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2019高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 大題提分 大題精做9 圓錐曲線:存在性問題 文

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1、大題精做9 圓錐曲線:存在性問題 [2019·株洲一模]已知,分別為橢圓的左、右焦點,點在橢圓上, 且軸,的周長為6. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)過點的直線與橢圓交于,兩點,設(shè)為坐標(biāo)原點,是否存在常數(shù),使得恒成立?請說明理由. 【答案】(1);(2)當(dāng)時,. 【解析】(1)由題意,,,, ∵的周長為6,∴, ∴,,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. (2)假設(shè)存在常數(shù)滿足條件. ①當(dāng)過點的直線的斜率不存在時,,, ∴, ∴當(dāng)時,; ②當(dāng)過點的直線的斜率存在時,設(shè)直線的方程為,設(shè),, 聯(lián)立,化簡得, ∴,. ∴ , ∴,解得,即時,; 綜上所述,當(dāng)時,.

2、 1.[2019·宜昌調(diào)研]已知橢圓的離心率為,短軸長為. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)過點的直線與橢圓交于、兩點,是橢圓的上焦點. 問:是否存在直線,使得?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由. 2.[2019·江西聯(lián)考]已知點為拋物線的焦點,拋物線上的點滿足(為坐標(biāo)原點),且. (1)求拋物線的方程; (2)若直線與拋物線交于不同的兩點,,是否存在實數(shù)及定點,對任意實數(shù), 都有?若存在,求出的值及點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由. 3.[2019·廣州一

3、模]已知動圓過定點,且與定直線相切. (1)求動圓圓心的軌跡的方程; (2)過點的任一條直線與軌跡交于不同的兩點,,試探究在軸上是否存在定點(異于點),使得?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 1.【答案】(1);(2)存在直線或. 【解析】(1)∵,,且有,解得,, ∴橢圓的方程為. (2)由題可知的斜率一定存在,設(shè)為,設(shè),, 聯(lián)立, ∴, ∵,∴為線段的中點,∴……④, 將④代入②解得……⑤ 將④代入③得……⑥ 將⑤代入⑥解得……⑦ 將⑦式代入①式檢驗成立, ∴,即存在直線或合題意. 2.【答案】(1);(2)存在及點,對

4、任意實數(shù),都有. 【解析】(1)由得點橫坐標(biāo)為, 由拋物線定義及得,,所以, 所以拋物線的方程為. (2)假設(shè)存在實數(shù)及定點,對任意實數(shù),都有, 設(shè),,, 聯(lián)立,得, 則,,, 由,得 , 所以,,,當(dāng)時不滿足題意,所以, 即存在及點,對任意實數(shù),都有. 3.【答案】(1),(2)見解析. 【解析】(1)解法1:依題意動圓圓心到定點的距離與到定直線的距離相等, 由拋物線的定義,可得動圓圓心的軌跡是以為焦點,為準(zhǔn)線的拋物線,其中. 動圓圓心的軌跡的方程為. 解法2:設(shè)動圓圓心,依題意:. 化簡得,即為動圓圓心的軌跡的方程. (2)假設(shè)存在點滿足題設(shè)條件. 由可知,直線與的斜率互為相反數(shù),即① 直線的斜率必存在且不為0,設(shè), 由,得.由,得或. 設(shè),,則,. 由①式得, ,即. 消去,,得,, ,,存在點使得. 6

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