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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 文 北師大版

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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 課后限時集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 文 北師大版_第1頁
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1、課后限時集訓(xùn)18 利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒(能)成立問題 建議用時:45分鐘 1.(2019·西安質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=x-1. (1)求函數(shù)y=f(x)的圖像在x=1處的切線方程; (2)若不等式f(x)≤ag(x)對任意的x∈(1,+∞)均成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解](1)∵f′(x)=,∴f′(1)=1. 又∵f(1)=0, ∴所求切線的方程為y-f(1)=f′(1)(x-1), 即為x-y-1=0. (2)易知對任意的x∈(1,+∞),f(x)>0,g(x)>0. ①當(dāng)a≥1時,f(x)<g(x)≤ag(x); ②當(dāng)a≤0時,f(x)>0

2、,ag(x)≤0,不滿足不等式f(x)≤ag(x); ③當(dāng)0<a<1時,設(shè)φ(x)=f(x)-ag(x)=ln x-a(x-1), 則φ′(x)=-a(x>1), 令φ′(x)=0,得x=, 當(dāng)x變化時,φ′(x),φ(x)的變化情況如下表: x 1, ,+∞ φ′(x) + 0 - φ(x) ↗ 極大值 ↘ ∴φ(x)max=φ>φ(1)=0,不滿足不等式, f(x)≤ag(x). 綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為[1,+∞). 2.已知函數(shù)f(x)=(a∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若任意x∈[1,+∞),不等式f(x)>-

3、1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解](1)f′(x)=, 當(dāng)a≤-時,x2-2x-2a≥0,f′(x)≥0, ∴函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增. 當(dāng)a>-時,令x2-2x-2a=0, 解得x1=1-,x2=1+. ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1-)和(1+,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1-,1+). (2)f(x)>-1?>-1?2a>x2-ex, 由條件知,2a>x2-ex對任意x≥1恒成立. 令g(x)=x2-ex,h(x)=g′(x)=2x-ex,∴h′(x)=2-ex. 當(dāng)x∈[1,+∞)時,h′(x)=2-ex≤2-e<0, ∴h(x)=g′(x

4、)=2x-ex在[1,+∞)上單調(diào)遞減, ∴h(x)=2x-ex≤2-e<0,即g′(x)<0, ∴g(x)=x2-ex在[1,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g(x)=x2-ex≤g(1)=1-e, 故若f(x)>-1在[1,+∞ )上恒成立, 則需2a>g(x)max=1-e. ∴a>,即實數(shù)a的取值范圍是. 3.設(shè)f(x)=+xln x,g(x)=x3-x2-3. (1)如果存在x1,x2∈[0,2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求滿足上述條件的最大整數(shù)M; (2)如果對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍. [解](1)存在x1,x2∈[0,

5、2]使得g(x1)-g(x2)≥M成立,等價于[g(x1)-g(x2)]max≥M. 由g(x)=x3-x2-3,得g′(x)=3x2-2x=3x. 令g′(x)>0得x<0或x>, 令g′(x)<0得0<x<,又x∈[0,2], 所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增, 所以g(x)min=g=-, 又g(0)=-3,g(2)=1, 所以g(x)max=g(2)=1. 故[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min=≥M, 則滿足條件的最大整數(shù)M=4. (2)對于任意的s,t∈,都有f(s)≥g(t)成立,等價于在區(qū)間上,函數(shù)f(x)min≥g

6、(x)max, 由(1)可知在區(qū)間上,g(x)的最大值為g(2)=1. 在區(qū)間上,f(x)=+xln x≥1恒成立等價于a≥x-x2ln x恒成立. 設(shè)h(x)=x-x2ln x,h′(x)=1-2xln x-x, 令m(x)=xln x,由m′(x)=ln x+1>0得x>. 即m(x)=xln x在上是增函數(shù), 可知h′(x)在區(qū)間上是減函數(shù), 又h′(1)=0, 所以當(dāng)1<x<2時,h′(x)<0; 當(dāng)<x<1時,h′(x)>0. 即函數(shù)h(x)=x-x2ln x在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減, 所以h(x)max=h(1)=1,所以a≥1, 即實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞). - 3 -

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