《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第六章 數(shù)列 第34講 等差數(shù)列及其前n項和練習 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第六章 數(shù)列 第34講 等差數(shù)列及其前n項和練習 理（含解析）新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第34講　等差數(shù)列及其前n項和 夯實基礎　【p73】 【學習目標】 1．掌握等差數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等． 2．掌握等差數(shù)列的判斷方法． 3．掌握等差數(shù)列求和的方法． 【基礎檢測】 1．數(shù)列{an}是等差數(shù)列，a1＝1，a4＝8，則a5＝(　　) A．16 B．－16 C．32 D. 【解析】因為a4＝8，所以a1＋3d＝8， 又因為a1＝1，所以d＝， 可得a5＝a1＋4d＝. 【答案】D 2．已知等差數(shù)列{an}中，若a4＝15，則它的前7項和為(　　) A．120 B．115 C．110 D．105 【解析】由題得S7＝

2、(a1＋a7)＝·2a4＝7a4＝7×15＝105. 【答案】D 3．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數(shù)列的通項為(　　) A．a(chǎn)n＝B．a(chǎn)n＝ C．a(chǎn)n＝D．a(chǎn)n＝ 【解析】由＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數(shù)列，所以＝n，即an＝. 【答案】A 4．記Sn為等差數(shù)列的前n項和，若S9＝45，a3＋a8＝12，則a7等于(　　) A．10 B．9 C．8 D．7 【解析】S9＝9a5＝45a5＝5，而a3＋a8＝12a5＋a6＝12，a6＝7. ∵2a6＝a5＋a7，∴a7＝9. 【答案】B 5．設等差數(shù)

3、列{an}的前n項和為Sn，若a1＝－11, a3＋a7＝－6，則當Sn取得最小值時，n等于(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】由題設d＝2，則Sn＝n2＋(－11－1)n＝n2－12n，所以當n＝6時，Sn＝n2－12n最小． 【答案】A 【知識要點】 1．等差數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母__d__表示． 2．等差數(shù)列的通項公式 如果等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，那么它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)． 3．

4、等差中項 如果A＝，那么A叫做a與b的等差中項． 4．等差數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝ak＋(n－k)d(n，k∈N*)． (2)若{an}為等差數(shù)列，且m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq. (3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則an，an＋m，an＋2m，…(n，m∈N*)是公差為__md__的等差數(shù)列． (4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列． 5．等差數(shù)列的前n項和公式 設等差數(shù)列{an}的公差為d，其前n項和Sn＝或Sn＝na1＋d(n∈N*)． 6．等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系 Sn＝n2

5、＋n(n∈N*)． 數(shù)列{an}是等差數(shù)列Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù)，n∈N*)． 7．等差數(shù)列的前n項和的最值 在等差數(shù)列{an}中，若a1>0，d<0，則Sn存在最__大__值；若a1<0，d>0，則Sn存在最__小__值． 典例剖析　【p73】 考點1　等差數(shù)列基本量的計算 (1)已知等差數(shù)列共有10項，其中奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，則其公差是(　　) A．5 B．4 C．3 D．2 【解析】寫出數(shù)列的第一、三、五、七、九項的和，寫出數(shù)列的第二、四、六、八、十項的和，都用首項和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．由此得：d＝3. 【答案】C (2)

6、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，a7－a5＝4，a11＝21，Sk＝9，則k＝________． 【解析】a7－a5＝2d＝4，d＝2，a1＝a11－10d＝21－20＝1， Sk＝k＋×2＝k2＝9.又k∈N*，故k＝3. 【答案】3 【點評】在求解等差數(shù)列的基本量問題中主要使用的是方程思想，要注意公式使用時的準確性與合理性，更要注意運算的準確性．在遇到一些較復雜的方程組時，要注意整體代換思想的運用，使運算更加簡捷． 考點2　等差數(shù)列的性質(zhì)及應用 (1)在等差數(shù)列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數(shù)列{an}的前n項和，則S11＝(　　) A．18 B

7、．99 C．198 D．297 【解析】因為a3＋a9＝27－a6，2a6＝a3＋a9，所以3a6＝27，所以a6＝9，所以S11＝(a1＋a11)＝11a6＝99. 【答案】B (2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝________． 【解析】法一：設數(shù)列{an}的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36d＝20. 法二：由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，

8、S21－S18成等差數(shù)列，設此數(shù)列公差為D.所以5＋2D＝10，所以D＝.所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6D＝5＋15＝20. 【答案】20 【點評】一般地，運用等差數(shù)列性質(zhì)，可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．但要注意性質(zhì)運用的條件，如m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)，只有當序號之和相等、項數(shù)相同時才成立． 考點3　等差數(shù)列的判定與證明 令 bn＝，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，則非零常數(shù)c的值為________． 【解析】∵bn＝，c≠0，數(shù)列{bn}為等差數(shù)列， ∴bn＝2n.得到c＝－. 【答案】－ 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an

9、＋1＝(n∈N)，bn＝. (1)證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列． (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 【解析】(1)∵a1≠0，且有an＋1＝，所以有an≠0(n∈N*)，則有bn＋1＝＝＝＋＝bn＋， 即bn＋1－bn＝(n∈N*)且b1＝＝1， 所以{bn}是首項為1，公差為的等差數(shù)列． (2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)×＝1＋＝， 即＝， 所以an＝. 【點評】等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對于n≥2的任意自然數(shù)，an－an－1(n≥2，n∈N*)為同一常數(shù){an}是等差數(shù)列 等差 中

10、項法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立{an}是等差數(shù)列 解答題中 證明問題 通項 公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立{an}是等差數(shù)列 前n項和 公式法 驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 考點4　等差數(shù)列前n項和的最值問題 已知{an}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且4Sn＝(an＋1)2. (1)求a1，a2的值及{an}的通項公式； (2)求數(shù)列的最小值．

11、 【解析】(1)因為4Sn＝(an＋1)2， 所以，當n＝1時，4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1， 所以，當n＝2時，4(1＋a2)＝(a2＋1)2，解得a2＝－1或a2＝3， 因為{an}是各項為正數(shù)的等差數(shù)列，所以a2＝3， 所以{an}的公差d＝a2－a1＝2， 所以{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d＝2n－1. (2)因為4Sn＝(an＋1)2，所以Sn＝＝n2， 所以Sn－an＝n2－(2n－1)＝n2－7n＋＝－. 所以，當n＝3或n＝4時，Sn－an取得最小值－. 方法總結(jié)　　【p74】 1．等差數(shù)列的判定方法有定義法、中項公式法、通項公式法、前n

12、項和公式法，注意等差數(shù)列的證明只能用定義法． 2．方程思想和基本量思想：在解有關(guān)等差數(shù)列問題時可以考慮化歸為首項與公差等基本量，通過建立方程組獲得解． 3．用函數(shù)思想理解等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，從而解最值問題． 走進高考　　【p74】 1．(2018·全國卷Ⅰ)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 【解析】法一：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4， ∴3＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1， ∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)

13、＝－10. 法二：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵3S3＝S2＋S4，∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，∴S3＝a4－a3，∴3a1＋d＝d，∵a1＝2，∴d＝－3，∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 【答案】B 2．(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值． 【解析】(1)設{an}的公差為d，由題意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2. 所以{an}的通項公式為an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16. 所以當

14、n＝4時，Sn取得最小值，最小值為－16. 考點集訓　　【p214】 A組題 1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，則m的值為(　　) A．37 B．36 C．20 D．19 【解析】am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37. 【答案】A 2．記Sn為等差數(shù)列的前n項和，若a7＝1，a1－S4＝9，則數(shù)列中的最小項為(　　) A．S1 B．S5，S6 C．S4 D．S7 【解析】令等差數(shù)列的公差為d，則解得a1＝－5，d＝1， 有an＝n－6，Sn＝，則當n＝5或6時，Sn最小． 【答案】B 3．已知數(shù)列

15、{an}滿足a1＝15，且3an＋1＝3an－2.若ak·ak＋1<0，則正整數(shù)k＝(　　) A．21 B．22 C．23 D．24 【解析】3an＋1＝3an－2an＋1＝an－{an}是等差數(shù)列，則an＝－n.∵ak·ak＋1<0，∴<0，∴0，又S6＝S7，所以a7＝0. 由S7>S8

16、，得a8<0，而C選項S9>S5，即a6＋a7＋a8＋a9>02(a7＋a8)>0. 由題設a7＝0，a8<0，顯然C選項是錯誤的． 【答案】C 5．設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若S8＝4a3，a7＝－2，則a9＝________． 【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義和性質(zhì)可得，S8＝4(a3＋a6)，又S8＝4a3，所以a6＝0，又a7＝－2， 所以a8＝－4，a9＝－6. 【答案】－6 6．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則正整數(shù)m的值為________． 【解析】因為等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，

17、Sm＋1＝3，所以am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，數(shù)列的公差d＝1，am＋am＋1＝Sm＋1－Sm－1＝5，即2a1＋2m－1＝5，所以a1＝3－m.由Sm＝(3－m)m＋×1＝0，解得正整數(shù)m的值為5. 【答案】5 7．已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0.設{an}的前n項和為Sn，a1＝1，S2·S3＝36. (1)求d及Sn； (2)求m，k(m，k∈N*)的值，使得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝65. 【解析】(1)由題意知(2a1＋d)(3a1＋3d)＝36，將a1＝1代入上式解得d＝2或d＝－5. 因為d＞0，所以d＝2.從而an＝2n－

18、1，Sn＝n2(n∈N*)． (2)由(1)得am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋k＝(2m＋k－1)(k＋1)， 所以(2m＋k－1)(k＋1)＝65.由m，k∈N*知2m＋k－1≥k＋1＞1，故所以 8．已知等差數(shù)列{an}前三項的和為－9，前三項的積為－15. (1)求等差數(shù)列{an}的通項公式； (2)若{an}為遞增數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn. 【解析】(1)設公差為d，則依題意得a2＝－3， 則a1＝－3－d，a3＝－3＋d， ∴(－3－d)(－3)(－3＋d)＝－15，得d2＝4，d＝±2， ∴an＝－2n＋1或an＝2n－7. (2)由題意得an

19、＝2n－7，所以|an|＝ ①n≤3時，Sn＝－(a1＋a2＋…＋an)＝n＝6n－n2； ②n≥4時，Sn＝－a1－a2－a3＋a4＋…＋an＝－2(a1＋a2＋a3)＋(a1＋a2＋…＋an)＝18－6n＋n2. 綜上，數(shù)列{|an|}的前n項和Sn＝ B組題 1．已知正項數(shù)列{an}中，a1＝1, a2＝2, 2a＝a＋a，則a6等于(　　) A．16 B．8 C．4 D．2 【解析】由2a＝a＋a知，數(shù)列{a}是等差數(shù)列，前兩項為1，4，所以公差d＝3，故a＝1＋5×3＝16，所以a6＝4，故選C. 【答案】C 2．若等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S4≤4，

20、S6≥12，則a4的最小值為(　　) A．2 B.C．3 D. 【解析】S4＝2(a1＋a4)≤42a4－3d≤2，① S6＝3(a1＋a6)≥122a4－d≥4， 即d－2a4≤－43d－6a4≤－12，② ①②兩式相加得：a4≥. 【答案】D 3．設數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.6]＝0，[1.2]＝1，則的值用m(m為整數(shù))表示為__________． 【解析】由題設可得(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，令bn＝an＋1－an，則由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是首項為b1＝a

21、2－a1＝4，公差為d＝2的等差數(shù)列，即an＋1－an＝4＋2(n－1)＝2n＋2，由此可得a2－a1＝2×1＋2，a3－a2＝2×2＋2，…，an－an－1＝2(n－1)＋2，將以上(n－1)個等式兩邊相加可得an－a1＝2×(n－1)＋2n－2＝n(n－1)＋2n－2，即an＝n(n＋1)，所以＋＋…＋＝m－＋－＋…＋－＝m－1，故＝m－1. 【答案】m－1 4．設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，4Sn＝a＋2an－3，且a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列，當n≥5時，an>0. (1)求證：當n≥5時，{an}成等差數(shù)列； (2)求{an}的前n項和Sn. 【解析】(1)由4Sn＝a＋2an－3，4Sn＋1＝a＋2an＋1－3， 得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an， 即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0. 當n≥5時，an>0，所以an＋1－an＝2， 所以當n≥5時，{an}成等差數(shù)列． (2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1， 又a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列， 而a5>0，所以a1>0，從而a1＝3， 所以an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1， 所以an＝ 所以Sn＝ 備課札記 15