《2021高考數學一輪復習 課后限時集訓8 二次函數性質的再研究與冪函數 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數學一輪復習 課后限時集訓8 二次函數性質的再研究與冪函數 理 北師大版（5頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、課后限時集訓8 二次函數性質的再研究與冪函數 建議用時：45分鐘 一、選擇題 1．已知冪函數f(x)＝(m2－3m＋3)xm＋1為偶函數，則m＝(　　) A．1　 B．2　　　 C．1或2　　 D．3 A　[∵函數f(x)為冪函數，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m＝1或m＝2.當m＝1時，冪函數f(x)＝x2為偶函數，滿足條件；當m＝2時，冪函數f(x)＝x3為奇函數，不滿足條件，故選A.] 2．已知冪函數f(x)的圖像過點，則函數g(x)＝f(x)＋的最小值為 (　　) A．1 B．2 C．4 D．6 A　[設冪函數f(x)＝xα. ∵f(

2、x)的圖像過點，∴2α＝，解得α＝－2. ∴函數f(x)＝x－2， 其中x≠0. ∴函數g(x)＝f(x)＋＝x－2＋ ＝＋≥2＝1， 當且僅當x＝±時， g(x)取得最小值1.] 3．一次函數y＝ax＋b與二次函數y＝ax2＋bx＋c在同一坐標系中的圖像大致是(　　) A　　　　B　　　　C　　　　D C　[若a＞0，則一次函數y＝ax＋b為增函數，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向上，故可排除A；若a＜0，一次函數y＝ax＋b為減函數，二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖像開口向下，故可排除D；對于選項B，看直線可知a＞0，b＞0，從而－＜0，而二次函數的對稱軸在

3、y軸的右側，故可排除B.故選C.] 4．已知a，b，c∈R，函數f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝f(4)＞f(1)，則(　　) A．a＞0,4a＋b＝0 B．a＜0,4a＋b＝0 C．a＞0,2a＋b＝0 D．a＜0,2a＋b＝0 A　[由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖像的對稱軸為x＝－＝2，∴4a＋b＝0，又f(0)＞f(1)，f(4)＞f(1)，∴f(x)先減后增，于是a＞0，故選A.] 5．設x＝0.20.3，y＝0.30.2，z＝0.30.3，則x，y，z的大小關系為(　　) A．x＜z＜y B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x A

4、　[由函數y＝0.3x在R上單調遞減，可得y＞z.由函數y＝x0.3在(0，＋∞)上單調遞增，可得x＜z.所以x＜z＜y.] 二、填空題 6．已知函數f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在區(qū)間[－4,6]上是單調函數，則實數a的取值范圍為________． (－∞，－6]∪[4，＋∞)　[由于函數f(x)的圖像開口向上，對稱軸是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是單調函數，應有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.] 7．已知二次函數y＝f(x)的頂點坐標為，且方程f(x)＝0的兩個實根之差等于7，則此二次函數的解析式是________． f(x)＝－4x2－12x

5、＋40　[設f(x)＝a2＋49(a≠0)，方程a 2＋49＝0的兩個實根分別為x1，x2， 則|x1－x2|＝14＝7， 所以a＝－4，所以f(x)＝－4x2－12x＋40.] 8．已知函數f(x)＝a2x＋3ax－2(a＞1)，若在區(qū)間[－1,1]上f(x)≤8 恒成立，則a的最大值為________． 2　[令ax＝t，因為a＞1，x∈[－1,1]，所以≤t≤a，原函數化為g(t)＝t2＋3t－2，顯然g(t)在上單調遞增，所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8恒成立，所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，又a＞1，所以a的最大值為2.] 三、解答題

6、 9．求函數f(x)＝－x(x－a)在x∈[－1,1]上的最大值． [解]　函數f(x)＝－ 2＋的圖像的對稱軸為x＝，應分＜－1，－1≤≤1，＞1，即a＜－2，－2≤a≤2和a＞2三種情形討論． (1)當a＜－2時，由圖①可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(－1)＝－1－a＝－(a＋1)． (2)當－2≤a≤2時，由圖②可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f＝. (3)當a＞2時，由圖③可知f(x)在[－1,1]上的最大值為f(1)＝a－1. 　　 　圖①　　　　　圖②　　　　圖③ 綜上可知，f(x)max＝ 10．已知二次函數f(x)滿足f(

7、x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)當x∈[－1,1]時，函數y＝f(x)的圖像恒在函數y＝2x＋m的圖像的上方，求實數m的取值范圍． [解]　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋1(a≠0)， 由f(x＋1)－f(x)＝2x，得2ax＋a＋b＝2x. 所以，2a＝2且a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1， 因此f(x)的解析式為f(x)＝x2－x＋1. (2)因為當x∈[－1,1]時，y＝f(x)的圖像恒在y＝2x＋m的圖像上方， 所以在[－1,1]上，x2－x＋1＞2x＋m恒成立， 即x2－3x＋1＞m在區(qū)間[－1,1]上恒成立． 所以

8、令g(x)＝x2－3x＋1＝2－， 因為g(x)在[－1,1]上的最小值為g(1)＝－1， 所以m＜－1.故實數m的取值范圍為(－∞，－1)． 1．若關于x的不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內有解，則實數a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6) A　[不等式x2－4x－2－a＞0在區(qū)間(1,4)內有解等價于a＜(x2－4x－2)max， 令f(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)， 所以f(x)＜f(4)＝－2，所以a＜－2.] 2．如圖是二次函數y＝ax2＋bx＋c圖像的一部分，圖像過點A(－3,

9、0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結論： ①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b. 其中正確的是(　　) A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因為圖像與x軸交于兩點，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正確； 對稱軸為x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②錯誤； 結合圖像，當x＝－1時，y＞0，即a－b＋c＞0，③錯誤； 由對稱軸為x＝－1知，b＝2a. 又函數圖像開口向下，所以a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，④正確．] 3．已知y＝f(x)是偶函數，當x＞0時，f(x)＝(x－1)2，若當x∈時，n≤f(x)≤m恒成立，則m－n的

10、最小值為________． 1　[當x＜0時，－x＞0，f(x)＝f(－x)＝(x＋1)2，因為x∈－，所以f(x)min＝f(－1)＝0，f(x)max＝f(－2)＝1，所以m≥1，n≤0，m－n≥1.所以m－n的最小值是1.] 4．已知函數f(x)＝x2＋(2a－1)x－3. (1)當a＝2，x∈[－2,3]時，求函數f(x)的值域； (2)若函數f(x)在[－1,3]上的最大值為1，求實數a的值． [解]　(1)當a＝2時，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]， 對稱軸為x＝－∈[－2,3]， ∴f(x)min＝f＝－－3＝－， f(x)max＝f(3)＝15，

11、∴函數f(x)的值域為. (2)∵函數f(x)的對稱軸為x＝－. ①當－≤1，即a≥－時，f(x)max＝f(3)＝6a＋3， ∴6a＋3＝1，即a＝－，滿足題意； ②當－＞1，即a＜－時，f(x)max＝f(－1)＝－2a－1， ∴－2a－1＝1，即a＝－1，滿足題意． 綜上可知，a＝－或－1. 1．設f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數，若函數y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關聯函數”，區(qū)間[a，b]稱為“關聯區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0,3]上是“關聯函

12、數”，則m的取值范圍為________． 　[由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0,3]上有兩個不同的零點．在同一直角坐標系下作出函數y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像如圖所示，結合圖像可知，當x∈[2,3]時，y＝x2－5x＋4∈，故當m∈時，函數y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0,3])的圖像有兩個交點．] 2．是否存在實數a∈[－2,1]，使函數f(x)＝x2－2ax＋a的定義域為[－1,1]時，值域為[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由． [解]　f(x)＝(x－a)2＋a－a2， 當－2≤a＜－1時，f(x)在[－1,1]上為增函數， ∴由得a＝－1(舍去)； 當－1≤a≤0時，由得a＝－1； 當0＜a≤1時，由得a不存在； 綜上可得，存在實數a滿足題目條件，a＝－1. 5