《（名師導學）2020版高考數學總復習 第三章 導數及其應用 第18講 導數與函數的綜合問題考點集訓 文（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（名師導學）2020版高考數學總復習 第三章 導數及其應用 第18講 導數與函數的綜合問題考點集訓 文（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第18講　導數與函數的綜合問題 考 點 集 訓　【p187】 A組 1．某公司生產一種產品，固定成本為20 000元，每生產一單位的產品，成本增加100元，若總收入R與年產量x的關系是R(x)＝則當總利潤最大時，每年生產產品的單位數是(　　) A．150 B．200 C．250 D．300 【解析】由題意可得，當年產量為x時， 總成本為C(x)＝20 000＋100x， ∴總利潤P(x)＝ 則P′(x)＝ 令P′(x)＝0得x＝300， 因為當0≤x＜300時，P′(x)＞0， 當x＞300時，P′(x)＜0， 所以當x＝300時，利潤最大，故選D. 【答案】D

2、 2．若對于R上的可導函數f(x)滿足(x－1)f′(x)≥0，則必有(　　) A．f(0)＋f(2)＜2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)＞2f(1) 【解析】當x＞1時，f′(x)≥0，f(x)在(1，＋∞)上是增函數；當x＜1時，f′(x)≤0，f(x)在(－∞，1)上是減函數，故f(x)的最小值為f(1)，必有f(0)＋f(2)≥2f(1)；若函數y＝f(x)為常數函數，則f′(x)＝0，則f(0)＋f(2)＝2f(1)．故選C. 【答案】C 3．已知函數f＝kx2－ln x，若f>0在函數定義域內恒

3、成立，則k的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題意得f>0在函數定義域內恒成立， 即kx2－ln x>0在(0，＋∞)上恒成立， 即k>在(0，＋∞)恒成立， 設g＝，則g′＝＝， 當x∈(0，)時，函數g單調遞增； 當x∈(，＋∞)時，函數g單調遞減， 所以當x＝時，函數g取得最大值，此時最大值為g＝， 所以實數k的取值范圍是，故選D. 【答案】D 4．把長為60 m的鐵絲圍成矩形，當長為______________m，寬為____________m時，矩形的面積最大． 【解析】設矩形的長為x m，則寬為(30－x)m， 矩形面積S＝30x

4、－x2(0

5、∞)恒成立，則實數a的取值范圍是____________． 【解析】因為2xln x≥－x2＋ax－3對任意x∈(0，＋∞)恒成立， 則a≤2ln x＋x＋， 設h(x)＝2ln x＋x＋(x＞0)， 則h′(x)＝. 當x∈(0，1)時，h′(x)＜0，函數h(x)單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，h′(x)＞0，函數h(x)單調遞增． 所以h(x)min＝h(1)＝4. 所以a≤h(x)min＝4. 【答案】(－∞，4] 7．已知函數f(x)＝x3－x2＋2x＋5. (1)求函數f(x)的圖象在點(3，f(3))處的切線方程； (2)若曲線y＝f(x)與y＝2x－m

6、有三個不同的交點，求實數m的取值范圍． 【解析】(1)∵函數f(x)＝x3－x2＋2x＋5， ∴f′(x)＝x2－3x＋2. ∴f′(3)＝2，f(3)＝. ∴f(x)在(3，f(3))處的切線方程是y－＝2(x－3)， 即4x－2y＋1＝0. (2)令f(x)＝2x－m，即x3－x2＋2x＋5＝2x－m， ∴x3－x2＋5＝－m. 設g(x)＝x3－x2＋5，則g′(x)＝x2－3x. ∵曲線y＝f(x)與y＝2x－m有三個不同的交點， ∴函數y＝g(x)與y＝－m有三個不同的交點， 令g′(x)＝0，解得x＝0或x＝3， 當x<0或x>3時，g′(x)>0， 當0

7、0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． 若a＜0，則當x∈時，f′(x)>0；

8、 當x∈時，f′(x)<0. 故f(x)在上單調遞增，在上單調遞減． (2)由(1)知，當a＜0時，f(x)在x＝－取得最大值， 最大值為f＝ln－1－. 所以f(x)≤－－2等價于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0. 設g(x)＝ln x－x＋1，則g′(x)＝－1. 當x∈(0，1)時，g′(x)>0；當x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0. 所以g(x)在(0，1)上單調遞增，在(1，＋∞)上單調遞減． 故當x＝1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0. 所以當x＞0時，g(x)≤0， 從而當a＜0時，ln＋＋1≤0，即f(x)≤－－2. B組 1．已知

9、函數f＝x＋，若對任意x∈R, f>ax恒成立，則實數a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【解析】由題可知：>x恒成立，設g＝，h＝x，如圖所示，則h(x)要恒在g(x)下方， g′＝－，且過其圖象上點P的切線方程為： y－y0＝－，過原點，故x0＝－1，所以斜率為：－e，所以應滿足a－1>－ea>1－e，又a－1≤0a≤1，所以實數a的取值范圍是. 【答案】B 2．設函數f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其中a<1，若存在唯一的整數x0，使得f(x0)<0，則a的取值范圍是_________________________________________

10、_______________________________． 【解析】f(x)<0ex(2x－1)－時，g′(x)>0， 因此當x＝－時，g(x)取得極小值也是最小值g＝－2e－，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0， 直線y＝ax－a過點(1，0)且斜率為a， 故解得≤a<1. 【答案】 3. 某公司為一家制冷設備廠，設計生產某種型號的長方形薄板，其周長為4 m．這種薄板須沿其對角線折

11、疊后使用．如圖所示，ABCD(AB＞AD)為長方形薄板，沿AC折疊后AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好． (1)設AB＝x m，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍； (2)若要求最節(jié)能，應怎樣設計薄板的長和寬？ (3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？【解析】(1)由題意，AB＝x，BC＝2－x. 因為x＞2－x＞0，故1＜x＜2.設DP＝y(tǒng)，則PC＝x－y. 因為△ADP≌△CB′P，故PA＝PC＝x－y. 由PA2＝AD2＋DP2，得(x－y)2＝(2－x)2＋y2， y＝2，1＜x＜2. (2)

12、記△ADP的面積為S1，則 S1＝(2－x)＝3－≤3－2， 當且僅當x＝∈(1，2)時，S1取得最大值． 故當薄板長為 m，寬為 m時，節(jié)能效果最好． (3)記多邊形ACB′PD的面積為S2，則 S2＝x(2－x)＋(2－x)＝3－，1＜x＜2. 于是S2′＝－＝， 令S2′＝0，得x＝. 關于x的函數S2在上遞增，在上遞減． 所以當x＝時，S2取得最大值． 故當薄板長為 m，寬為 m時，制冷效果最好． 4．已知函數f(x)＝ln x＋ax，a∈R. (1)討論函數f(x)的單調性； (2)若函數f(x)的兩個零點為x1，x2，且≥e2，求證：(x1－x2)f′(x

13、1＋x2)>. 【解析】(1)函數f(x)＝ln x＋ax，a∈R的定義域為，則f′(x)＝＋a. 當a≥0時，f′(x)>0，∴f(x)在上單調遞增； 當a<0時，由f′(x)＝＋a>0，得0－， ∴f(x)在上單調遞減． (2)由題意，得ln x1＋ax1＝0，ln x2＋ax2＝0， ∴l(xiāng)n x2－ln x1＝a(x1－x2)． ∴(x1－x2)f′(x1＋x2)＝(x1－x2) ＝＋a(x1－x2) ＝＋ln ＝＋ln. 令＝t≥e2，令φ(t)＝＋ln t，則φ′(t)＝>0， ∴φ(t)在上單調遞增， ∴φ(t)≥φ(e2)＝1＋>1＋＝， 即(x1－x2)f′(x1＋x2)>. - 7 -