《2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破6 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 必考問題專項(xiàng)突破6 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 理（12頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 考問題6　三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1．(2011·新課標(biāo)全國)已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos 2θ＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．－ B．－ C. D. 答案：B　[由題意知，tan θ＝2，cos 2θ＝＝＝－.] 2．(2012·湖南)函數(shù)f(x)＝sin x－cos的值域?yàn)?　　)． A．[－2,2] B. C．[－1,1] D. 答案：B　[因?yàn)閒(x)＝sin x－cos x＋sin x＝·＝sin，所以函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇－，]．] 3．(2011·新課標(biāo)全國)設(shè)函數(shù)f(x)＝

2、sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)的最小正周期為π，且f(－x)＝f(x)，則(　　)． A．f(x)在單調(diào)遞減 B．f(x)在單調(diào)遞減 C．f(x)在單調(diào)遞增 D．f(x)在單調(diào)遞增 答案：A　[f(x)＝sin(ωx＋φ)＋cos(ωx＋φ)＝sin. 由最小正周期為π得，ω＝2，又由f(－x)＝f(x)可知f(x)為偶函數(shù)，|φ|<可知φ＝，所以f(x)＝cos 2x在單調(diào)遞減．] 4．(2012·全國)當(dāng)函數(shù)y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值時(shí)，x＝________. 解析　y＝sin x－cos x＝2＝2sin的最大值為2，又0≤x＜2

3、π，故當(dāng)x－＝，即x＝時(shí)，y取得最大值． 答案　 1．對三角函數(shù)圖象的考查主要表現(xiàn)在以下三個(gè)方面：(1)利用“五點(diǎn)法”作出圖象；(2)圖象變換；(3)由三角函數(shù)的圖象(部分)確定三角函數(shù)的解析式． 2．三角函數(shù)的性質(zhì)是高考的一個(gè)重點(diǎn)，它既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題．常通過三角變換，將其轉(zhuǎn)化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性質(zhì)(定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性)． 3．三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)經(jīng)常與向量綜合進(jìn)行考查． 由于本部分高考試題的難度不大，經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)的學(xué)生已經(jīng)達(dá)到了高考的要求，二輪復(fù)習(xí)就是在此基礎(chǔ)上進(jìn)行的鞏固和強(qiáng)化，在復(fù)習(xí)中注意如下幾點(diǎn)： (

4、1)該專題具有基礎(chǔ)性和工具性，雖然沒有什么大的難點(diǎn)問題，但包含的內(nèi)容非常廣泛，概念、公式很多，不少地方容易混淆，在復(fù)習(xí)時(shí)要根據(jù)知識網(wǎng)絡(luò)對知識進(jìn)行梳理，系統(tǒng)掌握其知識體系． (2)抓住考查的主要題型進(jìn)行訓(xùn)練，根據(jù)三角函數(shù)的圖象求函數(shù)解析式或者求函數(shù)值. 必備知識 同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式應(yīng)用的條件． 五點(diǎn)法作y＝Asin(ωx＋φ)的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)X＝ωx＋φ，由X取0、、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖． 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋B(其中A＞0，ω＞0)最大值是A＋B，最小值是B

5、－A，周期是T＝，頻率是f＝，相位是ωx＋φ，初相是φ；其圖象的對稱軸是直線ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，凡是該圖象與直線y＝B的交點(diǎn)都是該圖象的對稱中心． 由y＝sin x的圖象變換出y＝sin(ωx＋φ)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換．利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)．無論哪種變形，請切記每一個(gè)變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少． 三角函數(shù)的性質(zhì) 三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y＝sin x 遞增區(qū)間是 (k∈Z)， 遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝cos x的遞增區(qū)間是(k∈Z)

6、， 遞減區(qū)間是(k∈Z)； y＝tan x的遞增區(qū)間是(k∈Z)． 必備方法 1．三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧： (1)方程思想：sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三者中，知一可求二； (2)“1”的替換：sin2α＋cos2α＝1； (3)切弦互化：弦的齊次式可化為切． 2．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的問題： (1)“五點(diǎn)法”畫圖：分別令ωx＋φ＝0、、π、、2π，求出五個(gè)特殊點(diǎn)； (2)給出y＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象，求函數(shù)表達(dá)式時(shí)，比較難求的是φ，一般從“五點(diǎn)法”中取靠y軸較近的已知點(diǎn)代入突破； (3)求對稱軸方程：

7、令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求對稱中心：令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)． 基本關(guān)系的應(yīng)用 ?？疾槔萌呛瘮?shù)的定義、誘導(dǎo)公式及同角三角函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行化簡、求值．主要以小題形式考查，在綜合性問題第(1)問中也經(jīng)常涉及到三角函數(shù)的化簡、求值，多為基礎(chǔ)問題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例1】? (2012·山東萊蕪檢測)若tan(π－α)＝－，則的值為(　　)． A．－ B. C. D．－ [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 先求tan α，再將所求三角函數(shù)式分子分母同除cos α化成切的式子． C　[由tan(π－α)＝－得，tan α＝，

8、＝＝＝＝.] 在三角函數(shù)求值類試題中，一般是先化簡題目的已知條件或是目標(biāo)式，把已知和求解之間的關(guān)系明朗化后，再選擇解決問題的方法． 【突破訓(xùn)練1】 如圖，以O(shè)x為始邊作角α(0＜α＜π)，終邊與單位圓相交于點(diǎn)P，已知點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 求的值． 解　由三角函數(shù)定義，得cos α＝－，sin α＝， ∴原式＝＝ ＝2cos2 α＝2×2＝. 　　　　　　象及解析式 常考查：①利用已給三角函數(shù)的圖象特點(diǎn)，求三角函數(shù)解析式；②函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象變換．考查學(xué)生三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握情況．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例2】? (2012·惠州二模)

9、已知 函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R)的圖象的一部分如圖所示．則函數(shù)f(x)的解析式為________． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 觀察圖象，由周期確定ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)確定φ. 解析　由圖象知A＝2，＝2?T＝8＝， 所以ω＝，得f(x)＝2sin. 由對應(yīng)點(diǎn)得當(dāng)x＝1時(shí)，×1＋φ＝?φ＝. 所以f(x)＝2sin. 答案　f(x)＝2sin 將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式時(shí)，要注意選擇的點(diǎn)屬于“五點(diǎn)法”中的哪一個(gè)點(diǎn)．“第一點(diǎn)”(即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn))為ωx0＋φ＝0＋2kπ(k∈Z)，其他依次類推即可．

10、【突破訓(xùn)練2】 (2012·北京東城區(qū)模擬)函 數(shù)f(x)＝sin (ωx＋φ)，(其中|φ|＜)的圖象如圖所示，為了得到g(x)＝sin ωx的圖象，則只要將f(x)的圖象(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．向右平移個(gè)單位 B．向右平移個(gè)單位 C．向左平移個(gè)單位 D．向左平移個(gè)單位 答案：A　[由圖象可知，＝－＝，∴T＝π， ∴ω＝＝2，再由2×＋φ＝π. 得φ＝，所以f(x)＝sin， 故只需將f(x)＝sin2向右平移個(gè)單位， 得到g(x)＝sin 2x.] 三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、對稱性、最值等是高考的熱點(diǎn)，常與三角恒等變換交匯

11、命題，在考查三角恒等變換的方法與技巧的同時(shí)，又考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，難度中低檔．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例3】? (2012·湖北)已知向量a＝(cos ωx－sin ωx，sin ωx)，b＝(－cos ωx－sin ωx,2cos ωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 對于第(1)問的求解主要是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)和三角函數(shù)的定義進(jìn)行合一化簡求最小正周期

12、；對于第(2)問的求解則要對三角函數(shù)在定義域內(nèi)求值域． 解　(1)因?yàn)閒(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sin ωx·cos ωx＋λ＝－cos 2ωx＋sin 2ωx＋λ＝2sin＋λ. 由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸，可得sin＝±1， 所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)． 又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝. 所以f(x)的最小正周期是. (2)由y＝f(x)的圖象過點(diǎn)，得f＝0， 即λ＝－2sin＝－2sin＝－， 即λ＝－. 故f(x)＝2sin－， 由0≤x≤，得－≤x－≤， 所以－≤sin≤1， 得－1－≤2sin－≤2－

13、， 故函數(shù)f(x)在上的取值范圍為[－1－，2－]． 在解答三角函數(shù)的最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性的問題時(shí)，通常是將三角函數(shù)化為只含一個(gè)函數(shù)名稱且角度唯一、最高次數(shù)為一次的形式，即y＝Asin(ωx＋φ)＋m，其中A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π)，若給定區(qū)間x∈[a，b]，則最大(小)值、單調(diào)區(qū)間隨之確定；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且φ＝kπ(k∈Z)，m＝0，則y＝Asin(ωx＋φ)＋m是奇函數(shù)；若定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且φ＝kπ＋(k∈Z)，m＝0，則y＝Asin(ωx＋φ)＋m是偶函數(shù)；其周期為T＝. 【突破訓(xùn)練3】 已知f(x)＝2cos2x＋sin 2x＋a(a∈R)． (1)

14、若x∈R，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若x∈時(shí)，f(x)的最大值為4，求實(shí)數(shù)a的值． 解　因f(x)＝2cos2 x＋sin 2x＋a ＝cos 2x＋1＋sin 2x＋a＝2sin＋a＋1. (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋， 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(k∈Z)． (2)若x∈，≤2x＋≤， ∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最大值a＋3. 則由條件有a＋3＝4，得a＝1. 三角函數(shù)圖象與性質(zhì)是三角函數(shù)的綜合交匯點(diǎn)，是高考命題的重點(diǎn)，主要考查三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、對稱性、圖象變換等，近幾年關(guān)于三角函數(shù)綜合應(yīng)用的高考題不斷求

15、新求異，但考查的知識方法不變，首先是化簡所給式子，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解相關(guān)問題．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【例4】? 已知函數(shù)f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos φ－sin(0<φ<π)，其圖象過點(diǎn)，. (1)求φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值． [審題視點(diǎn)] 　 　 [聽課記錄] [審題視點(diǎn)] 先化簡三角函數(shù)式，盡量化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，然后再求解． 解　(1)∵f(x)＝sin 2xsin φ＋cos2xcos

16、φ－sin (0<φ<π)， ∴f(x)＝sin 2xsin φ＋cos φ－cos φ ＝sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ ＝(sin 2xsin φ＋cos 2xcos φ) ＝cos(2x－φ)， 又函數(shù)圖象過點(diǎn)， ∴＝cos， 即cos＝1， 又0<φ<π，∴φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，可知g(x)＝f(2x)＝cos， 因?yàn)閤∈，所以4x∈[0，π]， 因此4x－∈，故－≤cos≤1. 所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分別為和－.

17、 (1)形如y＝asin ωx＋bcos ωx型的三角函數(shù)通過引入輔助角化為y＝sin(ωx＋φ)的形式． (2)求三角函數(shù)式最值的方法 ①將三角函數(shù)式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，進(jìn)而結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解． ②將三角函數(shù)式化為關(guān)于sin x，cos x的二次函數(shù)的形式，進(jìn)而借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解． 【突破訓(xùn)練4】 若函數(shù)f(x)＝sin 2x＋2cos2x＋m在區(qū)間上的最大值為6. (1)求常數(shù)m的值； (2)作函數(shù)f(x)關(guān)于y軸的對稱圖象得函數(shù)f1(x)的圖象，再把f1(x)的圖象向右平移個(gè)單位長度得f2(x)的圖象，求函數(shù)f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． 解　

18、(1)f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＋m ＝2sin＋1＋m， 由于x∈，所以≤2x＋≤， 所以－≤sin≤1. 所以m≤f(x)≤3＋m，所以3＋m＝6，所以m＝3. (2)由(1)得f(x)＝2sin＋4， f1(x)＝2sin＋4， f2(x)＝2sin＋4 ＝－2sin＋4. 由－＋2kπ≤2x－π≤2kπ＋，k∈Z， 得f2(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，k∈Z. 三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式的應(yīng)用 利用輔助角公式化已知三角函數(shù)式為“標(biāo)準(zhǔn)式”，是歷年高考的熱點(diǎn)，三角函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式在求三角函數(shù)性質(zhì)(如單調(diào)性、最值等)時(shí)有著重要作用．化簡時(shí)常常要結(jié)合三角恒等變換知識，這是解決

19、三角函數(shù)問題的基礎(chǔ)，因此，要牢固掌握這一解題技巧． 【示例】? (2012·重慶)設(shè)f(x)＝4cossin ωx－cos(2ωx＋π)，其中ω＞0. (1)求函數(shù)y＝f(x)的值域； (2)若f(x)在區(qū)間上為增函數(shù)，求ω的最大值． [滿分解答]　(1)f(x)＝4sin ωx＋cos 2ωx＝2sin ωxcos ωx＋2sin2ωx＋cos2ωx－sin2ωx ＝sin 2ωx＋1，(4分) 因?yàn)椋?≤sin 2ωx≤1，所以函數(shù)y＝f(x)的值域?yàn)閇1－，1＋]．(6分) (2)因y＝sin x在每個(gè)閉區(qū)間(k∈Z)上為增函數(shù)，故f(x)＝sin 2ωx＋1(ω＞0)在每

20、個(gè)閉區(qū)間(k∈Z)上為增函數(shù)．(8分) 依題意知?對某個(gè)k∈Z成立， 此時(shí)必有k＝0，于是 解得ω≤，故ω的最大值為.(12分) 老師叮嚀：本題考查三角函數(shù)的基本知識，利用公式進(jìn)行化簡，然后數(shù)形結(jié)合找函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的最值.其中，第(1)問需利用三角恒等變換知識將三角函數(shù)式化為標(biāo)準(zhǔn)式，是解(2)問的基礎(chǔ)；第(2)問得分率不高，不少考生找不到解題突破口是失分原因. 【試一試】 (2012·杭州模擬)要得到函數(shù)y＝cos x的圖象，只需將函數(shù)y＝ sin的圖象上所有的點(diǎn)的(　　)． A．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 B．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 C．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度 D．橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度 答案：C　[將函數(shù)y＝sin圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y＝sin的圖象；再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度后便得：y＝sin＝cos x的圖象，故選C.] 12