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(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 第5講 古典概型練習(xí)(含解析)

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1、第5講 古典概型 一、選擇題 1.集合A={2,3},B={1,2,3},從A,B中各任意取一個(gè)數(shù),則這兩數(shù)之和等于4的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 從A,B中任意取一個(gè)數(shù),共有C·C=6種情形,兩數(shù)和等于4的情形只有(2,2),(3,1)兩種,∴P==. 答案 C 2.(2017·黃山一模)從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù),則取出的3個(gè)數(shù)可作為三角形的三邊邊長的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)的基本事件數(shù)有C=10種.根據(jù)三角形三邊關(guān)系能構(gòu)成三角形的只有(2,3,4),(2,4,

2、5),(3,4,5)共3個(gè)基本事件,故所求概率為P==. 答案 A 3.(2017·馬鞍山一模)某同學(xué)先后投擲一枚骰子兩次,第一次向上的點(diǎn)數(shù)記為x,第二次向上的點(diǎn)數(shù)記為y,在直角坐標(biāo)系xOy中,以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)落在直線2x-y=1上的概率為(  ) A. B. C. D. 解析 落在2x-y=1上的點(diǎn)有(1,1),(2,3),(3,5)共3個(gè),故所求的概率為P==. 答案 A 4.(2017·鄭州模擬)一個(gè)三位自然數(shù)百位、十位、個(gè)位上的數(shù)字依次為a,b,c,當(dāng)且僅當(dāng)a>b,b

3、不相同,則這個(gè)三位數(shù)是“凹數(shù)”的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 選出一個(gè)三位數(shù)有A=24種情況,取出一個(gè)凹數(shù)有C×2=8種情況,所以,所求概率為P==. 答案 C 5.如圖,三行三列的方陣中有九個(gè)數(shù)aij(i=1,2,3;j=1,2,3),從中任取三個(gè)數(shù),則至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率是(  ) A. B. C. D. 解析 從九個(gè)數(shù)中任取三個(gè)數(shù)的不同取法共有C=84種,因?yàn)槿〕龅娜齻€(gè)數(shù)分別位于不同的行與列的取法共有C·C·C=6種,所以至少有兩個(gè)數(shù)位于同行或同列的概率為1-=. 答案 D 二、填空題 6.(2015·江蘇卷)袋中

4、有形狀、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機(jī)摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為________. 解析 這兩只球顏色相同的概率為,故兩只球顏色不同的概率為1-=. 答案  7.(2016·上海卷)某食堂規(guī)定,每份午餐可以在四種水果中任選兩種,則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為________. 解析 甲同學(xué)從四種水果中選兩種,選法種數(shù)有C,乙同學(xué)的選法種數(shù)為C,則兩同學(xué)的選法種數(shù)為C·C,兩同學(xué)各自所選水果相同的選法種數(shù)為C,由古典概型概率計(jì)算公式可得,甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為P==. 答案  8.從0,1,2,3,4,

5、5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù),則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________. 解析 從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù),基本事件共有C=120(個(gè)),記事件“七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6”為事件A,若事件A發(fā)生,則6,7,8,9必取,再從0,1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù),有C種選法.故所求概率P(A)==. 答案  三、解答題 9.海關(guān)對(duì)同時(shí)從A,B,C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位:件)如表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100

6、 (1)求這6件樣品中來自A,B,C各地區(qū)商品的數(shù)量; (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這2件商品來自相同地區(qū)的概率. 解 (1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是=, 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是: 50×=1,150×=3,100×=2. 所以A,B,C三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)從6件樣品中抽取2件商品的基本事件數(shù)為C==15,每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件D:“抽取的這2件商品來自相同地區(qū)”,則事件D包含的基本事件數(shù)為C+C=4,所以P(D)=. 故這2件商品來自相

7、同地區(qū)的概率為. 10.一個(gè)盒子里裝有三張卡片,分別標(biāo)記有數(shù)字1,2,3,這三張卡片除標(biāo)記的數(shù)字外完全相同.隨機(jī)有放回地抽取3次,每次抽取1張,將抽取的卡片上的數(shù)字依次記為a,b,c. (1)求“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率; (2)求“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率. 解 (1)由題意,(a,b,c)所有的可能的結(jié)果有33=27(種). 設(shè)“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”為事件A, 則事件A包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3種. 所以P(A)==. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字滿足a+b=c”的概率為. (2)設(shè)“抽取的卡

8、片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”為事件B, 則事件B包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3種. 所以P(B)=1-P(B)=1-=. 因此,“抽取的卡片上的數(shù)字a,b,c不完全相同”的概率為. 11.隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2,點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,則(  ) A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3 C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2 解析 隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子,所有可能的結(jié)果共有36種.事件“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”包含的基本事件有(1,1),(1,2),(

9、1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)共10種,其概率p1==.事件“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”與“向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5”是對(duì)立事件,所以“向上的點(diǎn)數(shù)之和大于5”的概率p2=.因?yàn)槌系狞c(diǎn)數(shù)之和不是奇數(shù)就是偶數(shù),所以“點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”的概率p3=.故p1

10、第1~3天,第2~4天,第3~5天,第4~6天,共4種. 故所求事件的概率P==. 答案 B 13.(2017·河南省八市重點(diǎn)高中質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=2x2-4ax+2b2,若a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},則該函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的概率為________. 解析 要使函數(shù)f(x)=2x2-4ax+2b2有兩個(gè)零點(diǎn),即方程x2-2ax+b2=0要有兩個(gè)實(shí)根,則Δ=16(a2-b2)>0,又a∈{4,6,8},b∈{3,5,7},即a>b,從a∈{4,6,8},b∈{3,5,7}分別取1個(gè)a和1個(gè)b,有3×3=9(種),其中滿足a>b的取法有(4,3),(6,3),(6,5),(8

11、,3),(8,5),(8,7),共6種,所以所求的概率為=. 答案  14.袋中裝有黑球和白球共7個(gè),從中任取2個(gè)球都是白球的概率為,現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取,…,取后不放回,直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止,每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的. (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù); (2)求取球2次即終止的概率; (3)求甲取到白球的概率. 解 (1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球,從袋中任取2個(gè)球都是白球的結(jié)果數(shù)為C,從袋中任取2個(gè)球的所有可能的結(jié)果數(shù)為C. 由題意知從袋中任取2球都是白球的概率P==,則n(n-1)=6,解得n=3(舍去n=-2),即袋中原有3個(gè)白球. (2)設(shè)事件A為“取球2次即終止”.取球2次即終止,即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球, P(A)===. (3)設(shè)事件B為“甲取到白球”,“第i次取到白球”為事件Ai,i=1,2,3,4,5,因?yàn)榧紫热?,所以甲只可能在?次,第3次和第5次取到白球. 所以P(B)=P(A1∪A3∪A5)=P(A1)+P(A3)+P(A5)=++=++=. 6

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