2022年完整word版,三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納
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1、1 三角函數(shù)一、任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù)1任意角(1)角的概念的推廣按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角正角:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角任意角 負(fù)角:按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角按終邊位置不同分為象限角和軸線角角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角第一象限角的集合為36036090,kkkooo第二象限角的集合為36090360180,kkkoooo第三象限角的集合為360180360270,kkkoooo第四象限角的集合為360270360360,kkkoooo終邊在x軸上的角的集合為180,kko終邊在 y 軸上的角的
2、集合為18090,kkoo終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為90,kko(2)終邊與角相同的角可寫成 k 360(kZ)終邊與角相同的角的集合為360,kko(3)弧度制1 弧度的角:把長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1 弧度的角弧度與角度的換算:360 2弧度;180 弧度半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為 l,則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是lr若扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長(zhǎng)為 l,周長(zhǎng)為 C,面積為 S,則 lr,2Crl,21122Slrr 2 任意角的三角函數(shù)定義設(shè) 是一個(gè)任意角,角的終邊上任意一點(diǎn)P(x,y),它與原點(diǎn)的距離為22r rxy,那么角 的正弦、余弦、正切分別是:sin yr,
3、cos xr,tan yx(三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律概括為:一全正、二正弦、三正切、四余弦)3特殊角的三角函數(shù)值精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 1 頁,共 8 頁2 角度函數(shù)0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 角 a的弧度0/6/4/3 /2 2/3 3/4 5/6 3/2 2sina 0 1/2 2/2 3/2 1 3/2 2/2 1/2 0-1 0 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0-1/2-2/2-3/2-1 0 1 tana 0 3/3 1 3-3-1-3/3 0 0 二、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式A.基礎(chǔ)梳理1同角三角函數(shù)的基
4、本關(guān)系(1)平方關(guān)系:sin2 cos2 1;(在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí),若開方,要特別注意判斷符號(hào))(2)商數(shù)關(guān)系:sin cos tan .(3)倒數(shù)關(guān)系:1cottan2誘導(dǎo)公式公式一:sin(2k)sin ,cos(2k)cos_,tan)2tan(k其中 kZ.公式二:sin()sin_,cos()cos_,tan()tan .公式三:sin()sin ,cos()cos_,tantan公式四:sin()sin_,cos()cos_,tantan.公式五:sin2cos_,cos2 sin .公式六:sin2cos_,cos2 sin_.誘導(dǎo)公式可概括為k2 的各三角函數(shù)值的化
5、簡(jiǎn)公式口訣:奇變偶不變,符號(hào)看象限其中的奇、偶是指2的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變是指函數(shù)名稱的變化若是奇數(shù)倍,則函數(shù)名稱要變(正弦變余弦,余弦變正弦);若是偶數(shù)倍,則函數(shù)名稱不變,符號(hào)看象限是指:把看成銳角時(shí),根據(jù)k2 在哪個(gè)象限判斷原三角函數(shù)值的符號(hào),最后作為結(jié)果符號(hào)B.方法與要點(diǎn)一個(gè)口訣1、誘導(dǎo)公式的記憶口訣為:奇變偶不變,符號(hào)看象限2、四種方法在求值與化簡(jiǎn)時(shí),常用方法有:(1)弦切互化法:主要利用公式tan sin cos 化成正、余弦(2)和積轉(zhuǎn)換法:利用(sin cos )21 2sin cos 的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化(cossin、cossin、cossin三個(gè)式子知一可求二)精選學(xué)習(xí)
6、資料 -名師歸納總結(jié)-第 2 頁,共 8 頁3(3)巧用“1”的變換:1sin2 cos2=sin2tan4(4)齊次式化切法:已知ktan,則nmkbaknmbanmbatantancossincossin三、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo):1 會(huì)求三角函數(shù)的定義域、值域2 會(huì)求三角函數(shù)的周期:定義法,公式法,圖像法(如xysin與xycos的周期是)。3 會(huì)判斷三角函數(shù)奇偶性4 會(huì)求三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間5 知道三角函數(shù)圖像的對(duì)稱中心,對(duì)稱軸6 知道sin()yAx,cos()yAx,tan()yAx的簡(jiǎn)單性質(zhì)(一)知識(shí)要點(diǎn)梳理1、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象:正弦函數(shù)sinyx和余弦函數(shù)cosyx圖
7、象的作圖方法:五點(diǎn)法:先取橫坐標(biāo)分別為 0,3,222的五點(diǎn),再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來,就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx2、正弦函數(shù)sin()yx xR、余弦函數(shù)cos()yx xR的性質(zhì):(1)定義域:都是 R。(2)值域:都是1,1,對(duì)sinyx,當(dāng)22xkkZ時(shí),y取最大值 1;當(dāng)322xkkZ時(shí),y取最小值 1;對(duì)cosyx,當(dāng)2xkkZ時(shí),y取最大值1,當(dāng)2xkkZ時(shí),y取最小值 1。(3)周期性:sinyx
8、,cosyx的最小正周期都是2;(4)奇偶性與對(duì)稱性:正弦函數(shù)sin()yx xR是奇函數(shù),對(duì)稱中心是,0kkZ,對(duì)稱軸是直線2xkkZ;余弦函數(shù)cos()yx xR是偶函數(shù),對(duì)稱中心是,02kkZ,對(duì)稱軸是直線xkkZ;(正(余)弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于x軸的直線,對(duì)稱中心為圖象與x軸的交點(diǎn))。(5)單調(diào)性:精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 3 頁,共 8 頁4 sin2,222yxkkkZ在上單調(diào)遞增,在32,222kkkZ單調(diào)遞減;cosyx在2,2kkkZ上單調(diào)遞增,在2,2kkkZ上單調(diào)遞減。特別提醒,別忘了kZ!3、正切函數(shù)tanyx的圖象和性質(zhì):(1)定義域:|
9、,2x xkkZ。(2)值域是R,無最大值也無最小值;(3)奇偶性與對(duì)稱性:是奇函數(shù),對(duì)稱中心是,02kkZ,特別提醒:正(余)切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類:一類是圖象與x軸的交點(diǎn),另一類是漸近線與x軸的交點(diǎn),但無對(duì)稱軸,這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。(4)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間,22kkkZ內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性。4、正弦、余弦、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)sinyxcosyxtanyx圖象定義域RR,2x xkk值域1,11,1R最值當(dāng)22xkk時(shí),max1y;當(dāng)22xkk時(shí),min1y當(dāng)2xkk時(shí),max1y;當(dāng)2xkk時(shí),min1y既無最大值也無最小值周期性22奇偶性
10、奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在2,222kkk上是增函數(shù);在32,222kkk上是減函數(shù)在 2,2kkk上 是增函數(shù);在2,2kkk上是減函數(shù)在,22kkk上是增函數(shù)函數(shù)性質(zhì)精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 4 頁,共 8 頁5 對(duì)稱性對(duì)稱中心,0kk對(duì)稱軸2xkk對(duì)稱中心,02kk對(duì)稱軸 xkk對(duì)稱中心,02kk無對(duì)稱軸5、研究函數(shù)sin()yAx性質(zhì)的方法:類比于研究sinyx的性質(zhì),只需將sin()yAx中的x看成sinyx中的x。函數(shù) y Asin(x)(A0,0)的性質(zhì)。(1)定義域:R(2)值域:-A,A(3)周期性:2|T()sin()f xAx和()cos()f xAx的最小正周期
11、都是2|T。()tan()f xAx的最小正周期都是|T。(4)單調(diào)性:函數(shù)yAsin(x)(A 0,0)的單調(diào)增區(qū)間可由2k2x2k2,kz 解得;單調(diào)減區(qū)間可由2k2x2k32,kz 解得。在求sin()yAx的單調(diào)區(qū)間時(shí),要特別注意A和的符號(hào),通過誘導(dǎo)公式先將化正。如函數(shù)23ysin(x)的遞減區(qū)間是 _(答:解 析:y=,所 以 求y的 遞 減 區(qū) 間 即 是 求的遞增區(qū)間,由得,所以 y 的遞減區(qū)間是四、函數(shù)sinyAx的圖像和三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用一、知識(shí)要點(diǎn)1、幾個(gè)物理量:振幅:;周期:2;頻率:12f;相位:x;初相:2、函數(shù)sin()yAx表達(dá)式的確定:A 由最值確定;由周期
12、確定;由圖象上的特殊點(diǎn)確定.函 數(shù)sinyx,當(dāng)1xx時(shí),取 得 最 小 值 為miny;當(dāng)2xx時(shí),取 得 最 大 值 為maxy,則maxmin12yy,maxmin12yy,21122xxxx3、函數(shù)sin()yAx圖象的畫法:“五點(diǎn)法”設(shè)Xx,令X0,3,222求出相應(yīng)的x值,精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 5 頁,共 8 頁6 y=sinxy=sinx橫坐標(biāo)伸(縮)1倍左(右)平移縱坐標(biāo)伸(縮)A 倍sinyxsinyxxAysiny=sinx 左(右)平移縱坐標(biāo)伸(縮)A 倍橫坐標(biāo)伸(縮)1倍左(右)平移xAysinxAysin橫坐標(biāo)伸(縮)倍橫坐標(biāo)伸(縮)1倍sinyAx縱坐標(biāo)
13、伸(縮)A 倍橫坐標(biāo)伸(縮)1倍xysinxAysinxysinsiny Ax縱坐標(biāo)伸(縮)A 倍左(右)平移左(右)平移縱坐標(biāo)伸(縮)A 倍計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo),描點(diǎn)后得出圖象;圖象變換法:這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。4、函數(shù) y sinx 的圖象經(jīng)變換可得到sinyAx0的圖象5、函數(shù)sin()yAxb的圖象與sinyx圖象間的關(guān)系:函數(shù)sinyx的圖象向左(0)或向右(0)平移|個(gè)單位得sinyx的圖象;函數(shù)sinyx圖象的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?,得到函數(shù)sinyx的圖象;函數(shù)sinyx圖象的橫坐標(biāo)不變,縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁倍,得到函數(shù)sin()yAx的圖象;函數(shù)sin()yAx圖象向上
14、(0b)或向下(0b)平移|b個(gè)單位,得到sinyAxb的圖象。要特別注意,若由sinyx得到sinyx的圖象,則向左或向右平移應(yīng)平移|個(gè)單位,如要得到函數(shù)ysin(2x3)的圖象,只需將函數(shù)ysin2x 的圖象()(A)向左平移3個(gè)單位(B)向右平移3個(gè)單位(C)向左平移6個(gè)單位(D)向右平移6個(gè)單位6、函數(shù) y Acos(x)和 y=Atan(x)的性質(zhì)和圖象的變換與yAsin(x)類似。三角恒等變換1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:coscoscossinsin;coscos cossinsin;sinsincoscos sin;sinsincoscos sin;tantantan1
15、tantan(tantantan1 tantan);精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 6 頁,共 8 頁7 tantantan1tantan(tantantan1 tantan)如oooo40tan20tan340tan20tan;(答案:3)2、二倍角的正弦、余弦和正切公式:sin22sincos222)cos(sincossin2cossin2sin1如 cos2512cos212cos512cos12的值等于;(答案:54)2222cos2cossin2cos112sin升冪公式221cos22cos,1cos22sin降冪公式21cos2cos2,21cos2sin222 tantan
16、 21tan3、二弦歸一把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為一個(gè)三角函數(shù):22sincossinabab,其中tanba4、三角變換時(shí)運(yùn)算化簡(jiǎn)的過程中運(yùn)用較多的變換,靈活運(yùn)用三角公式,掌握運(yùn)算化簡(jiǎn)的方法常用的方法技巧如下:(1)角的變換:在三角化簡(jiǎn),求值,證明中,表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的異角,可根據(jù)角與角之間的和差,倍半,互補(bǔ),互余的關(guān)系,尋找條件與結(jié)論中角的關(guān)系,運(yùn)用角的變換,使問題獲解,對(duì)角的變形如:2是的二倍;4是2的二倍;是2的二倍;2是4的二倍;1545306045ooooo;問:12sin;12cos;)(;)4(24;)4()4()()(2;等等.如121tan,tan,tan5444則.(
17、答案:322)2 若 cos()45,cos()45,且2 ,32 2,則 cos2 _,cos2 _.(答案:725,1)3 已知sincos21,tan,1cos23則tan2;(答案:18)(2)函數(shù)名稱變換:三角變形中,常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ),通?;袨橄?,變異名為同名(二弦歸一)。如)10tan31(50sinoo;132cos10sin102sin 301022cos103 sin102sin 40 cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10cos10oooooooooooooooooo
18、解析:原式(3)常數(shù)代換:在三角函數(shù)運(yùn)算,求值,證明中,有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值,例如常數(shù)“1”的代換變形有:221sincossin90tan45oo(4)冪的變換:降冪是三角變換時(shí)常用方法,對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式,一般采用降冪處理的方法。常用降冪公式精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 7 頁,共 8 頁8 有:;。有 時(shí) 需 要 升 冪,常 用 升 冪 公 式有:;.如對(duì)無理式cos1常用升冪化為有理式.(5)公式變形:三角公式是變換的依據(jù),應(yīng)熟練掌握三角公式的順用,逆用及變形應(yīng)用。如:coscossinsin=_;sincoscossin=_;_tantan;_tantan1;_tantan;_tantan1;sincos_;2sincos22_;2222cossin_2cos1_ 2sin1_;cos1;cos1;tan2;2tan1;sincosab;(其中tan;)(6)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算基本規(guī)則:復(fù)角化單角,異角化同角,見切化弦,二弦歸一,高次化低次,特殊值與特殊角的三角函數(shù)互化。精選學(xué)習(xí)資料 -名師歸納總結(jié)-第 8 頁,共 8 頁
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