《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第14講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第14講 函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用練習 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第14講　函數(shù)模型及函數(shù)的綜合應用 夯實基礎　【p31】 【學習目標】 1．了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義． 2．了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． 3．會運用函數(shù)的知識和函數(shù)思想解決有關函數(shù)的綜合性問題，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力． 【基礎檢測】 1．在某個物理實驗中，測量得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表： x 0.50 0.99 2.01 3.98 y －0.99 0.01 0.98 2.00 則對x，y最適合的擬

2、合函數(shù)是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．y＝2x B．y＝x2－1 C．y＝2x－2 D．y＝log2x 【解析】根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．故選D. 【答案】D 2．已知函數(shù)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，對這三個函數(shù)的增長速度進行比較，下列選項正確的是(　　) A．f(x)＞g(x)＞h(x) B．g(x)＞f(x)＞h(x) C．g(x)＞h(x)＞f(x) D．f

3、(x)＞h(x)＞g(x) 【答案】B 3．某電商新售A產(chǎn)品，售價為每件50元，年銷售量為11.8萬件．為支持新品發(fā)售，第一年免征營業(yè)稅，第二年需征收銷售額x%的營業(yè)稅(即每銷售100元征稅x元)．第二年，電商決定將A產(chǎn)品的售價提高元，預計年銷售量減少x萬件．要使第二年A產(chǎn)品上交的營業(yè)稅不少于10萬元，則x的最大值是(　　) A．2 B．5 C．8 D．10 【解析】由題意得(11.8－x)·x%≥10， 解得2≤x≤10.故選D. 【答案】D 4．將甲桶中的a L水緩慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線y＝aent.假設過5 min后甲桶和乙桶的水

4、量相等，若再過m min甲桶中的水只有L，則m的值為(　　) A．5 B．8 C．9 D．10 【解析】∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函數(shù)y＝f(t)＝aent滿足f(5)＝ae5n＝a， 可得n＝ln，∴f(t)＝a·， 因此，當k min后甲桶中的水只有L時， f(k)＝a·＝a，即＝， ∴k＝10，由題可知m＝k－5＝5. 【答案】A 5．pH值是水溶液的重要理化參數(shù)．若溶液中氫離子的濃度為[H＋](單位：mol/L)，則其pH值為－lg[H＋]．在標準溫度和氣壓下，若水溶液pH＝7，則溶液為中性，pH<7時為酸性，pH>7時為堿性．例如，甲溶液中氫離子

5、濃度為0.000 1 mol/L，其pH值為－1g 0.000 1，即pH＝4.已知乙溶液的pH＝2，則乙溶液中氫離子濃度為______mol/L.若乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍，則丙溶液的酸堿性為______(填中性、酸性或堿性)． 【解析】由pH＝2可得： －lg＝2，即乙溶液中氫離子濃度為0.01 mol/L；由乙溶液中氫離子濃度是丙溶液的兩千萬倍可得：丙溶液中氫離子濃度為＝5×10－10，顯然－lg>7，故丙溶液的酸堿性為堿性，故答案為0.01，堿性． 【答案】0.01；堿性 【知識要點】 1．三種函數(shù)模型的性質(zhì) 　　　函數(shù) 性質(zhì)　　　 y＝ax(a＞

6、1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對穩(wěn)定 圖象的變化 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與__y__軸平行 隨x增大逐漸表現(xiàn)為與__x__軸平行 隨n值變化而不同 值的比較 存在一個x0，當x>x0時，有l(wèi)ogax0，b≠1)． ④對數(shù)函數(shù)型模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，a

7、≠1)． ⑤冪函數(shù)型模型：y＝axn＋b(a≠0)． 3．解函數(shù)應用題的基本步驟 (1)審題：就是認真讀題，仔細審題，確切理解題意，明確問題的實際背景，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知識，找出量與量之間的關系，從中提煉出相應的數(shù)學問題． (2)建模：引進數(shù)學符號，將問題中變量之間的關系抽象或擬合成一個目標函數(shù)，將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題． (3)求解：利用數(shù)學知識和方法，對目標函數(shù)進行解答，求出數(shù)學結果． (4)檢驗：返回到實際問題，檢驗數(shù)學結果是否符合實際，對具體問題進行解答． 典 例 剖 析　【p31】 考點1　函數(shù)模型應用 某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每

8、生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)．當年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完． (1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式； (2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？ 【解析】(1)因為每件商品售價為0.05萬元，則x千件商品銷售額為0.05×1 000x萬元，依題意得： 當0

9、)＝(0.05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－. 所以L(x)＝ (2)當0

10、，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值． (2)構造分段函數(shù)時，要力求準確、簡潔． (3)分段函數(shù)的最大(小)值是各段的最大(小)值中的最大(小)值． 考點2　函數(shù)性質(zhì)與圖象的綜合應用 (1)函數(shù)f(x)＝＋ln|x|的圖象大致為(　　) 【解析】當x＜0時，函數(shù)f(x)＝＋ln(－x)，由函數(shù)y＝、y＝ln(－x)遞減知函數(shù)f(x)＝＋ln(－x)遞減，排除C，D；當x＞0時，函數(shù)f(x)＝＋ln x，此時，f(1)＝＋ln 1＝1，而選項A的最小值為2，故可排除A，只有B正確．故選B. 【答案】B (2)已知函數(shù)f(x)＝若正實數(shù)a，b，c互不相等，且f＝f＝f，則a＋b

11、＋c的取值范圍為(　　) A. B. C. D. 【解析】由于f＝f＝f，不妨設0

12、______． 【解析】f(x)＝當x≥0時，－x2≤0；當x<0時，x2＋2x≥－1.設m＝f(x)，則f(f(x))≤3，即f(m)≤3， 當m≥0時，恒有f(m)≤3； 當m<0時，f(m)≤3，即m2＋2m≤3，即－3≤m≤1. 所以f(m)≤3時有m≥－3，即f(x)≥－3.當x<0時，f(x)≥－3恒成立；當x≥0時，由f(x)≥－3可解得0≤x≤，綜上所述，不等式f(f(x))≤3的解集為(－∞，]． 【答案】(－∞，] (2)已知函數(shù)f(x)＝x2＋－3，g(x)＝kx＋2，若對任意的x1∈[1，2]，總存在x2∈[1，]，使得g(x1)>f(x2)，則實數(shù)k的取值

13、范圍是(　　) A. B. C. D．以上都不對 【解析】對任意的x1∈[－1，2]，總存在x2∈[1，]，使得g(x1)＞f(x2)， ∴g(x1)min＞f(x2)min， ∵f(x)＝x2＋－3≥2－3＝4－3＝1，當且僅當x＝時取等號， ∴f(x2)min＝1， 當k＞0時，g(x)＝kx＋2，在x∈[－1，2]為增函數(shù)， ∴g(x)min＝f(－1)＝2－k， ∴2－k＞1，解得0＜k＜1； 當k＜0時，g(x)＝kx＋2，在x∈[－1，2]為減函數(shù)， ∴g(x)min＝f(2)＝2k＋2， ∴2k＋2＞1，解得－＜k＜0； 當k＝0時，g(x)＝2，2

14、＞1成立， 綜上所述，k的取值范圍是. 【答案】A 考點4　函數(shù)與方程的綜合問題 已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋a＋3，g(x)＝mx＋5－2m. (1)當x∈時，若函數(shù)y＝f(sin x)存在零點，求實數(shù)a的取值范圍并討論零點個數(shù)； (2)當a＝0時，若對任意的x1∈[1，4]，總存在x2∈[1，4]，使f(x1)＝g(x2)成立，求實數(shù)m的取值范圍． 【解析】(1)令t＝sin x∈[－1，1]， ∵f(t)＝t2－4t＋a＋3＝(t－2)2＋a－1. ∴函數(shù)f(t)圖象的對稱軸為直線t＝2，要使f(t)在[－1，1]上有零點， 則即∴－8≤a≤0. 所以所求實數(shù)a的

15、取值范圍是[－8，0]． 由(t－2)2＋a－1＝0得t＝2－， 當－3≤a<0時，2個零點； 當a＝0或－8≤a<－3時，1個零點． (2)當a＝0時，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1. 所以當x∈[1，4]時，f(x)∈[－1，3]，記A＝[－1，3]． 由題意，知m≠0，當m>0時，g(x)＝mx＋5－2m在[1，4]上是增函數(shù)，∴g(x)∈[5－m，5＋2m]，記B＝[5－m，5＋2m]． 由題意，知A?B，∴解得m≥6. 當m<0時，g(x)＝mx＋5－2m在[1，4]上是減函數(shù)， ∴g(x)∈[5＋2m，5－m]，記C＝[5＋2m，5－m]． 由題意，

16、知A?C，∴解得m≤－3. 綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，－3]∪[6，＋∞)． 【點評】解決含有參數(shù)的動函數(shù)的常見方法有： 1．參變分離，轉(zhuǎn)化成固定函數(shù)在固定區(qū)間上的最值問題； 2．對參數(shù)的討論，與恒成立問題，根的分布問題相結合； 3．零點的情況，與零點存在，唯一性相結合； 4．掌握二次函數(shù)，二次不等式，二次方程的內(nèi)在聯(lián)系，熟練掌握等價轉(zhuǎn)化和準確表述； 5．數(shù)形結合思想． 方 法 總 結　　【p32】 1．函數(shù)應用問題解題的基本思路是先把實際問題抽象為一個函數(shù)問題，再利用函數(shù)、方程、不等式等相關知識解決問題，解題的基本步驟是：審題、建模、求解、回驗四步． 2．解應用

17、題應重視“檢驗”，即把數(shù)學結果轉(zhuǎn)化為與實際問題一致的結論．不一定要寫“答”字，但必須對實際問題作出說明． 3．利用函數(shù)求最值是函數(shù)應用題中的常見題型，其方法是，先建立目標函數(shù)，同時指出函數(shù)的定義域，然后根據(jù)函數(shù)式的結構特點，采用適當?shù)姆椒ㄇ蟪鲎钪祷蛉〉米钪档臈l件． 4．分段函數(shù)應用題是近幾年高考的熱點問題，凡是自變量取值有限制條件，而且在不同的區(qū)間上函數(shù)取值方法不同時，一般要使用分段函數(shù)．使用分段函數(shù)必須注意區(qū)間端點值，要注意凡定義域內(nèi)的點要做到“不重不漏”．端點放在哪個區(qū)間要視實際問題而定，若在相鄰區(qū)間上均可定義時，一般放在左端點． 5．與函數(shù)有關的應用題，常涉及物價、路程、產(chǎn)值、利潤

18、、儲蓄、人口、角度、面積、體積、造價等方面的實際問題，熟悉相關生活常識和計算公式，是解題的基本要求，因為它們一般作隱含條件，一定要注意． 6．擬合函數(shù)的類型一般由題設定，否則應由變量的相關數(shù)據(jù)描述作圖，再根據(jù)圖象特征提出假設． 7．函數(shù)的三要素中，對應法則是重點和關鍵，要特別重視；定義域是易錯點，要特別注意；值域和最值是函數(shù)的一個整體性質(zhì)，求解方法靈活，綜合性強，深受命題者的青睞，要熟練． 8．函數(shù)圖象可以全面地反映函數(shù)的性質(zhì)，其中畫圖、識圖、用圖是考查數(shù)學素質(zhì)和數(shù)學能力的重要途徑，為此，必須掌握畫圖的基本方法(描點法與變換法)，熟悉基本初等函數(shù)的圖象，并會靈活應用． 9．函數(shù)的基本性

19、質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)中，單調(diào)性是重中之重，也是高考考查的重點和熱點． 10．熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、圖象和特點，是應用函數(shù)思想解題的基礎，善于挖掘隱含條件，構造出恰當?shù)暮瘮?shù)解析式并能合理地運用函數(shù)圖象和性質(zhì)是應用函數(shù)思想解題的關鍵． 11．函數(shù)知識可深可淺，在高考中常出壓軸題，因此炒得很熱．但必須注意萬變不離其“宗”，這個“宗”就是函數(shù)基礎知識．因此，要注意分寸，要把熟練基礎知識放在首位，同時重視基礎知識的靈活應用． 12．函數(shù)中的復合函數(shù)問題、分段函數(shù)問題、分類討論問題、探索性問題、應用問題和綜合問題是高考的熱點問題，應適當加強

20、訓練． 走 進 高 考　　【p32】 1．(2018·天津)已知a>0，函數(shù)f(x)＝若關于x的方程f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a的取值范圍是__________. 【解析】當x≤0時，由x2＋2ax＋a＝ax，得a＝－x2－ax； 當x>0時，由－x2＋2ax－2a＝ax，得2a＝－x2＋ax. 令g(x)＝作出直線y＝a，y＝2a，函數(shù)g(x)的圖象如圖所示，g(x)的最大值為－＋＝，由圖象可知，若f(x)＝ax恰有2個互異的實數(shù)解，則a<<2a，得4

21、從起點出發(fā)并做勻速直線運動，丙車最先到達終點．丁車最后到達終點．若甲、乙兩車的S－t圖象如圖所示，則對于丙、丁兩車的圖象所在區(qū)域，判斷正確的是(　　) A．丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域 B．丙在Ⅰ區(qū)城，丁在Ⅲ區(qū)域 C．丙在Ⅱ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域 D．丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅱ區(qū)域 【解析】由圖象，可得相同時間內(nèi)丙車行駛路程最遠，丁車行駛路程最近，即丙在Ⅲ區(qū)域，丁在Ⅰ區(qū)域． 【答案】A 2．夏季高山上溫度從山腳起每升高100米，降低0.7 ℃，已知山頂?shù)臏囟仁?4.1 ℃，山腳的溫度是26 ℃，則山的相對高度是(　　) A．1 800米 B．1 700米 C．1 600米 D．1 5

22、00米 【解析】設山的相對高度為x(單位：百米)，相應的溫度為y，則y＝－0.7x＋26，令y＝14.1，∴x＝17，所以山高1 700米． 【答案】B 3．某省每年損失耕地20萬畝，每畝耕地價值24 000元，為了減少耕地損失，決定按耕地損失價格的t%征收耕地占用稅，這樣每年的耕地損失可減少t萬畝，為了既減少耕地的損失又保證此項稅收一年不少于9 000萬元，則t的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意知征收耕地占用稅后每年損失耕地為20－t萬畝， 則稅收收入為×24 000×t%， 由題意×24 000×t%≥9 000， 整理得t2－8t＋15≤0

23、，解得3≤t≤5， ∴當耕地占用稅率為3%～5%時，既可減少耕地損失又可保證一年稅收不少于9 000萬元． ∴t的取值范圍是[3，5]． 【答案】B 4．若直角坐標平面內(nèi)A、B兩點滿足條件：①點A、B都在f(x)的圖象上；②點A、B關于原點對稱，則對稱點對(A，B)是函數(shù)的一個“姊妹點對”(點對(A，B)與(B，A)可看作一個“姊妹點對”)．已知函數(shù) f(x)＝則f(x)的“姊妹點對”有(　　) A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【解析】若(A，B)為“姊妹點對”，設A(x，y)，B(－x，－y)；在函數(shù)f(x)＝中，不妨設A點的橫坐標非負，則A，B(－x，x2－2x)

24、，所以＝2x－x2(x≥0)；在同一直角坐標系中做出f(x)＝與g(x)＝－x2＋2x的圖象(如圖)，可知f(x)與g(x)在第一象限有兩個交點，故方程＝－x2＋2x(x≥0)有兩解，所以f(x)的“姊妹點對”有兩個． 【答案】C 5．某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加．第一年的增長率為p，第二年的增長率為q，則該市這兩年生產(chǎn)總值的年平均增長率為________． 【解析】設年平均增長率為x，則(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)， ∴x＝－1. 【答案】－1 6．設函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝2x＋a的圖象關于直線y＝－x對稱，且f(－2)＋f(－4)＝1，則a＝________．

25、 【解析】設(x，y)是函數(shù)y＝f(x)的圖象上任意一點，它關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)，由已知知(－y，－x)在函數(shù)y＝2x＋a的圖象上，∴－x＝2－y＋a，解得y＝－log2(－x)＋a，即f(x)＝－log2(－x)＋a，∴f(－2)＋f(－4)＝－log22＋a－log24＋a＝1，解得a＝2. 【答案】2 7．已知函數(shù)f(x)＝4x－m·2x＋1＋m2－3，且存在實數(shù)x，使f(－x)＝－f(x)，則實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】令t＝2x>0，由f(－x)＝－f(x)?－(t2－2mt＋m2－3)＝－＋m2－3有解，方程變形為－2m＋2m2－6＝0，

26、令k＝t＋≥2，方程變形為k2－2mk＋2m2－8＝0　①. 令g(k)＝k2－2mk＋2m2－8(k≥2)，對稱軸為k＝m. 當m≤2時，①有解等價于g(2)≤0，解得1－≤m≤2； 當m>2時，①有解等價于g(m)≤0，解得2

27、得的利潤為L(x)(單位：百元)． (1)求利潤函數(shù)L(x)的函數(shù)關系式，并寫出定義域； (2)當投入的肥料費用為多少時，該水蜜桃樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ 【解析】(1)L(x)＝16 －x－2x＝ 64－－3x(0≤x≤5)． (2)L(x)＝64－－3x＝ 67－ ≤67－2 ＝43. 當且僅當＝3時，即x＝3時取等號． 故L(x)max＝43. B組題 1．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)，g(x)＝，則方程f(x)＝g(x)在區(qū)間[－5，1]上的所有實根之和為(　　) A．－7 B．－8 C．－9 D．－10 【

28、解析】∵f(x)＝且f(x＋2)＝f(x)， ∴f(x)是周期為2的函數(shù)． 又g(x)＝，則g(x)＝3＋， 易知兩個函數(shù)都關于(－2，3)對稱， 畫出f(x)與g(x)的圖象如圖所示． 由圖象可得：y＝f(x)和y＝g(x)的圖象在區(qū)間[－5，1]上有3個交點，設為A，B，C，其橫坐標分別為x1，x2，x3，且x1

29、(kx)＋1]＋1(k≠0)的零點個數(shù)的判斷正確的是(　　) A．當k＞0時，有3個零點；當k＜0時，有4個零點 B．當k＞0時，有4個零點；當k＜0時，有3個零點 C．無論k為何值，均有3個零點 D．無論k為何值，均有4個零點 【解析】令f[f(kx)＋1]＋1＝0得， 或 解得f(kx)＋1＝0或f(kx)＋1＝； 由f(kx)＋1＝0得，或 即x＝0或kx＝； 由f(kx)＋1＝得，或 即ekx＝1＋(無解)或kx＝e－1； 綜上所述，x＝0或kx＝或kx＝e－1；故無論k(k≠0)為何值，均有3個解． 【答案】C 3．某食品的保鮮時間y(單位：小時)與儲藏溫

30、度x(單位：℃)滿足函數(shù)關系y＝ekx＋b(e＝2.718…為自然對數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù))．若該食品在0 ℃的保鮮時間是192小時，在22 ℃的保鮮時間是48小時，則該食品在33 ℃的保鮮時間是______小時． 【解析】由題意得∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33時，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝·eb＝×192＝24. 【答案】24 4．設函數(shù)f(x)＝對任意給定的y∈(2，＋∞)，都存在唯一的x∈R，滿足f(f(x))＝2a2y2＋ay，則正實數(shù)a的最小值是________． 【解析】當x≤0時，f(x)＝2x，值域為(0，1]，所以f(f(x))＝log22x＝

31、x； 當01時，f(x)＝log2x，值域為(0，＋∞)，則f(f(x))＝log2(log2x)， 故f(f(x))＝ 當x≤1時，f(f(x))值域為(－∞，1]；當x>1時，f(f(x))值域為(－∞，＋∞)． 因為a>0，所以g(y)＝2a2y2＋ay＝2a2－，對稱軸為y＝－<0<2，故g(y)在(2，＋∞)上是增函數(shù)，則g(y)在(2，＋∞)上的值域為(g(2)，＋∞)，即(8a2＋2a，＋∞)， 由題意知8a2＋2a≥1，解得a≥，故正實數(shù)a的最小值為. 【答案】 15