(shù)的解析式為( )
A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x
C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x
A [設(shè)三次函數(shù)的解析式為y=ax3+bx2+cx+d(a≠0),則y′=3ax2+2bx+c.由已知得y=-x是函數(shù)y=ax3+bx2+cx+d在點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn),則y′|x=0=-1?c=-1,排除選項(xiàng)B、D.又∵y=3x-6是該函數(shù)在點(diǎn)(2,0)處的切線(xiàn),則y′|x=2=3?12a+4b+c=3?12a+4b-1=3?3a+b=1.只有A選項(xiàng)的函數(shù)符合,故選A.]
3.(
10、2019·武漢模擬)已知函數(shù)f(x+1)=,則曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處切線(xiàn)的斜率為_(kāi)_______.
1 [f(x+1)=,故f(x)=,即f(x)=2-,對(duì)f(x)求導(dǎo)得f′(x)=,則f′(1)=1,故所求切線(xiàn)的斜率為1.]
4.已知函數(shù)f(x)=x-,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲線(xiàn)y=f(x)與曲線(xiàn)y=g(x)在x=1處的切線(xiàn)斜率相同,求a的值,并判斷兩條切線(xiàn)是否為同一條直線(xiàn).
[解] 根據(jù)題意有f′(x)=1+,g′(x)=-.
曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)斜率為f′(1)=3,
曲線(xiàn)y=g(x)在x=1處的切線(xiàn)斜率為g′(1)=-a,
所以f′(1)=g′(1),即a=-3.
曲線(xiàn)y=f(x)在x=1處的切線(xiàn)方程為
y-f(1)=3(x-1),
所以y+1=3(x-1),即切線(xiàn)方程為3x-y-4=0.
曲線(xiàn)y=g(x)在x=1處的切線(xiàn)方程為
y-g(1)=3(x-1),
所以y+6=3(x-1),即切線(xiàn)方程為3x-y-9=0,
所以,兩條切線(xiàn)不是同一條直線(xiàn).
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