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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時(shí)集訓(xùn)8 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 理(含解析)北師大版

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1、課后限時(shí)集訓(xùn)(八) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) (建議用時(shí):60分鐘) A組 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1.設(shè)a>0,將表示成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,其結(jié)果是(  ) A.a(chǎn)        B.a(chǎn) C.a(chǎn) D.a(chǎn) C [====a2-=a.故選C.] 2.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,則(  ) A.a(chǎn)>b>c B.a(chǎn)>c>b C.c>a>b D.b>c>a A [由0.2<0.6,0.4<1,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖像可知0.40.2>0.40.6,即b>c.因?yàn)閍=20.2>1,b=0.40.2<1,所以a>b.綜上,a>b>c.] 3.函數(shù)y=(0<a<1

2、)的圖像的大致形狀是(  )        A         B        C         D D [函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0},所以y==當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)是指數(shù)函數(shù),其底數(shù)0<a<1,所以函數(shù)遞減;當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)圖像與指數(shù)函數(shù)y=ax(x<0)的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱,函數(shù)遞增,所以應(yīng)選D.] 4.若2x2+1≤x-2,則函數(shù)y=2x的值域是(  ) A. B. C. D.[2,+∞) B [因2x2+1≤x-2=24-2x,則x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,所以-3≤x≤1,所以≤y≤2.]

3、 5.若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,+∞) B.(-2,+∞) C.(0,+∞) D.(-1,+∞) D [不等式2x(x-a)<1可變形為x-a<x.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出直線y=x-a與y=x的圖像.由題意知,在(0,+∞)內(nèi), 直線有一部分在y=x圖像的下方. 由圖可知,-a<1,所以a>-1.] 二、填空題 6.計(jì)算:-×0+8×-=________. 2 [原式=×1+2×2-=2.] 7.已知函數(shù)f(x)=2|2x-m|(m為常數(shù)).若f(x)在[2,+∞)上是增函數(shù),則m的取值范圍是________.

4、(-∞,4] [令t=|2x-m|,則t=|2x-m|在區(qū)間上遞增,在區(qū)間上遞減.而y=2t在R上遞增,所以要使函數(shù)f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上遞增,則有≤2,即m≤4,所以m的取值范圍是(-∞,4].] 8.(2019·西安八校聯(lián)考)設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(x)+f(x-1)>1的x的取值范圍是________. (0,+∞) [畫(huà)出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖,易知函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上遞增.又x>x-1,且x-(x-1)=1,f(0)=1,所以要使f(x)+f(x-1)>1成立,則結(jié)合函數(shù)f(x)的圖像知只需x-1>-1,解得x>0.故所求x的取值范圍是(0,+∞

5、).] 三、解答題 9.已知函數(shù)f(x)=b·ax(其中a,b為常量,且a>0,a≠1)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,6),B(3,24). (1)求f(x)的表達(dá)式; (2)若不等式x+x-m≥0在(-∞,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍. [解] (1)因?yàn)閒(x)的圖像過(guò)A(1,6),B(3,24),所以所以a2=4,又a>0,所以a=2,b=3. 所以f(x)=3·2x. (2)由(1)知a=2,b=3,則x∈(-∞,1]時(shí),x+x-m≥0恒成立,即m≤x+x在(-∞,1]上恒成立. 又因?yàn)閥=x與y=x均為減函數(shù),所以y=x+x也是減函數(shù), 所以當(dāng)x=1時(shí),y=x+x有最小值

6、.所以m≤. 即m的取值范圍是. 10.已知函數(shù)f(x)=-+3(-1≤x≤2). (1)若λ=,求函數(shù)f(x)的值域; (2)若函數(shù)f(x)的最小值是1,求實(shí)數(shù)λ的值. [解] (1)f(x)=-+3 =2x-2λ·x+3(-1≤x≤2). 設(shè)t=x, 得g(t)=t2-2λt+3. 當(dāng)λ=時(shí),g(t)=t2-3t+3 =2+. 所以g(t)max=g=, g(t)min=g=. 所以f(x)max=,f(x)min=, 故函數(shù)f(x)的值域?yàn)? (2)由(1)得g(t)=t2-2λt+3 =(t-λ)2+3-λ2, ①當(dāng)λ≤時(shí),g(t)min=g=-+,

7、 令-+=1,得λ=>,不符合,舍去; ②當(dāng)<λ≤2時(shí),g(t)min=g(λ)=-λ2+3, 令-λ2+3=1,得 λ=; ③當(dāng)λ>2時(shí),g(t)min=g(2)=-4λ+7, 令-4λ+7=1,得λ=<2,不符合,舍去. 綜上所述,實(shí)數(shù)λ的值為. B組 能力提升 1.設(shè)函數(shù)f(x)=x(ex+e-x),則f(x)(  ) A.是奇函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù) B.是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是增函數(shù) C.是奇函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù) D.是偶函數(shù),且在(0,+∞)上是減函數(shù) A [∵f(-x)=-x(e-x+ex)=-[x(e-x+ex)]=-f(x)

8、, ∴f(x)是奇函數(shù). 任取x2>x1>0,則ex2-ex1>0,e x2+x1>1, e x2+e-x2-(e x1+e-x1)=(e x1-e x1)>0, f(x2)>f(x1), ∴f(x)在(0,+∞)上遞增,故選A.] 2.設(shè)函數(shù)f(x)=則滿足f(f(a))=2f(a)的a的取值范圍是(  ) A. B.[0,1] C. D.[1,+∞) C [令f(a)=t,則f(t)=2t. 當(dāng)t<1時(shí),3t-1=2t,令g(t)=3t-1-2t,則g′(t)=3-2tln 2,當(dāng)t<1時(shí),g′(t)>0,g(t)在(-∞,1)上遞增,即g(t)<g(1)=0,則方

9、程3t-1=2t無(wú)解. 當(dāng)t≥1時(shí),2t=2t成立,由f(a)≥1,即當(dāng)a<1時(shí),3a-1≥1,解得≤a<1;或a≥1時(shí),2a≥1,解得a≥1. 綜上可得a的取值范圍是a≥.] 3.若32+2x-3x2+x>2+2x-x2+x,則x的取值范圍是________. (-1,2) [∵32+2x-3x2+x>2+2x-x2+x, ∴32+2x-2+2x>3x2+x-x2+x,(*) 觀察知,不等式兩邊結(jié)構(gòu)相同,故構(gòu)造函數(shù)F(t)=3t-t,則F(t)為R上的增函數(shù),而(*)式可以寫(xiě)成,F(xiàn)(2+2x)>F(x2+x),根據(jù)F(x)遞增,得2+2x>x2+x,即x2-x-2<0,解得x∈(

10、-1,2).] 4.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求a,b的值; (2)解關(guān)于t的不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0. [解] (1)因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(0)=0, 即=0,解得b=1, 所以f(x)=. 又由f(1)=-f(-1)知=-,解得a=2. (2)由(1)知f(x)==-+. 由上式易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù)(此處可用定義或?qū)?shù)法證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)). 又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以不等式f(t2-2t)+f(2t2-1)<0等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t2-1)=f(-2t2+1). 所以t2-2t>-2t2+1,即3t2-2t-1>0.解得t>1或t<-,所以該不等式的解集為. - 6 -

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