《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的單調性練習 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的單調性練習 文（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　函數(shù)的單調性 夯實基礎　【p17】 【學習目標】 了解函數(shù)單調性的概念及幾何意義，掌握基本初等函數(shù)的單調性，會求(判斷或證明)函數(shù)的單調區(qū)間，能運用函數(shù)單調性解決有關問題． 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．下列函數(shù)在定義域內單調遞增的是(　　) A．y＝－x2B．y＝ C．y＝－D．y＝－x3 【解析】A不單調，C分區(qū)間，D遞減． 【答案】B 2．函數(shù)y＝f，x∈的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的所有單調遞減區(qū)間為(　　) A.B. C.和D.∪ 【解析】由圖可知，f在和兩個區(qū)間單調遞減，故選C. 【答案】C 3．設f(x

2、)＝(2a－1)x＋b在R上是減函數(shù)，則有(　　) A．a(chǎn)≥B．a(chǎn)≤ C．a(chǎn)>－D．a(chǎn)< 【解析】∵f在R上是減函數(shù)，故2a－1<0，即a<.故選D. 【答案】D 4．函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c對于任意實數(shù)t都有f(2＋t)＝f(2－t)，則f(1)，f(2)，f(4)的大小關系為(　　) A．f(1)

3、f(x2)__，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù)． (3)單調性與單調區(qū)間：如果函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間上是__增函數(shù)或減函數(shù)__，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調性，這一區(qū)間叫作y＝f(x)的__單調區(qū)間__，具有

4、單調性的函數(shù)叫單調函數(shù)． 2．判斷函數(shù)單調性的常用方法 (1)定義法． (2)兩個增(減)函數(shù)的和仍為增(減)函數(shù)，一個增(減)函數(shù)與一個減(增)函數(shù)的差是增(減)函數(shù)． (3)奇函數(shù)圖象在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性__相同__；偶函數(shù)圖象在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性__相反__． (4)導數(shù)法：若y＝f(x)的導數(shù)為y′＝f′(x)，若當x∈(a，b)時，f′(x)>0，則f(x)在(a，b)上__遞增__；若當x∈(a，b)時，f′(x)<0，則f(x)在(a，b)上__遞減__． (5)如果f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù)，那么f(x)在D的任一子區(qū)間上也是增(減)函數(shù)．

5、 (6)利用函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調性． 典例剖析　【p17】 考點1　函數(shù)單調性的判斷 討論函數(shù)f(x)＝(a>0)在x∈(－1，1)上的單調性． 【解析】法一(定義法)：設－10， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，(x－1)(x－1)>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 故函數(shù)f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)． 法二(導數(shù)法)： f′(x)＝＝. 又a>0，所以f′(x)<0， 所以函數(shù)f(x)在(－1，1)上為減函數(shù)． 【小結】判斷或證明函數(shù)的單

6、調性的2種重要方法及其步驟： (1)定義法，其基本步驟： 取值―→―→―→ (2)導數(shù)法，其基本步驟： ―→―→ 考點2　函數(shù)單調性的證明 已知函數(shù)f＝(a>0且a≠1)是定義在R上的奇函數(shù)，且f＝. (1)求y＝f的解析式； (2)討論函數(shù)y＝f的單調性并證明． 【解析】(1)由題意，函數(shù)f是R上的奇函數(shù)，則f＝0， 即＝0b＝－1，則f＝， 又f＝，則f＝－f＝－， 即＝，且＝－， 解得a＝2，或a＝1(不合題意，舍去)，c＝1， 所以f＝. (2)函數(shù)f＝在R上為增函數(shù)，下面用定義法證明：取x1

7、，且x10，2x2>0，即2x1＋1>0，2x2＋1>0， 所以<0，即f

8、 ∴函數(shù)y＝log(x2－3x＋2)的定義域為(－∞，1)∪(2，＋∞)． 又u＝x2－3x＋2的對稱軸x＝，且開口向上． ∴u＝x2－3x＋2在(－∞，1)上是單調減函數(shù)，在(2，＋∞)上是單調增函數(shù)． 而y＝logu在(0，＋∞)上是單調減函數(shù)， ∴y＝log(x2－3x＋2)的單調遞減區(qū)間為(2，＋∞)，單調遞增區(qū)間為(－∞，1)． 求函數(shù)f(x)＝x2＋ax－a2lnx(a∈R)的單調區(qū)間． 【解析】定義域為(0，＋∞)， ∵f′(x)＝2x＋a－＝， ①當a>0時，令f′(x)>0，解得x>； 令f′(x)<0，解得00恒

9、成立，所以f(x)只有增區(qū)間(0，＋∞)． ③當a<0時，令f′(x)>0，解得x>－a； 令f′(x)<0，解得00時，f(x)的增區(qū)間為；減區(qū)間為； 當a＝0時，f(x)只有增區(qū)間(0，＋∞)； 當a<0時，f(x)的增區(qū)間為(－a，＋∞)；減區(qū)間為(0，－a)． 【小結】求函數(shù)單調區(qū)間的常用方法有：(1)觀察法；(2)圖象法(即通過畫出函數(shù)圖象，觀察圖象，確定單調區(qū)間)；(3)定義法；(4)求導法．注意：單調區(qū)間一定要在定義域內． 考點4　函數(shù)單調性的應用 設函數(shù)f＝. (1)試證明f在上為單調遞減函數(shù)； (2)若函數(shù)g＝－m，且g在區(qū)間[－

10、3，－2]上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．【解析】(1)設x20，1＋x1<0，1＋x2<0. f－f＝>0，即f>f. 所以f(x)在上為單調遞減函數(shù)． (2)因為f是上的單調遞減函數(shù)， 所以g(x)＝－m在區(qū)間上是單調遞增函數(shù)， 所以，當x∈時，g(x)＝－m的值域是，即， 由g(x)在區(qū)間上沒有零點得4－m>0或8－m<0， 所以m<4或m>8. 【小結】(1)求函數(shù)值域或最值．常用方法有：單調性法、圖象法、基本不等式法、導數(shù)法、換元法． (2)比較大?。容^函數(shù)值的大小，應將自變量轉化到同一個單調區(qū)間內，然后利用函數(shù)的單調性解決． (3)

11、解不等式．在求解與抽象函數(shù)有關的不等式時，往往是利用函數(shù)的單調性將“f”符號脫掉，使其轉化為具體的不等式求解．此時應特別注意函數(shù)的定義域． (4)利用單調性求參數(shù)．視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)． 【能力提升】 已知a∈R，函數(shù)f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù))． (1)當a＝2時，求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間； (2)若函數(shù)f(x)在(－1，1)上單調遞增，求a的取值范圍； (3)函數(shù)f(x)是否為R上的單調函數(shù)，若是，求出a的取值范圍；若不是，請說明理由． 【解析】(1)當a＝2時，f(x)＝

12、(－x2＋2x)ex， ∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex. 令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0， ∵ex>0，∴－x2＋2>0，解得－0，∴－x2＋(a－2)x＋a≥0對任意x∈(－1，1)都成立． 即a≥＝

13、＝(x＋1)－對任意x∈(－1，1)都成立． 令y＝(x＋1)－，則y′＝1＋>0. ∴y＝(x＋1)－在(－1，1)上單調遞增． ∴y<(1＋1)－＝. ∴a≥. (3)若函數(shù)f(x)在R上單調遞減， 則f′(x)≤0對任意x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0對任意x∈R都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≥0對任意x∈R都成立． ∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0， 即a2＋4≤0，這是不可能的． ∴函數(shù)f(x)不可能在R上單調遞減. 若函數(shù)f(x)在R上單調遞增，則f′(x)≥0對任意x∈R都成立， 即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0對

14、任意x∈R都成立， ∵ex>0，∴x2－(a－2)x－a≤0對任意x∈R都成立． ∵其函數(shù)圖象開口向上， 故函數(shù)f(x)不可能在R上單調遞增． 綜上可知函數(shù)f(x)不可能是R上的單調函數(shù)． 【小結】利用函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)的單調性，反之知道了函數(shù)的單調性可確定函數(shù)解析式中的參數(shù)值或范圍． 方法總結　【p19】 1．在研究函數(shù)的單調性時，等價轉化為討論一些熟知函數(shù)的單調性問題．因此，掌握并熟記一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性． 2．函數(shù)單調性的證明方法：①定義證明法；②導數(shù)證明法． 3．判斷函數(shù)的單調性的方法：(1)觀察法；(2)圖象法；(3)定義

15、法；(4)復合函數(shù)法；(5)導數(shù)法． 注意：確定單調性一定要相對于某個區(qū)間而言，并且這個區(qū)間一定要在定義域內． 4．運用奇、偶函數(shù)的性質及其與單調性的關系是進行單調區(qū)間轉換的一種有效手段． 5．已知函數(shù)單調性求參數(shù)范圍的問題是討論單調性的可逆過程，解法是根據(jù)單調性的概念得到“恒成立”的不等式，同時要注意定義域這一隱性限制條件． 走進高考　　【p19】 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知函數(shù)f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)． (1)若a＝3，求f(x)的單調區(qū)間； (2)證明：f(x)只有一個零點． 【解析】(1)當a＝3時，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－

16、6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 當x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)時，f′(x)>0； 當x∈(3－2，3＋2)時，f′(x)<0. 故f(x)在(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)上單調遞增，在(3－2，3＋2)上單調遞減． (2)由于x2＋x＋1>0，所以f(x)＝0等價于－3a＝0. 設g(x)＝－3a，則g′(x)＝≥0，僅當x＝0時g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)單調遞增． 故g(x)至多有一個零點，從而f(x)至多有一個零點． 又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一個零點． 綜上，f(x)只有一個零點． - 7 -