概率(7) 1．[2019·吉林長春市實驗中學(xué)開學(xué)考試]針對國家提出的延遲退休方案，某機構(gòu)進行了網(wǎng)上調(diào)查，所有參與調(diào)查的人中，持“支持”“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示： 支持 保留 不支持 50歲以下 8 000 4 000 2 000 50歲及以上 1 000 2 000 3 000 (1)在所有參與調(diào)查的人中，按其態(tài)度采用分層抽樣的方法抽取n個人，已知從持“不支持”態(tài)度的人中抽取了30人，求n的值； (2)在參與調(diào)查的人中，有10人給這項活動打分，打出的分數(shù)如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,8.3,9.7，把這10個人打出的分數(shù)看作一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率． 解析：(1)參與調(diào)查的總?cè)藬?shù)為8 000＋4 000＋2 000＋1 000＋2 000＋3 000＝20 000. 因為持“不支持”態(tài)度的有2 000＋3 000＝5 000(人)，且從其中抽取了30人，所以n＝20 000×＝120. (2)總體的平均數(shù)＝×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2＋8.3＋9.7)＝9， 與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)有8.2,8.3,9.7， 所以任取一個數(shù)，該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率P＝. 2．[2019·安徽示范高中聯(lián)考]某市為了鼓勵居民節(jié)約用水，擬確定一個合理的月用水量階梯收費標準，規(guī)定一位居民月用水量不超過a噸的部分按平價收費，超出a噸的部分按議價收費．為了解居民的月均用水量(單位：噸)，現(xiàn)隨機調(diào)查1 000位居民，并對收集到的數(shù)據(jù)進行分組，具體情況見下表： 月均 用水 量/噸 [0， 0．5) [0.5， 1) [1， 1．5) [1.5， 2) [2， 2．5) [2.5， 3) [3， 3．5) [3.5， 4) [4， 4．5) 居民數(shù) 50 80 5x 220 250 80 60 x 20 (1)求x的值，并畫出頻率分布直方圖； (2)若該市希望使80%的居民月均用水量不超過a噸，試估計a的值，并說明理由； (3)根據(jù)頻率分布直方圖估計該市居民月用水量的平均值． 解析：(1)由已知得6x＝1 000－(50＋80＋220＋250＋80＋60＋20)，解得x＝40. 則月均用水量的頻率分布表為 月均 用水 量/噸 [0， 0．5) [0.5， 1) [1， 1．5) [1.5， 2) [2， 2．5) [2.5， 3) [3， 3．5) [3.5， 4) [4， 4．5) 頻率 0.05 0.08 0.20 0.22 0.25 0.08 0.06 0.04 0.02 畫出頻率分布直方圖如圖所示． (2)由(1)知前5組的頻率之和為0.05＋0.08＋0.20＋0.22＋0.25＝0.80，故a＝2.5. (3)由樣本估計總體，該市居民月用水量的平均值為0.25×0.05＋0.75×0.08＋1.25×0.20＋1.75×0.22＋2.25×0.25＋2.75×0.08＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝1.92. 3．[2019·河北唐山摸底]某廠分別用甲、乙兩種工藝生產(chǎn)同一種零件，尺寸(單位：mm)在[223,228]內(nèi)的零件為一等品，其余為二等品，在使用兩種工藝生產(chǎn)的零件中，各隨機抽取10個，其尺寸的莖葉圖如圖所示． (1)分別計算抽取的用兩種工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)； (2)已知用甲工藝每天可生產(chǎn)300個零件，用乙工藝每天可生產(chǎn)280個零件，一等品利潤為30元/個，二等品利潤為20元/個，視頻率為概率，試根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)判斷采用哪種工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤更高． 解析：(1)使用甲工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)甲＝×(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1， 使用乙工藝生產(chǎn)的零件尺寸的平均數(shù)乙＝×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7. (2)由抽樣的樣本可知，用甲工藝生產(chǎn)的零件為一等品的概率為，為二等品的概率為，故采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤為W甲＝300××30＋300××20＝7 200(元)；用乙工藝生產(chǎn)的零件為一等品、二等品的概率均為，故采用乙工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤為W乙＝280××30＋280××20＝7 000(元)． 因為W甲>W乙，所以采用甲工藝生產(chǎn)該零件每天獲得的利潤更高． 4．[2019·沈陽市教學(xué)質(zhì)量檢測]為考查某種疫苗預(yù)防疾病的效果，進行動物實驗，得到統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下： 未發(fā)病 發(fā)病 總計 未注射疫苗 20 x A 注射疫苗 30 y B 總計 50 50 100 現(xiàn)從所有試驗動物中任取一只，取到“注射疫苗”動物的概率為. (1)求2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)x，y，A，B的值； (2)繪制發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖，并判斷疫苗是否有效？ (3)能夠有多大把握認為疫苗有效？ 附：K2＝，n＝a＋b＋c＋d P(K2≥k0) 0.05 0.01 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 解析：(1)設(shè)“從所有試驗動物中任取一只，取到‘注射疫苗’動物”為事件E，由已知得P(E)＝＝，所以y＝10，B＝40，x＝40，A＝60. (2)未注射疫苗發(fā)病率為＝，注射疫苗發(fā)病率為＝. 發(fā)病率的條形統(tǒng)計圖如圖所示，由圖可以看出疫苗影響到發(fā)病率，且注射疫苗的發(fā)病率小，故判斷疫苗有效． (3)K2＝＝≈16.667>10.828. 所以至少有99.9%的把握認為疫苗有效． 5．[2019·南寧市高三畢業(yè)班適應(yīng)性測試]從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得i＝80，i＝20，iyi＝184，＝720. (1)求家庭的月儲蓄對月收入x的線性回歸方程＝x＋； (2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負相關(guān)； (3)若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄． 解析：(1)由題意知n＝10，＝i＝＝8，＝i＝＝2， 又－n2＝720－10×82＝80，iyi－n ＝184－10×8×2＝24， 由此得＝＝0.3，＝－＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求線性回歸方程為＝0.3x－0.4. (2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)． (3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 6．[2019·河北省六校聯(lián)考]某中學(xué)一教師統(tǒng)計甲、乙兩位同學(xué)高三學(xué)年的數(shù)學(xué)成績(滿分150分)，現(xiàn)有甲、乙兩位同學(xué)的20次成績的莖葉圖如圖1所示． (1)根據(jù)莖葉圖求甲、乙兩位同學(xué)成績的中位數(shù)，并將圖2中乙同學(xué)成績的頻率分布直方圖補充完整； (2)根據(jù)莖葉圖比較甲、乙兩位同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均值及穩(wěn)定程度(不要求計算具體值，給出結(jié)論即可)； (3)現(xiàn)從甲、乙兩位同學(xué)不低于140分的成績中任意選出2個成績，設(shè)事件A為“其中2個成績分別屬于不同的同學(xué)”，求事件A發(fā)生的概率． 解析：(1)甲同學(xué)成績的中位數(shù)是119，乙同學(xué)成績的中位數(shù)是128. 乙同學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示： (2)從莖葉圖可以看出，乙同學(xué)成績的平均值比甲同學(xué)成績的平均值高，乙同學(xué)的成績比甲同學(xué)的成績更穩(wěn)定． (3)甲同學(xué)不低于140分的成績有2個，分別設(shè)為a，b，乙同學(xué)不低于140分的成績有3個，設(shè)為c，d，e， 現(xiàn)從甲乙兩位同學(xué)的不低于140分的成績中任意選出2個成績有：(a，b)，(a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)(c，d)(c，e)(d，e)共10種， 其中2個成績分屬不同同學(xué)的情況有： (a，c)(a，d)(a，e)(b，c)(b，d)(b，e)共6種 因此事件A發(fā)生的概率P(A)＝＝. 6