4、側(cè)視圖都是由三個(gè)邊長(zhǎng)為2的正三角形組成的，則該幾何體的表面積為( )
A．13π B．12π
C．11π D．2π
答案：B
解析：依題意知，題中的幾何體是從一個(gè)圓臺(tái)(該圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為2，母線長(zhǎng)為2)中挖去一個(gè)圓錐(該圓錐的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2)后得到的，圓臺(tái)的側(cè)面積為π(1＋2)×2＝6π，圓錐的側(cè)面積為π×1×2＝2π，所以題中幾何體的表面積為6π＋2π＋π×22＝12π，故選B.
5．[2019·湖南岳陽(yáng)質(zhì)檢]函數(shù)f(x)＝(－x2＋x)ex的圖象大致為( )
答案：A
解析：令f(x)＝0，得x＝0或x＝1，所以點(diǎn)(1,0)在函數(shù)f
5、(x)＝(－x2＋x)ex的圖象上，所以排除B，C.當(dāng)x→＋∞時(shí)，f(x)→－∞，排除D，故選A.
6．[2019·江西贛州十四縣(市)期中聯(lián)考]古代有這樣一個(gè)問(wèn)題：“今有墻厚22.5尺，兩鼠從墻兩側(cè)同時(shí)打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞長(zhǎng)度比前一天多半尺，小鼠前三天每天打洞長(zhǎng)度比前一天多一倍，三天之后小鼠每天打洞長(zhǎng)度與第三天打洞長(zhǎng)度相同，問(wèn)兩鼠幾天能打通墻相逢？”兩鼠相逢最快需要的天數(shù)為( )
A．4 B．5
C．6 D．7
答案：C
解析：依題意得，大鼠每天打洞長(zhǎng)度構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且首項(xiàng)a1＝1，公差d＝.小鼠前三天打洞長(zhǎng)度之和為＋1＋2＝
6、，之后每天打洞長(zhǎng)度是常數(shù)2，令n·1＋·＋＋(n－3)·2≥22(n指天數(shù)，且n是正整數(shù))，則有n2＋11n－100≥0，即n(n＋11)≥100，則易知n的最小值為6.故選C.
7．[2019·河南開(kāi)封定位考試]將函數(shù)y＝sin2x－cos2x的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象與函數(shù)y＝ksin xcos x(k>0)的圖象重合，則k＋m的最小值是( )
A．2＋ B．2＋
C．2＋ D．2＋
答案：A
解析：將函數(shù)y＝sin2x－cos2x＝－cos 2x的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位長(zhǎng)度后所得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝－cos[2(x＋m)]＝－cos
7、(2x＋2m)＝sin(m>0)，平移后得到的圖象與函數(shù)y＝ksin xcos x＝sin 2x(k>0)的圖象重合，所以得k＝2，m＝nπ＋(n∈Z)，又m>0，所以m的最小值為，可知k＋m的最小值為2＋.故選A.
8．[2019·山西太原一中檢測(cè)]已知實(shí)數(shù)x，y滿足|x|＋|y|≤1，則z＝2|x|－|y|的最大值為( )
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：D
解析：令|x|＝a，|y|＝b，則且z＝2a－b.作出可行域如圖中陰影部分所示，作出直線b＝2a，并平移，由圖知，當(dāng)平移后的直線過(guò)點(diǎn)(1,0)時(shí)，z取得最大值，且zmax＝2×1－0＝2.故選D.
9．[2
8、019·河南鄭州摸底]現(xiàn)有一個(gè)不透明的口袋中裝有標(biāo)號(hào)分別為1,2,2,3的四個(gè)小球，它們除數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球記下號(hào)碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，則兩次取出小球所標(biāo)號(hào)碼不同的概率為( )
A. B.
C. D.
答案：D
解析：隨機(jī)取出一球記下號(hào)碼后放回，均勻攪拌后再隨機(jī)取出一球，則兩次取出小球的所有情況共有4×4＝16(種)，其中號(hào)碼相同的情況共有6種，則號(hào)碼不同的概率為P＝1－＝，故選D.
10．[2019·遼寧五校期末]在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝，C＝，則△ABC的
9、面積是( )
A. B.
C.或 D.或
答案：D
解析：由sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，得2sin Bcos A＝3sin 2A＝6sin Acos A，即sin Bcos A＝3sin Acos A．當(dāng)cos A＝0時(shí)，A＝，而C＝，c＝，所以B＝，b＝ctan B＝×＝，所以此時(shí)△ABC的面積為bc＝××＝；當(dāng)cos A≠0時(shí)，可得sin B＝3sin A，由正弦定理得b＝3a，又c＝，所以cos C＝＝＝cos＝，得a＝1，所以b＝3，此時(shí)△ABC的面積為absin C＝×1×3×＝.綜上可知，△ABC的面積為或.故選D.
11．[2019·河北唐
10、山期中]如圖，在△ABC中，＝2，過(guò)點(diǎn)M的直線分別交射線AB，AC于不同的兩點(diǎn)P，Q，若＝m，＝n，則mn＋m的最小值為( )
A．2 B．2
C．6 D．6
答案：A
解析：連接AM，由已知可得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因?yàn)镻，M，Q三點(diǎn)共線，所以＋＝1，所以mn＋m＝＋m＝＋＝＝＋＋≥＋2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即m＝n＝1時(shí)取等號(hào)，
所以mn＋m的最小值為2.故選A.
12．[2019·陜西漢中模擬]設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)M(－1,0)的直線在第一象限交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且·＝0，則直線AB的斜率k＝( )
A. B.
C. D.
答案：B
11、解析：設(shè)直線AB的方程為y＝k(x＋1)(易知k>0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由可得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得x1·x2＝1，x1＋x2＝.
又·＝0，易知F(1,0)，所以(1－x1)(1－x2)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，即(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0，即2k2＋2＋(k2－1)＝0，解得k＝.故選B.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將正確答案填在題中的橫線上．)
13．[2019·陜西寶雞四校第二次聯(lián)考]已知α為銳角，且sin α·(－tan 10°)＝1，則α＝_____
12、___.
答案：40°
解析：由題意知sin α(－tan 10°)
＝sin α·
＝sin α·
＝sin α·＝sin α·
＝＝1，
即sin α＝sin 40°.因?yàn)棣翞殇J角，所以α＝40°.
14．[2019·山東鄒城質(zhì)監(jiān)]觀察下列各式：
12＝；
12＋22＝；
12＋22＋32＝；
12＋22＋32＋42＝；
……
照此規(guī)律，當(dāng)n∈N*時(shí)，12＋22＋32＋…＋n2＝________.
答案：
解析：第一個(gè)式子：12＝；第二個(gè)式子：12＋22＝；第三個(gè)式子：12＋22＋32＝；第四個(gè)式子：12＋22＋32＋42＝；……第n個(gè)式子：12＋22＋32
13、＋…＋n2＝＝.
15．[2019·福建福州質(zhì)量抽測(cè)]隨機(jī)抽取某中學(xué)甲班9名同學(xué)、乙班10名同學(xué)，得到他們的期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示，估計(jì)該中學(xué)甲、乙兩班數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)分別是________.
答案：76 83
解析：將甲班9名同學(xué)的成績(jī)按從小到大的順序排列，為52,66,72,74,76,76,78,82,96，故中位數(shù)為76；將乙班10名同學(xué)的成績(jī)按從小到大的順序排列，為62,74,76,78,82,84,85,86,88,92，故中位數(shù)為＝83.
16．[2019·湖南四校摸底]已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f＋f(x)＝0，當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x＋a，
14、則f(16)＝________.
答案：
解析：由f＋f(x)＝0，得f(x)＝－f＝f(x＋5)，所以函數(shù)f(x)是以5為周期的函數(shù)，則f(16)＝f(3×5＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，解得a＝－1，所以當(dāng)－≤x≤0時(shí)，f(x)＝2x－1，所以f(－1)＝－，則f(1)＝－f(－1)＝，故f(16)＝.
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．)
17．(12分)[2019·河南鄭州高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量預(yù)測(cè)]已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an>0，若an＝＋(n≥2且n∈N*)．
15、
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝an·2an，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.
解析：(1)依題意知an＝＋(n≥2且n∈N*)，且an>0，
又當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1，
兩式相除，得－＝1(n≥2)，
可知數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，
所以＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，滿足上式，
所以an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)知，an＝2n－1，所以cn＝(2n－1)·22n－1，
則Tn＝1×2＋3×23＋5×25＋…＋
16、(2n－1)×22n－1 ①，
4Tn＝1×23＋3×25＋…＋(2n－3)×22n－1＋(2n－1)×22n＋1?、?，
①－②得－3Tn＝2＋2×(23＋25＋…＋22n－1)－(2n－1)×22n＋1＝2＋2×－(2n－1)×22n＋1＝－＋×22n＋1，
所以Tn＝.
18．(12分)[2019·河南開(kāi)封模擬]如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．
(1)求證：CE∥平面PAD；
(2)求證：平面EFG⊥平面EMN.
解析：
(1)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，D
17、H.
因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，
所以EH綊AB.又CD綊AB，
所以EH綊CD.
所以四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH.
又DH?平面PAD，CE?平面PAD，所以CE∥平面PAD.
(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.
又AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可證AB⊥FG.
又EF∩FG＝F，EF，F(xiàn)G?平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，
所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
因?yàn)镸N?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
19．(12分)[2019·廣東七校聯(lián)考]
18、某物流公司每天從甲地運(yùn)貨物到乙地，統(tǒng)計(jì)最近200天配送的貨物量，可得如圖所示的頻率分布直方圖．(頻率分布直方圖中每個(gè)小組取中間值作為該組數(shù)據(jù)的代表)
(1)估計(jì)該物流公司從甲地到乙地平均每天配送的貨物量；
(2)該物流公司擬購(gòu)置貨車專門運(yùn)送從甲地到乙地的貨物，一輛貨車每天只能運(yùn)送一趟，每輛貨車每趟最多只能裝載40件貨物，滿載發(fā)車，否則不發(fā)車．若發(fā)車，則每輛貨車每趟可獲利1 000元；若未發(fā)車，則每輛貨車每天虧損200元．為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)最大，估計(jì)該物流公司應(yīng)該購(gòu)置幾輛貨車？
解析：(1)根據(jù)題意及頻率分布直方圖得
a＝÷40＝，
易知從甲地到乙地每天配送的貨物
19、量為60件，100件，140件，180件的天數(shù)分別為25,50,100,25.
故估計(jì)該公司從甲地到乙地平均每天配送的貨物量為
＝125(件)．
(2)由(1)可知從甲地到乙地每天配送的貨物量為60件，100件，140件，180件的天數(shù)分別為25,50,100,25，依題意知，
(ⅰ)若購(gòu)置1輛車，則物流公司每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)值為1 000；
(ⅱ)若購(gòu)置2輛車，則每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)值的可能取值為2 000,800，對(duì)應(yīng)的天數(shù)分別為175,25，
故平均利潤(rùn)值為＝1 850；
(ⅲ)若購(gòu)置3輛車，則每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)值的可能取值為3 000,1 800,600，對(duì)應(yīng)的天數(shù)分別為125,50,
20、25，
故平均利潤(rùn)值為＝2 400；
(ⅳ)若購(gòu)置4輛車，則每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)值的可能取值為4 000,2 800,1 600,400，對(duì)應(yīng)的天數(shù)分別為25,100,50,25，
故平均利潤(rùn)值為＝2 350.
因?yàn)? 400>2 350>1 850>1 000，
所以為使該物流公司此項(xiàng)業(yè)務(wù)每天的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)最大，該物流公司應(yīng)該購(gòu)置3輛貨車．
20．(12分)[2019·湖南湘東六校聯(lián)考]已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率e＝，點(diǎn)A(b,0)，B，F(xiàn)分別為橢圓C的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn)，且|BF|·|BA|＝2.
(1)求橢圓C的方程．
(2)若過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓C交于G，H
21、兩點(diǎn)(G在M，H之間)，設(shè)直線l的斜率k>0，在x軸上是否存在點(diǎn)P(m,0)，使得以PG，PH為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
解析：(1)由離心率e＝得a＝2c?、?
由|BF|·|BA|＝2，得a·＝2，∴ab＝2?、?
又a2－b2＝c2?、郏嘤散佗冖劭傻胊2＝4，b2＝3，
∴橢圓C的方程為＋＝1.
(2)設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2(k>0)，
由得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，易知Δ>0，∴k>.
設(shè)G(x1，y1)，H(x2，y2)，則x1＋x2＝，＋＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)，＝(x2－x1
22、，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))．
∵菱形的對(duì)角線互相垂直，∴(＋)·＝0，
∴(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m＝0，得m＝－，
即m＝－，∵k>，∴－≤m<0(當(dāng)且僅當(dāng)＝4k時(shí)，等號(hào)成立)．
∴存在滿足條件的實(shí)數(shù)m，m的取值范圍為.
21．(12分)[2019·北京朝陽(yáng)區(qū)期中]已知函數(shù)f(x)＝2mx3－3x2＋1(m∈R)．
(1)當(dāng)m＝1時(shí)，求f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值和最小值；
(2)求證：“m>1”是“函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條件．
解析：(1)由題意得f′(x)＝6mx2－6x＝6x(mx－1)，所以當(dāng)m＝1時(shí)，f(x)＝
23、2x3－3x2＋1，f′(x)＝6x(x－1)，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝1.
當(dāng)x在[－1,2]內(nèi)變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
由上表知，當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)max＝5，f(x)min＝－4.
故f(x)在區(qū)間[－1,2]上的最大值和最小值分別為5和－4.
(2)因?yàn)閙>1，所以由f′(x)＝6mx＝0得x＝0或x＝.
當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
因?yàn)閒＝2m·－3·＋1＝－＋1，且m>1，所以f>0.
又f(－m)＝m2(－2m2－3)＋1<0，所以f(x)有唯一零點(diǎn)．
所以“m>1”是“函數(shù)f(x)有唯一
24、零點(diǎn)”的充分條件．
當(dāng)m＝－2時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
又f＝－＋1>0，f(0)>0，f(3)<0，所以此時(shí)f(x)也有唯一零點(diǎn)．
從而可知“m>1”是“函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)”的充分不必要條件．
選考題(請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，多答、不答按本選考題的首題進(jìn)行評(píng)分．)
22．(10分)[2019·湖南衡陽(yáng)八中模擬][選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0≤α<π)．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sin θ.
(1)求直線l的
25、普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)直線l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，若|AB|＝8，求α的值．
解析：(1)直線l的普通方程為x·sin α－y·cos α＋cos α＝0，
∵曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＝4sin θ，
∴ρ2cos2θ＝4ρsin θ，又ρcos θ＝x，ρsin θ＝y(tǒng)，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＝4y.
(2)將(t為參數(shù)，0≤α<π)代入x2＝4y，
得t2·cos2α－4t·sin α－4＝0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，
則t1＋t2＝，t1·t2＝.
∵|AB|＝|t1－t2|＝＝＝8，
∴cos α＝±，α＝或
26、α＝.
23．(10分)[2019·福建福州二檢][選修4－5：不等式選講]
已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|<4的解集為M.
(1)求集合M；
(2)設(shè)實(shí)數(shù)a∈M，b?M，證明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.
解析：(1)方法一 當(dāng)x<－時(shí)，不等式化為－2x－1＋1－2x<4，即x>－1，
所以－1時(shí)，不等式化為2x＋1＋2x－1<4，即x<1，所以
27、x)的圖象如圖所示．
因?yàn)閒(x)<4，由圖可得，－1
2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 分層特訓(xùn)卷 模擬仿真專練（二） 文
