4.2.3 直線與圓的方程的應(yīng)用 類型 一 直線線與圓圓的方程的實(shí)際應(yīng)實(shí)際應(yīng) 用 嘗試嘗試 解答下列直線線與圓圓的方程的應(yīng)應(yīng)用問(wèn)題問(wèn)題 ,試總結(jié)試總結(jié) 解直線線 與圓圓的方程的實(shí)際應(yīng)實(shí)際應(yīng) 用問(wèn)題問(wèn)題 的一般步驟驟. 1.(2013成都高一檢測(cè)檢測(cè) )如圖圖所示, 一座圓圓拱橋橋,當(dāng)水面在某位置時(shí)時(shí),拱 頂頂離水面2m,水面寬寬12m,當(dāng)水面下 降1m后,水面寬為寬為 m. 2.一艘輪輪船在沿直線線返回港口的途中,接到氣象臺(tái)的臺(tái)風(fēng)預(yù)風(fēng)預(yù) 報(bào)報(bào)：臺(tái)風(fēng)風(fēng)中心位于輪輪船正西70km處處,受影響的范圍圍是半徑為為 30km的圓圓形區(qū)域.(假設(shè)設(shè)臺(tái)風(fēng)風(fēng)中心不動(dòng)動(dòng))已知港口位于臺(tái)風(fēng)風(fēng)中 心正北40km處處,如果這這艘輪輪船不改變變航線線,那么它是否會(huì)受到 臺(tái)風(fēng)風(fēng)的影響? 【解題指南】1.解答本題可先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出圓拱橋 所在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后結(jié)合圖形求出水面下降1m后的水面寬 度. 2.建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求出受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū)域所對(duì)應(yīng)的圓 的方程及輪船航線所在直線l的方程,然后借助直線與圓的位置 關(guān)系判斷輪船是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響. 【解析】1.如圖所示,以圓拱拱頂為坐 標(biāo)原點(diǎn),以過(guò)拱頂?shù)呢Q直直線為y軸,建 立直角坐標(biāo)系,設(shè)圓心為C,水面所在弦 的端點(diǎn)為A,B,則由已知得A(6,-2), B(-6,-2). 設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r),即圓的方程為x2+(y+r)2=r2. 將點(diǎn)A的坐標(biāo)(6,-2)代入方程,解得r=10. 所以圓的方程為x2+(y+10)2=100. 當(dāng)水面下降1m后,可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,-3)(x00),將A的 坐標(biāo)(x0,-3)代入方程,求得x0= .所以,水面下降1m后, 水面寬為2x0=2 (m). 答案：2 2.如圖所示，以臺(tái)風(fēng)中心為原點(diǎn)O， 東西方向?yàn)閤軸，建立如圖所示的 坐標(biāo)系，其中，取10 km為1個(gè)長(zhǎng)度 單位，這樣，受臺(tái)風(fēng)影響的圓形區(qū) 域所對(duì)應(yīng)的圓的方程為x2+y2=9.輪 船航線所在直線l的方程為4x+7y-28=0，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓O與直 線l有無(wú)公共點(diǎn)問(wèn)題，由于 所以這艘輪船 不改變航線時(shí)，不會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響. 【互動(dòng)動(dòng)探究】題題1中,條件不變變,試試求水面上升1m后,水面的寬寬 . 【解析】如圖所示,以圓拱頂為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系, 設(shè)圓心為C,水面所在弦的端點(diǎn)為A,B,則由已知得A(6,-2), B(-6,-2),設(shè)圓的半徑為r,則C(0,-r). 即圓的方程為x2+(y+r)2=r2, 將點(diǎn)A的坐標(biāo)(6,-2)代入方程得r=10, 所以圓的方程為x2+(y+10)2=100 當(dāng)水面上升1m后,可設(shè)A的坐標(biāo)為(x0,-1)(x00), 將A的坐標(biāo)代入方程得x0= , 故水面上升1m后,水面寬為2x0=2 (m). 【技法點(diǎn)撥】求解直線與圓的方程的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的一般解 題步驟 (1)認(rèn)真審題,明確題意. (2)建立平面直角坐標(biāo)系,用方程表示直線和圓,從而在實(shí)際問(wèn) 題中建立直線與圓的方程. (3)利用直線與圓的方程的有關(guān)知識(shí)求解問(wèn)題. (4)把代數(shù)結(jié)果還原為實(shí)際問(wèn)題的解. 提醒：直線與圓的方程應(yīng)用的關(guān)注點(diǎn) 建立不同的坐標(biāo)系,對(duì)解決問(wèn)題有直接影響. 建系時(shí)一般將圓心放在坐標(biāo)原點(diǎn)或坐標(biāo)軸上,方程較簡(jiǎn)單. 【變式訓(xùn)練】一輛卡車寬2.7米，要經(jīng)過(guò)一個(gè)半徑為4.5米的 半圓形隧道(雙車道，不得違章)，則這輛卡車的平頂車廂廂 頂距離地面的高度不得超過(guò)( ) A.1.4米 B.3.0米 C.3.6米 D.4.5米 【解析】選C.如圖所示,當(dāng)OC=2.7米時(shí), =3.6(米). 即此時(shí)即為平頂車廂廂頂距離地面的 最高高度,即不得超過(guò)3.6米. 類型 二 坐標(biāo)標(biāo)法在平面幾何中的應(yīng)應(yīng)用 試試著解答下列題題目,體會(huì)用坐標(biāo)標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題問(wèn)題 的基 本思想及首要任務(wù)務(wù). 1.如圖圖所示,在圓圓O上任取C點(diǎn)為圓為圓 心, 作一圓圓與圓圓O的直徑AB相切于點(diǎn)D,圓圓C 與圓圓O交于點(diǎn)E,F,求證證：EF平分CD. 2.已知RtABC的斜邊邊BC為為定長(zhǎng)長(zhǎng)2m,以斜邊邊的中點(diǎn)O為圓為圓 心作 直徑為為定長(zhǎng)長(zhǎng)2n(nm)的圓圓,直線線BC交此圓圓于P,Q兩點(diǎn),求證證： |AP|2+|AQ|2+|PQ|2為為定值值. 【解題指南】1.由題意建立平面直角坐標(biāo)系,將平面幾何問(wèn)題 轉(zhuǎn)化為解析幾何知識(shí)求解. 2.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),BC所在直線為x軸建立坐標(biāo)系,由題意求出 有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)并借助兩點(diǎn)間距離公式,證明其為定值. 【證明】1.取圓O的直徑AB所在直線 為x軸,圓心O為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面 直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)圓O的方程 為x2+y2=1, EF與CD相交于H，令C(x1,y1),則可得圓C的方程 (x-x1)2+(y-y1)2= ，即 =0, -得 ， 式就是直線EF的方程，設(shè)CD的中點(diǎn)為H,其坐標(biāo)為 (x1, ),將H代入式，得 即H在直線EF上，所以EF平分CD. 2.如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，以直線BC為x軸，線段BC的垂直平分線 為y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(-m,0), C(m,0),P(-n,0),Q(n,0). 設(shè)A(x,y)，因?yàn)閨OA|= |BC|=|m|=m， 所以點(diǎn)A在圓x2+y2=m2(除B,C兩點(diǎn))上, 所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2 =2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值). 【技法點(diǎn)撥】用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的基本思想及首要 任務(wù) (1)用坐標(biāo)法解決平面幾何問(wèn)題的基本思想就是用代數(shù)的方法 解決幾何問(wèn)題,而建立它們聯(lián)系的主要工具就是平面直角坐標(biāo) 系. (2)首要任務(wù)是：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)和方程 表示相應(yīng)的幾何元素將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題. 【拓展延伸】建立直角坐標(biāo)系應(yīng)遵循的一般原則 (1)原點(diǎn)取在定點(diǎn),坐標(biāo)軸取定直線或定線段所在的直線或圖 形的對(duì)稱軸. (2)盡量利用圖形的對(duì)稱性. (3)設(shè)出所需點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),能使所用的字母盡量少.用坐標(biāo)法證 題時(shí),不能把一般情況視為特殊情況. 【變變式訓(xùn)練訓(xùn)練 】街頭頭有一片綠綠地,綠綠地如圖圖所示(單單位：m),其中 ABC為圓為圓 弧,求此綠綠地面積積. 【解題指南】以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,求出A,B,C三點(diǎn)所在 圓的方程,將圖形分割為梯形和一弓形,然后分別求其面積. 【解析】如圖所示建立坐標(biāo)系,各點(diǎn)坐 標(biāo)分別為A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以 可得過(guò)A,B,C三點(diǎn)的圓弧方程為(x-3)2+ (y-3)2=25(0 x7,y6). |AC|= 設(shè)圓弧的 圓心為E,則AEC=90. 故所求的面積為S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形ACE-SACE) = 1.直線線 x+y-2 =0截圓圓x2+y2=4得的劣弧所對(duì)對(duì)的圓圓心角為為 ( ) A.30 B.45 C.60 D.90 【解析】選C.由于直線的傾斜角為 120,畫(huà)出草圖,如圖,易得等邊三 角形. 2.已知點(diǎn)P為圓x2+y2-4x-4y+7=0上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到直線x-y+m =0距離的最小值為 則m的值為( ) 【解析】選C.圓心到直線的距離 則 .所以m=2. 3.過(guò)過(guò)點(diǎn)P(2,3)向圓圓x2+y2=1作兩條切線線PA,PB,則則弦AB所在直線線 的方程為為( ) A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0 C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0 【解析】選B.設(shè)圓x2+y2=1的圓心為O(0,0),以PO為直徑的圓 (x-1)2+(y- )2= 與圓x2+y2=1的公共弦所在直線即為所 求,直線方程為2x+3y-1=0,故選B. 4.集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其 中r0,若AB中有且僅僅有一個(gè)元素,則則r的值值是 . 【解析】因?yàn)锳B中有且僅有一個(gè)元素, 所以圓x2+y2=4與圓(x-3)2+(y-4)2=r2相切. 當(dāng)內(nèi)切時(shí), =|2-r|,解得r=7. 當(dāng)外切時(shí), =2+r,解得r=3. 答案：3或7 5.設(shè)村莊外圍所在曲線的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村 外一小路方程可用x-y+2=0表示，則從村莊外圍到小路的最短 距離為_(kāi). 【解析】因?yàn)閳A心到直線的距離為 ，從村莊外圍到小路 的最短距離為 -2. 答案： -2 6.用坐標(biāo)標(biāo)法證證明：若四邊邊形的一組對(duì)邊組對(duì)邊 的平方和等于另一組組 對(duì)邊對(duì)邊 的平方和,則該則該 四邊邊形的對(duì)對(duì)角線線互相垂直. 【證明】如圖,以AC所在的直線為x軸,過(guò)點(diǎn)B垂直于AC的直線 為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(a,0), B(0,b),C(c,0),D(x,y), 因?yàn)閨AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2, 所以a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2, 化簡(jiǎn)得(a-c)x=0, 因?yàn)閍-c0,所以x=0,所以D點(diǎn)在y軸上,所以ACBD. 所以若四邊形的一組對(duì)邊的平方和等于另一組對(duì)邊的平方和, 則該四邊形的對(duì)角線互相垂直.