《龍格庫塔方法專業(yè)課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《龍格庫塔方法專業(yè)課件（31頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、基本思想：基本思想：利用利用 在某些特殊點(diǎn)上的在某些特殊點(diǎn)上的函數(shù)值的函數(shù)值的線性線性組合組合來構(gòu)造高階單步法的來構(gòu)造高階單步法的平均斜率平均斜率。(,)f x y 龍格龍格-庫塔法庫塔法什么叫平均斜率？什么叫平均斜率？對(duì)差商對(duì)差商 應(yīng)用微分中值定理，有，應(yīng)用微分中值定理，有，1()()iiy xy xh 1()()()iiiy xy xhy xh 利用微分方程利用微分方程 ，有，有(,)yf x y 1()()(,()iiiiy xy xhf xh y xh 這里的這里的 稱為稱為平均斜率平均斜率。(,()iif xh y xh 1歡迎下載歡迎下載 可修改可修改可將改進(jìn)的歐拉格式改寫成可將改

2、進(jìn)的歐拉格式改寫成112121112(),(,),(,).iiiiiiyKKKyhfxyKyhfxK 的算術(shù)平均值作為平均斜率。的算術(shù)平均值作為平均斜率。該公式可以看作是用該公式可以看作是用 和和 兩個(gè)點(diǎn)處的斜率兩個(gè)點(diǎn)處的斜率 和和1 iixx 12 KK由改進(jìn)型歐拉公式我們可以猜想，如果在由改進(jìn)型歐拉公式我們可以猜想，如果在1,iix x 內(nèi)多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率，再對(duì)他們進(jìn)行加權(quán)平均，內(nèi)多預(yù)測(cè)幾個(gè)點(diǎn)的斜率，再對(duì)他們進(jìn)行加權(quán)平均，可能得到精度更好的平均斜率！可能得到精度更好的平均斜率！2歡迎下載歡迎下載 可修改可修改下面以下面以2階龍格階龍格-庫塔方法庫塔方法為例來闡述這種思想為例來闡述這種思想

3、考察區(qū)間考察區(qū)間 上的一點(diǎn)上的一點(diǎn) ，1,iix x 01,ipixxphp 用用 和和 的斜率的斜率 和和 的加權(quán)平均作為平均的加權(quán)平均作為平均 iipxx 12 KK斜率斜率 的近似值：的近似值：*K1122*KKK 即取即取11122()iiyyhKK 其中其中 和和 是待定常數(shù)。若取是待定常數(shù)。若取 ，則，則12 1(,)iiKf xy 問題在于如何確定問題在于如何確定 處的斜率處的斜率 和常數(shù)和常數(shù) 和和 。ipx 2K12 3歡迎下載歡迎下載 可修改可修改仿照改進(jìn)的歐拉方法，用歐拉方法預(yù)測(cè)仿照改進(jìn)的歐拉方法，用歐拉方法預(yù)測(cè) 的值，的值，()ipy x 1ipiyyphK 并用它來估

4、計(jì)斜率并用它來估計(jì)斜率 ：2K2(,)ipipKf xy 于是得到如下形式的算法：于是得到如下形式的算法：111221211(),(,),(,).iiiiiiyyhKKKf xyKf xyphK 通過適當(dāng)選取參數(shù)通過適當(dāng)選取參數(shù) 和和 的值，使得公式具有的值，使得公式具有12,p 2階精度！階精度！4歡迎下載歡迎下載 可修改可修改由泰勒公式展開，要使公式具有由泰勒公式展開，要使公式具有 2 階精度階精度，只需，只需12211 2,p方程組有方程組有無窮無窮多解：多解：二級(jí)二級(jí)方法有無窮多種方法有無窮多種常見的常見的3種二級(jí)方法：種二級(jí)方法：中點(diǎn)法（修正的中點(diǎn)法（修正的Euler法法）12210

5、12,cca 取取122(,(,)nnnnnnhhyyhf xyf xy 二階二階龍格庫塔方法龍格庫塔方法122112,cca 取取12(,)(,(,)nnnnnnnnhyyf xyf xh yhf xy 3()O h5歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三級(jí)方法：三級(jí)方法：N=3 類似于類似于N=2的推導(dǎo)方法，可得到的推導(dǎo)方法，可得到1231;ccc 223312;c ac a 22223313;c ac a 323216c a b 4()O h常見的常見的2種三階方法：種三階方法：庫塔庫塔三階方法三階方法112346()nnhyykkk 1(,);nnkf xy 2122(,)nnhhkf xy

6、k3122(,)nnkf xh yhkhk 6歡迎下載歡迎下載 可修改可修改 四級(jí)方法：四級(jí)方法：N=45()O h局部截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差常見的常見的2種四階方法：種四階方法：經(jīng)典經(jīng)典龍格龍格-庫塔庫塔方法方法11234226()nnhyykkkk 1(,)nnkf xy 2122(,)nnhhkf xyk3222(,)nnhhkf xyk43(,)nnkf xh yhk7歡迎下載歡迎下載 可修改可修改解：解：201()dyxydxyy 01(,)x 例例2：用用經(jīng)典的經(jīng)典的龍格龍格-庫塔庫塔方法方法求解下列初值問題求解下列初值問題 。0 1.h 經(jīng)典的四階經(jīng)典的四階龍格龍格-庫塔公式：庫塔

7、公式：11234226()nnhyykkkk 12;nnnxkyy2112222()nnnhxhkykhyk 4332()nnnxhkyhkyhk 3222222();nnnhxhkykhyk 8歡迎下載歡迎下載 可修改可修改 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1.3416 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny同保留同保留5位的位的精確值精確值完全一致：完全一致：0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 1.0954 1.1832 1.2649 1

8、.3416 1.4142nxny 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.4832 1.5492 1.6125 1.6733 1.7321nxny21yx9歡迎下載歡迎下載 可修改可修改10歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請(qǐng)。2022-7-

9、62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2022-7-62022-7-62022-7-

10、62022-7-6二、二、高階高階和隱式和隱式Runge-Kutta方法方法注注：對(duì)于顯式對(duì)于顯式N級(jí)級(jí)R-K方法，最多只能得到方法，最多只能得到N級(jí)方法；級(jí)方法；N 1,2,3,4 5,6,7 8,910,11,N N-1 N-2()p N已經(jīng)證明已經(jīng)證明N級(jí)級(jí)R-K方法的方法的階階 具有下列關(guān)系：具有下列關(guān)系：()p N2N 若要得到若要得到N階以上方法，則使用階以上方法，則使用N級(jí)隱式級(jí)隱式R-K方法方法 N級(jí)隱式級(jí)隱式R-K方法的一般形式：方法的一般形式：11Nnniiiyyhc k 11(,);,.,Nininijjjkf xa h yhb kiN N級(jí)隱式級(jí)隱式R-K法法可以達(dá)到可

11、以達(dá)到2N階階12歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請(qǐng)。2022-7-62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7

12、-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-6(1)(1)一一級(jí)級(jí)二階二階的隱式的隱式中點(diǎn)中點(diǎn)方法：方法：11nnyyhk 1122(,)nnhkhkf xy (2)(2)二二級(jí)級(jí)四階四階的隱式的隱式R-

13、K方法：方法：1212()nnh kkyy 112131326446(),()nnhkkf xh yhk 221131326464(),()nnhkkf xh yhk 14歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三、三、變步長變步長方法方法基本基本思想思想：根據(jù)精度：根據(jù)精度自動(dòng)自動(dòng)地選擇地選擇步長步長對(duì)于對(duì)于經(jīng)典經(jīng)典Runge-Kutta方法：方法：0 1 2,n Step1:設(shè)從設(shè)從 出發(fā)，以出發(fā)，以 為步長，經(jīng)過為步長，經(jīng)過一步一步計(jì)算得到計(jì)算得到nxh511()()hnny xyCh Step2:取取 為步長，再從為步長，再從 出發(fā)，經(jīng)過出發(fā)，經(jīng)過兩步兩步計(jì)算得到計(jì)算得到nx2h521122()

14、()()hnnhy xyC 15歡迎下載歡迎下載 可修改可修改21111116(/)()()()hnnhnny xyy xy 2111116(/)()()()hhnnnny xyy xy 221111115(/)(/)()()hhhnnnny xyyy211(/)()|hhnnyy 記記如果如果 ，則將步長，則將步長折半折半進(jìn)行計(jì)算，直到進(jìn)行計(jì)算，直到 為止為止 此時(shí)取此時(shí)取 為最終結(jié)果；為最終結(jié)果；21(/)hny 如果如果 ，則將步長，則將步長加倍加倍進(jìn)行計(jì)算，直到進(jìn)行計(jì)算，直到 為止為止 此時(shí)將步長此時(shí)將步長折半折半一次計(jì)算，得到的為最終結(jié)果。一次計(jì)算，得到的為最終結(jié)果。16歡迎下載歡迎

15、下載 可修改可修改一、一、收斂性收斂性/*Convergence*/3 單步法的單步法的收斂性收斂性、相容性相容性和和絕對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性1(,)nnnnyyhxy h 對(duì)于初值問題對(duì)于初值問題 的一的一種種000(,)();dyf x ydxy xyxx ()1Def單步法單步法 產(chǎn)生的近似解，如果產(chǎn)生的近似解，如果 對(duì)于任一對(duì)于任一固定固定的的 ，均有，均有 ，0nxxnh 則稱該單步法是則稱該單步法是收斂收斂的。的。0lim()nnhyy x 類似地可以定義類似地可以定義隱式隱式單步法、多步法（單步法、多步法（4）的）的收斂性收斂性17歡迎下載歡迎下載 可修改可修改3 1.Th設(shè)初值問題

16、（設(shè)初值問題（*）對(duì)應(yīng)的下列）對(duì)應(yīng)的下列單步法單步法是是 階的，階的，1(,)nnnnyyhxy h p且函數(shù)且函數(shù) 滿足對(duì)滿足對(duì) 的的Lipschitz條件，即存在常數(shù)條件，即存在常數(shù)y 0L 121212|(,)(,)|,x y hx y hL yyy y 則該則該單步法單步法是收斂的，且是收斂的，且()()pnny xyO h 證明：證明：()nnney xy 記記由由截?cái)嘟財(cái)嗾`差的定義誤差的定義11()()(,(),)nnnnny xy xhxy xhT 11(,(),)(,)nnnnnnneehxy xhxyhT 18歡迎下載歡迎下載 可修改可修改因?yàn)橐驗(yàn)閱尾椒▎尾椒ㄊ鞘?階的：階的

17、：p000,hhh 滿足滿足11|pnTCh 11|pnnneehL eCh|ne 其中其中11,phLCh 212|nnneee 3231|()ne 2101|(.)nnnee 10001|exp()|exp()pnnneL xxeCh LL xx 101exp()pnCh LL xx ()pneO h 00()h19歡迎下載歡迎下載 可修改可修改二、二、相容性相容性/*Consistency*/()()(,(),)y xhy xhx y x h 0()().()(,(),).y xhy xy xhx y x 0()(,(),).h y xx y x 1()pO h 100()(,(),)p

18、y xx y x 對(duì)于對(duì)于 階方法：階方法：1(,)nnnnyyhxy h p()若方法（若方法（*）的）的增量增量函數(shù)滿足：函數(shù)滿足：2Def0(,)(,)x yf x y 則稱該方法與初值問題（則稱該方法與初值問題（*）相容相容。20歡迎下載歡迎下載 可修改可修改設(shè)方法（設(shè)方法（*）與初值問題（）與初值問題（*）相容相容，且，且 滿足滿足L-條件，條件，則該方法（則該方法（*）是）是收斂收斂的，即當(dāng)?shù)模串?dāng) 固定，固定，時(shí)時(shí)nxx 0h()nnyy x1(,)nnnnyyxyhh 0(,(),)()nnnxy xy x ()(,()nnny xf xy x 再由再由相容性相容性得：得：上式

19、說明：當(dāng)上式說明：當(dāng) 時(shí)，方法（時(shí)，方法（*）趨于）趨于原微分方程原微分方程0h 本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題本章討論的數(shù)值方法都是與原初值問題相容相容的的 21歡迎下載歡迎下載 可修改可修改三、三、絕對(duì)穩(wěn)定性絕對(duì)穩(wěn)定性 /*Absolute Stibility*/計(jì)算過程中產(chǎn)生的計(jì)算過程中產(chǎn)生的舍入誤差舍入誤差對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響首先以首先以Euler公式為例，來討論一下公式為例，來討論一下舍入誤差舍入誤差的傳播的傳播:1(,)nnnnyyhf xy 設(shè)設(shè)實(shí)際實(shí)際計(jì)算得到的點(diǎn)計(jì)算得到的點(diǎn) 的的近似近似函數(shù)值為函數(shù)值為 ，nnnyy nxny其中其中 為為精確值精確值，為誤差

20、為誤差n 1(,)nnnnyyhf xy 111nnnyy 11(,)(,)(,)nnnnnnynnh f xyf xyhfx 如果如果 ，則誤差是，則誤差是不增不增的，故可認(rèn)為是的，故可認(rèn)為是穩(wěn)定穩(wěn)定的的11|yhf 22歡迎下載歡迎下載 可修改可修改例如：例如：對(duì)于初值問題對(duì)于初值問題0()yyy xa 精確解精確解為為0 x xyae 而而實(shí)際求解實(shí)際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa 精確解精確解為為0()x xyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)增長增長nx如果初值問題為如果初值問題為0()y

21、yy xa 精確解精確解為為0 xxyae 23歡迎下載歡迎下載 可修改可修改實(shí)際求解實(shí)際求解的初值問題為的初值問題為0()yyy xaa 精確解精確解為為0()xxyaa e 在在 處的誤差為處的誤差為nx0nxxae 可見誤差隨著可見誤差隨著 的增加呈的增加呈指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)遞減遞減nx當(dāng)當(dāng) 時(shí)，微分方程是時(shí)，微分方程是不穩(wěn)定不穩(wěn)定的；的；0yf 而而 時(shí)，微分方程是時(shí)，微分方程是穩(wěn)定穩(wěn)定的。的。0yf 上面討論的上面討論的穩(wěn)定性穩(wěn)定性，與，與數(shù)值方法數(shù)值方法和方程中和方程中 有關(guān)有關(guān)f24歡迎下載歡迎下載 可修改可修改實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程：方程：0,Re()yyC 1(,)nnnnyyhxyh

22、對(duì)單步法對(duì)單步法 應(yīng)用應(yīng)用實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程，方程，1()nnyEh y 3Defh 如果如果 ，當(dāng)，當(dāng) 時(shí)，則稱該時(shí)，則稱該1()Eh 單步法是單步法是絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定的，在復(fù)平面上復(fù)變量的，在復(fù)平面上復(fù)變量 滿足滿足1()Eh 的區(qū)域，稱為該單步法的絕對(duì)穩(wěn)定的區(qū)域，稱為該單步法的絕對(duì)穩(wěn)定域域，它與它與實(shí)軸實(shí)軸的的交集交集稱為絕對(duì)穩(wěn)定稱為絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。1111()()pnnnTy xyO h 若單步法是若單步法是 階的，則階的，則p由由實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程可得：方程可得：1()exp()nny xyh 1exp()()()pnnyhEh yO h ()exp()Ehh 25歡迎下載歡迎下載 可修改可修

23、改11()()nnnnyyhyhy 例例3：分別求分別求Euler法和法和經(jīng)典的經(jīng)典的R-K法的法的絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。1()Ehh 解：解：Euler公式：公式：1(,)nnnnyyhf xy 將其應(yīng)用于將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程方程絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定域：域：11h 1120hh 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，R 絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：2 0(,)經(jīng)典的經(jīng)典的R-K公式：公式：11234226()nnhyykkkk 26歡迎下載歡迎下載 可修改可修改1(,)nnkf xy 211222(,)()nnnhhhkf xykyk 322222(,)()nnnhhhkf xykyk 433(,)()nnnkf

24、 xh yhkyhk 22()nhy 23224()nhhy 3nyhk 2341234()()()()!hhhEhh 22334411234()!nnhhhyhy ny 27歡迎下載歡迎下載 可修改可修改當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，R 絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：2 785 0(.,)23411234()()()()!hhhEhh 可以證明：可以證明：存在唯一存在唯一極小值點(diǎn)極小值點(diǎn)2341234()!tttg tt 1 5960 270.;().tg t 23411234()!tttg tt 由由 得得28歡迎下載歡迎下載 可修改可修改例例4：求求梯形梯形公式（公式（隱式隱式方法）方法）的的絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)

25、穩(wěn)定區(qū)間區(qū)間。解：解：梯形梯形公式：公式：1112(,)(,)nnnnnnhyyf xyf xy 112nnnnhyyyy 將其應(yīng)用于將其應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)實(shí)驗(yàn)方程方程11212nnhyyh 1212()hEhh 10()Ehh 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，R 絕對(duì)穩(wěn)定絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：區(qū)間：0(,)29歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。22.7.622.7.6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。*7/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。22.7.6*Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請(qǐng)。*Wednesd

26、ay,July 06,202213、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。22.7.622.7.6*July 6,202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三*22.7.615、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年7月*22.7.6*July 6,202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。*7/6/202217、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。*22.7.6謝謝大家謝謝大家30歡迎下載歡迎下載 可修改可修改9、人的價(jià)值，在招收誘惑的一瞬間被決定。2022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202210、低頭要有勇氣，抬頭要有低氣。2022

27、-7-62022-7-62022-7-67/6/2022 9:37:27 PM11、人總是珍惜為得到。2022-7-62022-7-62022-7-6Jul-226-Jul-2212、人亂于心，不寬余請(qǐng)。2022-7-62022-7-62022-7-6Wednesday,July 06,202213、生氣是拿別人做錯(cuò)的事來懲罰自己。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-67/6/202214、抱最大的希望，作最大的努力。2022年7月6日星期三2022-7-62022-7-62022-7-615、一個(gè)人炫耀什么，說明他內(nèi)心缺少什么。2022年7月2022-7-62022-7-62022-7-67/6/202216、業(yè)余生活要有意義，不要越軌。2022-7-62022-7-6July 6,202217、一個(gè)人即使已登上頂峰，也仍要自強(qiáng)不息。2022-7-62022-7-62022-7-62022-7-6謝謝大家謝謝大家