2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 課時(shí)規(guī)范練36 空間幾何體的表面積與體積 文 北師大版
課時(shí)規(guī)范練36 空間幾何體的表面積與體積
基礎(chǔ)鞏固組
1.(2018湖北華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三押題)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2r,寬為r,圓半徑為r,則該幾何體的體積和表面積分別為( )
A.πr3,(3+)πr2 B.πr3,(3+)πr2
C.πr3,(4+)πr2 D.πr3,(4+)πr2
2.(2018山東臨沂三模,7)如圖,網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1,某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( )
A.+9+9
B.+9
C.36+9
D.36+9+9
3.(2018海南五模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,俯視圖是由邊長(zhǎng)為2的正方形和半徑為1的半圓組成,則該幾何體的體積為( )
A.8+ B.8+
C.4+ D.8+
4.(2018浙江嘉興四模,9)某幾何體的三視圖如圖(單位:m),則該幾何體的體積是( )
A. m3 B. m3
C.2 m3 D.4 m3
5.(2018山西太原一模,7)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
6.(2018福建三明一中一模,10)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)丈.芻,草也;甍,屋蓋也.”翻譯為:“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”如圖,為芻甍的三視圖,其中主視圖為等腰梯形,左視圖為等腰三角形,則它的體積為( )
A. B.160
C. D.64
7.(2018江西南昌六模,11)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的外接球的表面積為( )
A.32π B.16π C.36π D.72π
8.(2018貴州貴陽(yáng)一中高三月考,11)已知正四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是( )
A. B. C. D.
9.(2018天津,理11)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為 .?
10.已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則該直四棱柱的側(cè)面積為 .?
11.(2018云南師范大學(xué)附屬中學(xué)三模,14)已知半徑為5的球O被兩平行的平面所截,兩截面圓的半徑分別為3和4,則分別以兩截面為上、下底面的圓臺(tái)的側(cè)面積為 .?
12.某幾何體的三視圖如圖所示,坐標(biāo)紙上的每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,則該幾何體的外接球的表面積是 .?
綜合提升組
13.(2018江西南昌測(cè)試八,7)某幾何體的三視圖如圖(虛線刻畫的小正方形邊長(zhǎng)為1)所示,則這個(gè)幾何體的體積為 ( )
A. B.
C.12 D.
14.(2018河南信陽(yáng)二模,11)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,且2a+b= (a>0,b>0),則此三棱錐外接球表面積的最小值為 ( )
A.π B.π
C.4π D.5π
15.(2018黑龍江哈爾濱押題二,7)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.30π+8
B.+8
C.+8
D.+8
16.(2018廣西防城港高三模擬,15)各面均為等邊三角形的四面體ABCD的外接球的表面積為3π,過(guò)棱AB作球的截面,則截面面積的最小值為 .?
創(chuàng)新應(yīng)用組
17.(2018遼寧葫蘆島二模,11)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為x的正方形,側(cè)棱AA1=3,P為矩形CDD1C1內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn),M為BC中點(diǎn),∠APD=∠CPM,Q為空間任一點(diǎn)且|QA1|=1,三棱錐Q-PCD的體積的最大值記為V(x),則關(guān)于函數(shù)V(x),下列結(jié)論正確的是( )
A.V(x)為奇函數(shù)
B.V(x)在區(qū)間(0,+∞)上不單調(diào)
C.V(3)=4
D.V(6)=21
課時(shí)規(guī)范練36 空間幾何體的表面積與體積
1.B
根據(jù)題中三視圖可得,該幾何體為圓柱中挖去一個(gè)圓錐,圓柱底面半徑和高均為r,圓錐的底面圓的半徑為r,如圖所示.故所求該幾何體的體積為V=πr2·r-πr2·r=πr3;該幾何體的表面積為S=2πr·r+πr2+·2πr·r=(3+)πr2.故選B.
2.B 由題得幾何體的原圖如圖所示.幾何體的左邊是一個(gè)三棱柱,右邊是一個(gè)三棱錐.由題得S四邊形ABED=S四邊形BCFE=3×3=9,S△ABC=S△DEO=S△FEO=×3×3=,由題得AC=DF=3,∴S矩形ACFD=3×3=9,S△DFO=×(3)2=,所以幾何體的表面積=9+9+9+3×+9.故選B.
3.D 由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體,V=23+×π×12×2=8+,故選D.
4.A 由已知的三視圖可得:該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,底面的底邊長(zhǎng)為2 m,底面的高,即為三視圖的寬1 m,故底面面積S=×2×1=1 m2,棱錐的高即為三視圖的高,故h=2 m,故棱錐的體積V=×1×2= m3,故選A.
5.B 由給定的三視圖可知,該幾何體表示左側(cè)是一個(gè)以邊長(zhǎng)為2的正方形為底面,高為2的四棱錐,其體積為V1=×2×2×2=;右側(cè)為一個(gè)直三棱柱,其底面如俯視圖所示,高為2,其體積為V2=×2×2×2=4,所以該幾何體的體積為V=V1+V2=+4=,故選B.
6.A 由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體,它由一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù),求出棱錐與棱柱的體積相加即可,×4×4×4+2××2×4×4=32+,故選A.
7.C 還原幾何體,如圖所示三棱錐B1-BCD(如下圖),
將此三棱錐補(bǔ)形為直三棱柱B1C1D1-BCD(如下圖),
在直三棱柱B1C1D1-BCD中取BC、B1C1的中點(diǎn)O1、O2,取O1O2中點(diǎn)O,
R==3,S表=4πR2=4×32=36π.故答案為C.
8.B 因?yàn)榍騉與正四棱錐S-ABCD所有面都相切,于是由等體積法知VS-ABCD=VO-ABCD+VO-SAB+VO-SBC+VO-SDA+VO-SCD?×42×h=×42×1+4××1?h=.故選B.
9. 由題意可知,四棱錐M-EFGH的底面EFGH為正方形且邊長(zhǎng)為,其高為,
所以V四棱錐M-EFGH=.
10.16 側(cè)棱長(zhǎng)為=2,因?yàn)閭?cè)面為矩形,所以側(cè)面積為4×2×2=16.
11.7π或35π 由題意,得兩截面圓到球心的距離分別為=4,=3,則分別以兩截面為上、下底面的圓臺(tái)的底面半徑分別為4,3,圓臺(tái)的高為4+3=7或4-3=1,則其母線長(zhǎng)為=5,則該圓臺(tái)的側(cè)面積為S=π×(3+4)×5=35π或S=π×(3+4)×=7π.
12.π 根據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是如圖所示的三棱錐,
三棱錐的高PD=6,且側(cè)面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=PC==2,AC=8,BC=6,AB==10,∴PA2+PB2=AB2,∴△ABC的外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)E,設(shè)該幾何體的外接球的球心為O.OE⊥底面ABC,設(shè)OE=x,外接球的半徑為R,則x2+2=32+(6-x)2,解得x=.∴R2=2+52=,∴外接球的表面積S=4π×R2=.
13.D 幾何體為如圖多面體PABCDE,所以體積為VD-PABE+VA-BCD=×2××2×(1+2)+×2××2×1=.故選D.
14.B 由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的四個(gè)頂點(diǎn)處,即為三棱錐A-CB1D1,且長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,
∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球,
且球半徑為R=,
∴三棱錐外接球表面積為4π2=π(4+a2+b2)=5π(a-1)2+,
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為π.故選B.
15.D 根據(jù)三視圖知,該幾何體是左邊為圓柱的一部分,右邊是圓柱挖去一個(gè)半球體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算該幾何體的表面積為:S=π·22+·2π·2·2+2·2·2+2π·2·4+·4π·22=+8.故選D.
16. 將四面體放回一個(gè)正方體中,使正四面體的棱都是正方體的面對(duì)角線,那么正四面體和正方體的外接球是同一個(gè)球,當(dāng)AB是截面圓的直徑時(shí),截面面積最小.因外接球的表面積為3π,則球的直徑為,則正方體的體對(duì)角線為,棱長(zhǎng)為1,面對(duì)角線為,截面圓面積最小值為π×2=.
17.D ∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC中點(diǎn),∠APD=∠CPM,P為矩形CDD1C1內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn),∴Rt△ADP∽R(shí)t△PMC,∴=2,即PD=2PC,∵|QA1|=1,則A1在以Q為球心的球面上,而A1到面PCD的距離為x,則(VQ-PCD)max=×3×x×(x+1)= x(x+1),由此可知A,B,C選項(xiàng)都不正確,而V(6)=×6×(6+1)=21.故選D.
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基礎(chǔ)鞏固組
1.(2018湖北華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)高三押題)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,圖中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為2r,寬為r,圓半徑為r,則該幾何體的體積和表面積分別為( )
A.πr3,(3+)πr2 B.πr3,(3+)πr2
C.πr3,(4+)πr2 D.πr3,(4+)πr2
2.(2018山東臨沂三模,7)如圖,網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1,某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為 ( )
A.+9+9
B.+9
C.36+9
D.36+9+9
3.(2018海南五模,8)已知某幾何體的三視圖如圖所示,俯視圖是由邊長(zhǎng)為2的正方形和半徑為1的半圓組成,則該幾何體的體積為( )
A.8+ B.8+
C.4+ D.8+
4.(2018浙江嘉興四模,9)某幾何體的三視圖如圖(單位:m),則該幾何體的體積是( )
A. m3 B. m3
C.2 m3 D.4 m3
5.(2018山西太原一模,7)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
6.(2018福建三明一中一模,10)我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》記載:“芻甍者,下有袤有廣,而上有袤無(wú)丈.芻,草也;甍,屋蓋也.”翻譯為:“底面有長(zhǎng)有寬為矩形,頂部只有長(zhǎng)沒(méi)有寬為一條棱.芻甍字面意思為茅草屋頂.”如圖,為芻甍的三視圖,其中主視圖為等腰梯形,左視圖為等腰三角形,則它的體積為( )
A. B.160
C. D.64
7.(2018江西南昌六模,11)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖,則該多面體的外接球的表面積為( )
A.32π B.16π C.36π D.72π
8.(2018貴州貴陽(yáng)一中高三月考,11)已知正四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形,若一個(gè)半徑為1的球與此四棱錐所有面都相切,則該四棱錐的高是( )
A. B. C. D.
9.(2018天津,理11)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,除面ABCD外,該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E,F,G,H,M(如圖),則四棱錐M-EFGH的體積為 .?
10.已知直四棱柱底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,側(cè)面對(duì)角線的長(zhǎng)為2,則該直四棱柱的側(cè)面積為 .?
11.(2018云南師范大學(xué)附屬中學(xué)三模,14)已知半徑為5的球O被兩平行的平面所截,兩截面圓的半徑分別為3和4,則分別以兩截面為上、下底面的圓臺(tái)的側(cè)面積為 .?
12.某幾何體的三視圖如圖所示,坐標(biāo)紙上的每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,則該幾何體的外接球的表面積是 .?
綜合提升組
13.(2018江西南昌測(cè)試八,7)某幾何體的三視圖如圖(虛線刻畫的小正方形邊長(zhǎng)為1)所示,則這個(gè)幾何體的體積為 ( )
A. B.
C.12 D.
14.(2018河南信陽(yáng)二模,11)已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示,其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,且2a+b= (a>0,b>0),則此三棱錐外接球表面積的最小值為 ( )
A.π B.π
C.4π D.5π
15.(2018黑龍江哈爾濱押題二,7)某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為( )
A.30π+8
B.+8
C.+8
D.+8
16.(2018廣西防城港高三模擬,15)各面均為等邊三角形的四面體ABCD的外接球的表面積為3π,過(guò)棱AB作球的截面,則截面面積的最小值為 .?
創(chuàng)新應(yīng)用組
17.(2018遼寧葫蘆島二模,11)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為x的正方形,側(cè)棱AA1=3,P為矩形CDD1C1內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn),M為BC中點(diǎn),∠APD=∠CPM,Q為空間任一點(diǎn)且|QA1|=1,三棱錐Q-PCD的體積的最大值記為V(x),則關(guān)于函數(shù)V(x),下列結(jié)論正確的是( )
A.V(x)為奇函數(shù)
B.V(x)在區(qū)間(0,+∞)上不單調(diào)
C.V(3)=4
D.V(6)=21
課時(shí)規(guī)范練36 空間幾何體的表面積與體積
1.B
根據(jù)題中三視圖可得,該幾何體為圓柱中挖去一個(gè)圓錐,圓柱底面半徑和高均為r,圓錐的底面圓的半徑為r,如圖所示.故所求該幾何體的體積為V=πr2·r-πr2·r=πr3;該幾何體的表面積為S=2πr·r+πr2+·2πr·r=(3+)πr2.故選B.
2.B 由題得幾何體的原圖如圖所示.幾何體的左邊是一個(gè)三棱柱,右邊是一個(gè)三棱錐.由題得S四邊形ABED=S四邊形BCFE=3×3=9,S△ABC=S△DEO=S△FEO=×3×3=,由題得AC=DF=3,∴S矩形ACFD=3×3=9,S△DFO=×(3)2=,所以幾何體的表面積=9+9+9+3×+9.故選B.
3.D 由三視圖可知幾何體為半圓錐與正方體的組合體,V=23+×π×12×2=8+,故選D.
4.A 由已知的三視圖可得:該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐,底面的底邊長(zhǎng)為2 m,底面的高,即為三視圖的寬1 m,故底面面積S=×2×1=1 m2,棱錐的高即為三視圖的高,故h=2 m,故棱錐的體積V=×1×2= m3,故選A.
5.B 由給定的三視圖可知,該幾何體表示左側(cè)是一個(gè)以邊長(zhǎng)為2的正方形為底面,高為2的四棱錐,其體積為V1=×2×2×2=;右側(cè)為一個(gè)直三棱柱,其底面如俯視圖所示,高為2,其體積為V2=×2×2×2=4,所以該幾何體的體積為V=V1+V2=+4=,故選B.
6.A 由三視圖可知該芻甍是一個(gè)組合體,它由一個(gè)直三棱柱和兩個(gè)全等的四棱錐組成,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù),求出棱錐與棱柱的體積相加即可,×4×4×4+2××2×4×4=32+,故選A.
7.C 還原幾何體,如圖所示三棱錐B1-BCD(如下圖),
將此三棱錐補(bǔ)形為直三棱柱B1C1D1-BCD(如下圖),
在直三棱柱B1C1D1-BCD中取BC、B1C1的中點(diǎn)O1、O2,取O1O2中點(diǎn)O,
R==3,S表=4πR2=4×32=36π.故答案為C.
8.B 因?yàn)榍騉與正四棱錐S-ABCD所有面都相切,于是由等體積法知VS-ABCD=VO-ABCD+VO-SAB+VO-SBC+VO-SDA+VO-SCD?×42×h=×42×1+4××1?h=.故選B.
9. 由題意可知,四棱錐M-EFGH的底面EFGH為正方形且邊長(zhǎng)為,其高為,
所以V四棱錐M-EFGH=.
10.16 側(cè)棱長(zhǎng)為=2,因?yàn)閭?cè)面為矩形,所以側(cè)面積為4×2×2=16.
11.7π或35π 由題意,得兩截面圓到球心的距離分別為=4,=3,則分別以兩截面為上、下底面的圓臺(tái)的底面半徑分別為4,3,圓臺(tái)的高為4+3=7或4-3=1,則其母線長(zhǎng)為=5,則該圓臺(tái)的側(cè)面積為S=π×(3+4)×5=35π或S=π×(3+4)×=7π.
12.π 根據(jù)幾何體的三視圖,得該幾何體是如圖所示的三棱錐,
三棱錐的高PD=6,且側(cè)面PAC⊥底面ABC,AC⊥BC,PA=PC==2,AC=8,BC=6,AB==10,∴PA2+PB2=AB2,∴△ABC的外接圓的圓心為斜邊AB的中點(diǎn)E,設(shè)該幾何體的外接球的球心為O.OE⊥底面ABC,設(shè)OE=x,外接球的半徑為R,則x2+2=32+(6-x)2,解得x=.∴R2=2+52=,∴外接球的表面積S=4π×R2=.
13.D 幾何體為如圖多面體PABCDE,所以體積為VD-PABE+VA-BCD=×2××2×(1+2)+×2××2×1=.故選D.
14.B 由已知條件及三視圖得,此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的四個(gè)頂點(diǎn)處,即為三棱錐A-CB1D1,且長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為2,a,b,
∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球,
且球半徑為R=,
∴三棱錐外接球表面積為4π2=π(4+a2+b2)=5π(a-1)2+,
∴當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=時(shí),三棱錐外接球的表面積取得最小值為π.故選B.
15.D 根據(jù)三視圖知,該幾何體是左邊為圓柱的一部分,右邊是圓柱挖去一個(gè)半球體,結(jié)合圖中數(shù)據(jù),計(jì)算該幾何體的表面積為:S=π·22+·2π·2·2+2·2·2+2π·2·4+·4π·22=+8.故選D.
16. 將四面體放回一個(gè)正方體中,使正四面體的棱都是正方體的面對(duì)角線,那么正四面體和正方體的外接球是同一個(gè)球,當(dāng)AB是截面圓的直徑時(shí),截面面積最小.因外接球的表面積為3π,則球的直徑為,則正方體的體對(duì)角線為,棱長(zhǎng)為1,面對(duì)角線為,截面圓面積最小值為π×2=.
17.D ∵在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,M為BC中點(diǎn),∠APD=∠CPM,P為矩形CDD1C1內(nèi)部(含邊界)一點(diǎn),∴Rt△ADP∽R(shí)t△PMC,∴=2,即PD=2PC,∵|QA1|=1,則A1在以Q為球心的球面上,而A1到面PCD的距離為x,則(VQ-PCD)max=×3×x×(x+1)= x(x+1),由此可知A,B,C選項(xiàng)都不正確,而V(6)=×6×(6+1)=21.故選D.
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