《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí)(含解析)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(魯京津瓊專用)2020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系練習(xí)(含解析)(6頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3講 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
一、選擇題
1.(2015·湖北卷)l1,l2表示空間中的兩條直線,若p:l1,l2是異面直線;q:l1,l2不相交,則( )
A.p是q的充分條件,但不是q的必要條件
B.p是q的必要條件,但不是q的充分條件
C.p是q的充分必要條件
D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件
解析 直線l1,l2是異面直線,一定有l(wèi)1與l2不相交,因此p是q的充分條件;若l1與l2不相交,那么l1與l2可能平行,也可能是異面直線,所以p不是q的必要條件.故選A.
答案 A
2.(2017·鄭州聯(lián)考)已知直線a和平面α,β,α∩β=l,a?α,
2、a?β,且a在α,β內(nèi)的射影分別為直線b和c,則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A.相交或平行 B.相交或異面
C.平行或異面 D.相交、平行或異面
解析 依題意,直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面,選D.
答案 D
3.給出下列說法:①梯形的四個頂點共面;②三條平行直線共面;③有三個公共點的兩個平面重合;④三條直線兩兩相交,可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是( )
A.① B.①④ C.②③ D.③④
解析 顯然命題①正確.
由于三棱柱的三條平行棱不共面,②錯.
命題③中,兩個平面重合或相交,③錯.
三條直線兩兩相交,可確定1個或3個
3、平面,則命題④正確.
答案 B
4.(2017·濟南模擬)a,b,c是兩兩不同的三條直線,下面四個命題中,真命題是( )
A.若直線a,b異面,b,c異面,則a,c異面
B.若直線a,b相交,b,c相交,則a,c相交
C.若a∥b,則a,b與c所成的角相等
D.若a⊥b,b⊥c,則a∥c
解析 若直線a,b異面,b,c異面,則a,c相交、平行或異面;若a,b相交,b,c相交,則a,c相交、平行或異面;若a⊥b,b⊥c,則a,c相交、平行或異面;由異面直線所成的角的定義知C正確.故選C.
答案 C
5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別為BB1,CC1的中點,
4、那么異面直線AE與D1F所成角的余弦值為( )
A. B. C. D.
解析 連接DF,則AE∥DF,
∴∠D1FD為異面直線AE與D1F所成的角.
設(shè)正方體棱長為a,
則D1D=a,DF=a,D1F=a,
∴cos∠D1FD==.
答案 B
二、填空題
6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為棱C1D1,C1C的中點,有以下四個結(jié)論:
①直線AM與CC1是相交直線;
②直線AM與BN是平行直線;
③直線BN與MB1是異面直線;
④直線MN與AC所成的角為60°.
其中正確的結(jié)論為________(填序號).
解析 A,M,C1三
5、點共面,且在平面AD1C1B中,但C?平面AD1C1B,C1?AM,因此直線AM與CC1是異面直線,同理AM與BN也是異面直線,①②錯;M,B,B1三點共面,且在平面MBB1中,但N?平面MBB1,B?MB1,因此直線BN與MB1是異面直線,③正確;連接D1C,因為D1C∥MN,所以直線MN與AC所成的角就是D1C與AC所成的角,且角為60°.
答案 ③④
7.如圖,正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上,且AB∥CD,則直線EF與正方體的六個面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.
解析 取CD的中點H,連接EH,F(xiàn)H.在正四面體CDEF中,由于CD⊥EH,CD⊥HF,且
6、EH∩FH=H,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行,則EF也與之平行,與其余四個平面相交.
答案 4
8.(2014·全國Ⅱ卷改編)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點,BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為________.
解析 如圖所示,取BC中點D,連接MN,ND,AD.
∵M,N分別是A1B1,A1C1的中點,
∴MN綉B(tài)1C1.又BD綉B(tài)1C1,
∴MN綉B(tài)D,則四邊形BDNM為平行四邊形,因此ND∥BM,
∴∠AND為異面直線BM與AN所成的角(或其補角).
7、設(shè)BC=2,則BM=ND=,AN=,AD=,
在△ADN中,由余弦定理得cos∠AND==.
故異面直線BM與AN所成角的余弦值為.
答案
三、解答題
9.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是A1B1,B1C1的中點.問:
(1)AM和CN是否是異面直線?說明理由;
(2)D1B和CC1是否是異面直線?說明理由.
解 (1)AM,CN不是異面直線.理由:連接MN,A1C1,AC.
因為M,N分別是A1B1,B1C1的中點,所以MN∥A1C1.
又因為A1A綉C1C,所以四邊形A1ACC1為平行四邊形,
所以A1C1∥AC,所以MN∥AC,
所以A
8、,M,N,C在同一平面內(nèi),
故AM和CN不是異面直線.
(2)直線D1B和CC1是異面直線.
理由:因為ABCD-A1B1C1D1是正方體,所以B,C,C1,D1不共面.假設(shè)D1B與CC1不是異面直線,
則存在平面α,使D1B?平面α,CC1?平面α,
所以D1,B,C,C1∈α,
這與B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假設(shè)不成立,
即D1B和CC1是異面直線.
10.(2017·成都月考)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:
(1)三棱錐P-ABC的體積;
(2)異面直線BC與AD所成角的余弦
9、值.
解 (1)S△ABC=×2×2=2,
三棱錐P-ABC的體積為
V=S△ABC·PA=×2×2= .
(2)如圖,取PB的中點E,連接DE,AE,則ED∥BC,所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角).
在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,
cos∠ADE==.
故異面直線BC與AD所成角的余弦值為.
11.以下四個命題中,
①不共面的四點中,其中任意三點不共線;
②若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面;
③若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面;
④依次首尾相接的四條線段必共面.
正確命題的個數(shù)
10、是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析?、偌僭O(shè)其中有三點共線,則該直線和直線外的另一點確定一個平面,這與四點不共面矛盾,故其中任意三點不共線,所以①正確.②從條件看出兩平面有三個公共點A,B,C,但是若A,B,C共線,則結(jié)論不正確;③不正確;④不正確,因為此時所得的四邊形的四條邊可以不在一個平面上,如空間四邊形.
答案 B
12.若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結(jié)論一定正確的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1與l4既不垂直也不平行 D.l1與l4的位置關(guān)系不確定
解析 如圖,在長
11、方體ABCD-A1B1C1D1中,記l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此時l1∥l4,可以排除選項A和C.
若取C1D為l4,則l1與l4相交;若取BA為l4,則l1與l4異面;取C1D1為l4,則l1與l4相交且垂直.
因此l1與l4的位置關(guān)系不能確定.
答案 D
13.如圖,正方形ACDE與等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F(xiàn),G分別是線段AE,BC的中點,則AD與GF所成的角的余弦值為________.
解析 取DE的中點H,連接HF,GH.由題設(shè),HF綉AD.
∴∠GFH為
12、異面直線AD與GF所成的角(或其補角).
在△GHF中,可求HF=,
GF=GH=,∴cos∠HFG==.
答案
14.如圖,在四棱錐O-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M為OA的中點.
(1)求四棱錐O-ABCD的體積;
(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值.
解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面積S=4,
所以四棱錐O-ABCD的體積V=×4×2=.
(2)如圖,連接AC,設(shè)線段AC的中點為E,連接ME,DE.
又M為OA中點,∴ME∥OC,
則∠EMD(或其補角)為異面直線OC與MD所成的角,由已知可得DE=,EM=,MD=,
∵()2+()2=()2,
∴△DEM為直角三角形,∴tan∠EMD===.
∴異面直線OC與MD所成角的正切值為.
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