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(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題09 概率與統(tǒng)計(jì)(2)文(含解析)

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(新課標(biāo) 全國(guó)I卷)2010-2019學(xué)年高考數(shù)學(xué) 真題分類匯編 專題09 概率與統(tǒng)計(jì)(2)文(含解析)_第1頁
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1、專題09 概率與統(tǒng)計(jì)(2) 概率與統(tǒng)計(jì)大題:10年10考,每年1題.第一小題多為統(tǒng)計(jì)問題,第二小題多為概率計(jì)算問題,特點(diǎn):實(shí)際生活背景在加強(qiáng),閱讀量大. 1.(2019年)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客,每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià),得到下面列聯(lián)表: 滿意 不滿意 男顧客 40 10 女顧客 30 20 (1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率; (2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異? 附:K2=. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.63

2、5 10.828 【解析】(1)由題中數(shù)據(jù)可知,男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率P==, 女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率P==; (2)由題意可知,K2==≈4.762>3.841, 故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異. 2.(2018年)某家庭記錄了未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)(單位:m3)和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù),得到頻數(shù)分布表如下: 未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.7) 頻數(shù)

3、 1 3 2 4 9 26 5 使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表 日用水量 [0,0.1) [0.1,0.2) [0.2,0.3) [0.3,0.4) [0.4,0.5) [0.5,0.6) 頻數(shù) 1 5 13 10 16 5 (1)作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖; (2)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率; (3)估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省多少水?(一年按365天計(jì)算,同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表) 【解析】(1)根據(jù)使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布

4、表, 作出使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖,如下圖: (2)根據(jù)頻率分布直方圖得: 該家庭使用節(jié)水龍頭后,日用水量小于0.35m3的概率為:p=(0.2+1.0+2.6+1)×0.1=0.48. (3)由題意得未使用水龍頭50天的日均水量為: (1×0.05+3×0.15+2×0.25+4×0.35+9×0.45+26×0.55+5×0.65)=0.48, 使用節(jié)水龍頭50天的日均用水量為: (1×0.05+5×0.15+13×0.25+10×0.35+16×0.45+5×0.55)=0.35, ∴估計(jì)該家庭使用節(jié)水龍頭后,一年能節(jié)省:365×(0.48

5、﹣0.35)=47.45m3. 3.(2017年)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗(yàn)員每隔30min從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取一個(gè)零件,并測(cè)量其尺寸(單位:cm).下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)依次抽取的16個(gè)零件的尺寸: 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得 =

6、=9.97,s==≈0.212,≈18.439,=﹣2.78,其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸,i=1,2,…,16. (1)求(xi,i)(i=1,2,…,16)的相關(guān)系數(shù)r,并回答是否可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。ㄈ魘r|<0.25,則可以認(rèn)為零件的尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。? (2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(﹣3s,+3s)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. (?。倪@一天抽檢的結(jié)果看,是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查? (ⅱ)在(﹣3s,+3s)之外的數(shù)據(jù)稱為

7、離群值,試剔除離群值,估計(jì)這條生產(chǎn)線當(dāng)天生產(chǎn)的零件尺寸的均值與標(biāo)準(zhǔn)差.(精確到0.01) 附:樣本(xi,yi)(i=1,2,…,n)的相關(guān)系數(shù)r=,≈0.09. 【解析】(1)r===﹣0.18. ∵|r|<0.25,∴可以認(rèn)為這一天生產(chǎn)的零件尺寸不隨生產(chǎn)過程的進(jìn)行而系統(tǒng)地變大或變?。? (2)(i)=9.97,s=0.212,∴合格零件尺寸范圍是(9.334,10.606), 顯然第13號(hào)零件尺寸不在此范圍之內(nèi), ∴需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查. (ii)剔除離群值后,剩下的數(shù)據(jù)平均值為=10.02, =16×0.2122+16×9.972=1591.134, ∴剔除離群

8、值后樣本方差為(1591.134﹣9.222﹣15×10.022)=0.008, ∴剔除離群值后樣本標(biāo)準(zhǔn)差為≈0.09. 4.(2016年)某公司計(jì)劃購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件,在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí),可以額外購(gòu)買這種零件作為備件,每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購(gòu)買,則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得如圖柱狀圖: 記x表示1臺(tái)機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù),y表示1臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位:元),n表示購(gòu)機(jī)的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). (1

9、)若n=19,求y與x的函數(shù)解析式; (2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5,求n的最小值; (3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件,或每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件,分別計(jì)算這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù),以此作為決策依據(jù),購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19個(gè)還是20個(gè)易損零件? 【解析】(1)當(dāng)n=19時(shí),y==; (2)由柱狀圖知,更換的易損零件數(shù)為16個(gè)頻率為0.06, 更換的易損零件數(shù)為17個(gè)頻率為0.16, 更換的易損零件數(shù)為18個(gè)頻率為0.24, 更換的易損零件數(shù)為19個(gè)頻率為0.24, 又∵更換易損零件不大于n的頻

10、率為不小于0.5, 則n≥19, ∴n的最小值為19件; (3)假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買19個(gè)易損零件, 所須費(fèi)用平均數(shù)為:(70×19×200+4300×20+4800×10)=4000(元), 假設(shè)這100臺(tái)機(jī)器在購(gòu)機(jī)的同時(shí)每臺(tái)都購(gòu)買20個(gè)易損零件, 所須費(fèi)用平均數(shù)為(90×4000+10×4500)=4050(元), ∵4000<4050, ∴購(gòu)買1臺(tái)機(jī)器的同時(shí)應(yīng)購(gòu)買19臺(tái)易損零件. 5.(2015年)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi),需了解年宣傳費(fèi)x(單位:千元)對(duì)年銷售量y(單位:t)和年利潤(rùn)z(單位:千元)的影響,對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年

11、銷售量yi(i=1,2,…,8)數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中,. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關(guān)于x的回歸方程; (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x、y的關(guān)系為z=0.2y﹣x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題: (i)年宣傳費(fèi)x=49時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少? (ii)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),

12、年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大? 附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1 v1),(u2 v2),…,(un vn),其回歸線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:,. 【解析】(1)由散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型; (2)令w=,先建立y關(guān)于w的線性回歸方程,由于=68, =563﹣68×6.8=100.6, 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為=100.6+68w, 因此y關(guān)于x的回歸方程為=100.6+68, (3)(i)由(2)知,當(dāng)x=49時(shí),年銷售量y的預(yù)報(bào)值=100.6+68=576.6, 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=576.6×0.2﹣49=66.32,

13、 (ii)根據(jù)(2)的結(jié)果可知,年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值=0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.6+20.12, 當(dāng)==6.8時(shí),即當(dāng)x=46.24時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大. 6.(2014年)從某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100件,測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表: 質(zhì)量指標(biāo)值分組 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125) 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)在表格中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖; (2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表); (3)根

14、據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù),能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定? 【解析】(1)頻率分布直方圖如圖所示: (2)質(zhì)量指標(biāo)的樣本平均數(shù)為=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100, 質(zhì)量指標(biāo)的樣本的方差為S2=(﹣20)2×0.06+(﹣10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104, 這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均數(shù)的估計(jì)值為100,方差的估計(jì)值為104. (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38+0.22+0.08=0.68, 由于該估計(jì)

15、值小于0.8,故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品80%”的規(guī)定. 7.(2013年)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別成為A藥,B藥)的療效,隨機(jī)地選取20位患者服用A藥,20位患者服用B藥,這40位患者服用一段時(shí)間后,記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r(shí)間(單位:h)實(shí)驗(yàn)的觀測(cè)結(jié)果如下: 服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.

16、3 2.4 服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時(shí)間: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分別計(jì)算兩種藥的平均數(shù),從計(jì)算結(jié)果看,哪種藥的療效更好? (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖,從莖葉圖看,哪種藥的療效更好? 【解析】(1)設(shè)A藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,設(shè)B藥觀測(cè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)據(jù)的平均數(shù)為, 則=(0

17、.6+1.2+2.7+1.5+2.8+1.8+2.2+2.3+3.2+3.5+2.5+2.6+1.2+2.7+1.5+2.9+3.0+3.1+2.3+2.4)=2.3. (3.2+1.7+1.9+0.8+0.9+2.4+1.2+2.6+1.3+1.4+1.6+0.5+1.8+0.6+2.1+1.1+2.5+1.2+2.7+0.5)=1.6. 由以上計(jì)算結(jié)果可知:.由此可看出A藥的效果更好. (2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)得到下面莖葉圖: 從以上莖葉圖可以看出,A藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在2,3上.而B藥療效的試驗(yàn)結(jié)果有的葉集中在0,1上.由此可看出A藥的療效更好. 8.(2012年)某花店

18、每天以每枝5元的價(jià)格從農(nóng)場(chǎng)購(gòu)進(jìn)若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的價(jià)格出售.如果當(dāng)天賣不完,剩下的玫瑰花做垃圾處理. (1)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,求當(dāng)天的利潤(rùn)y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位:枝,n∈N)的函數(shù)解析式. (2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位:枝),整理得如表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 頻數(shù) 10 20 16 16 15 13 10 (i)假設(shè)花店在這100天內(nèi)每天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,求這100天的日利潤(rùn)(單位:元)的平均數(shù); (ii)若花店一天購(gòu)進(jìn)17枝玫瑰花,以100天記錄的各需求量的頻率作為

19、各需求量發(fā)生的概率,求當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率. 【解析】(1)當(dāng)日需求量n≥17時(shí),利潤(rùn)y=85;當(dāng)日需求量n<17時(shí),利潤(rùn)y=10n﹣85; ∴利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式(n∈N*). (2)(i)這100天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為元; (ii)當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元,當(dāng)且僅當(dāng)日需求量不少于16枝,故當(dāng)天的利潤(rùn)不少于75元的概率為P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7. 9.(2011年)某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量,質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好,且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品,現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗(yàn),各生產(chǎn)了

20、100件這種產(chǎn)品,并測(cè)量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值,得到下面試驗(yàn)結(jié)果: A配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計(jì)用A配方,B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率; (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)y(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為.估計(jì)用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的利潤(rùn)大于

21、的概率,并求用B配方生產(chǎn)的上述件產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn). 【解析】(1)由試驗(yàn)結(jié)果知,用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為, ∴用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3. 由試驗(yàn)結(jié)果知,用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為, ∴用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42. (2)由條件知,用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于當(dāng)且僅當(dāng)其質(zhì)量指標(biāo)值,由試驗(yàn)結(jié)果知,質(zhì)量指標(biāo)值的頻率為,∴用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(rùn)大于的概率估計(jì)值為. 用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤(rùn)為(元). 10.(2010年)為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,

22、結(jié)果如表: 性別 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估計(jì)該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的比例; (2)能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)? (3)根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例?說明理由. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附:K2=. 【解析】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助,因此在該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為. (2)K2的觀測(cè)值, 因?yàn)?.967>6.635,且P(K2≥6.635)=0.01, 所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān). (3)根據(jù)(2)的結(jié)論可知,該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān),并且從樣本數(shù)據(jù)能夠看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時(shí),先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例,再把老年人分成男女兩層,并采取分層抽樣方法比簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法更好. 、 11

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