7、
11.如圖,已知F1,F(xiàn)2是雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點,若直線y=x與雙曲線C交于P,Q兩點,且四邊形PF1QF2是矩形,則雙曲線的離心率為( )
A.5-2B.5+2C.+1D.-1
答案 C
解析 由題意,矩形的對角線長相等,
將y=x代入-=1(a>0,b>0),
可得x=±,y=±·,
∴=c2,
∴4a2b2=(b2-3a2)c2,
∴4a2(c2-a2)=(c2-4a2)c2,
∴e4-8e2+4=0,
∵e>1,∴e2=4+2,∴e=+1.
故選C.
12.設正三棱錐P-ABC的每個頂點都在半徑為2的球O的球面上,則三棱錐P-
8、ABC體積的最大值為( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 設正△ABC的邊長為a,中心為O′,則|O′A|=a,在Rt△OO′A中,由勾股定理可得|OO′|=,
故三棱錐的高h=|PO′|=|OO′|+2=+2,
所以VP-ABC=S△ABC·h
=×a2.
設=t(0≤t<2),則=4-t2,
則V(t)=(4-t2)(t+2)=(-t3-2t2+4t+8),
所以V′(t)=(-3t2-4t+4),
令V′(t)=0,則t=或t=-2(舍),
當t∈時,V′(t)>0,V(t)單調遞增;
當t∈時,V′(t)<0,V(t)單調遞減.
故V(t)max=V=.
9、
故選C.
二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)
13.已知向量a,b的夾角為45°,且|a|=|b|=2,則a·(a-b)=________.
答案 0
解析 a·(a-b)=a2-a·b
=4-×2×2×=0.
14.若函數(shù)f(x)=(a+1)x3+ax2-2x為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為________________________________________________________________________.
答案 x-y-2=0
解析 f(x)=(a+1)x3+ax2-2x為奇函數(shù),則a=0,
∴
10、f(x)=x3-2x,
f′(x)=3x2-2,∴f′(1)=3×12-2=1,又f(1)=-1,
曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y+1=x-1,即x-y-2=0.
15.(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知正數(shù)a,b滿足a+b=1,則+的最大值為________.
答案
解析 令x=a+1,y=b+2,則x+y=4,
所以+=2-=2-(x+y)·=2-≤2-
=,
當且僅當=時,等號成立,
此時a=4-5,b=6-4.
故最大值為.
16.設m∈R,若函數(shù)f(x)=|x3-3x-m|在x∈[0,]上的最大值與最小值之差為2,則實數(shù)m的取值范圍是_
11、_______.
答案 (-∞,-2]∪[0,+∞)
解析 設g(x)=x3-3x,x∈[0,],
則g′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[0,1)上單調遞減,在區(qū)間(1,]上單調遞增.
∵g(0)=0,g(1)=-2,g()=0,
∴函數(shù)y=g(x)在區(qū)間[0,]上的值域為[-2,0],最大值與最小值之差為2,
∴函數(shù)y=x3-3x-m,x∈[0,]的值域為[-2-m,-m],最大值與最小值之差也為2.
∵函數(shù)f(x)=|x3-3x-m|在x∈[0,]上的最大值與最小值之差為2,∴-2-m≥0或-m≤0,
解得m≤-2或m≥0.
∴實
12、數(shù)m的取值范圍為(-∞,-2]∪[0,+∞).
三、解答題(本大題共70分)
17.(10分)設Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,S9=81,a2+a3=8.
(1)求{an}的通項公式;
(2)若S3,a14,Sm成等比數(shù)列,求S2m.
解 (1)∵∴
故an=1+(n-1)×2=2n-1(n∈N*).
(2)由(1)知,Sn==n2.
∵S3,a14,Sm成等比數(shù)列,∴S3·Sm=a,
即9m2=272,解得m=9,故S2m=182=324.
18.(12分)如圖,D是Rt△ABC斜邊BC上一點,AC=DC.
(1)若∠DAC=30°,求角B的大小;
(2)若B
13、D=2DC,且AD=2,求DC的長.
解 (1)在△ABC中,根據(jù)正弦定理,
有=.
因為AC=DC,所以sin∠ADC=sin∠DAC=.
又∠ADC=∠B+∠BAD=∠B+60°>60°,
所以∠ADC=120°.
于是∠C=180°-120°-30°=30°,所以∠B=60°.
(2)設DC=x,則BD=2x,BC=3x,AC=x.
于是sinB==,cosB=,AB=x.
在△ABD中,由余弦定理,得
AD2=AB2+BD2-2AB·BDcosB,
即(2)2=6x2+4x2-2×x×2x×=2x2,得x=2.
故DC=2.
19.(12分)如圖,四邊形ABC
14、D為正方形,BE∥DF,且AB=BE=DF=EC,AB⊥平面BCE.
(1)證明:平面AEC⊥平面BDFE;
(2)求二面角A-FC-D的余弦值.
(1)證明 ∵四邊形ABCD為正方形,∴AC⊥BD.
∵AB=BC=BE=EC,∴BE2+BC2=EC2,∴BE⊥BC.
又∵AB⊥平面BCE,∴AB⊥BE.
∵AB∩BC=C,∴BE⊥平面ABCD,∴BE⊥AC.
又BE∩BD=B,∴AC⊥平面BDFE,
∵AC?平面AEC,∴平面AEC⊥平面BDEF.
(2)解 ∵BE⊥平面ABCD,BE∥DF,∴DF⊥平面ABCD.
以D為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系D-x
15、yz,令AB=1,
則A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),F(xiàn)(0,0,1),
則=(0,1,-1),=(-1,1,0),
設平面AFC的法向量為n1=(x1,y1,z1),
則
令x1=1,則n1=(1,1,1).
易知平面FCD的一個法向量n2=(1,0,0),
∴cos〈n1,n2〉==.
二面角A-FC-D為銳角,
∴二面角A-FC-D的余弦值為.
20.(12分)某中學為了解中學生的課外閱讀時間,決定在該中學的1200名男生和800名女生中按分層抽樣的方法抽取20名學生,對他們的課外閱讀時間進行問卷調查.現(xiàn)在按課外閱讀時間的情況將學生分成三類:A類
16、(不參加課外閱讀),B類(參加課外閱讀,但平均每周參加課外閱讀的時間不超過3小時),C類(參加課外閱讀,且平均每周參加課外閱讀的時間超過3小時).調查結果如下表:
A類
B類
C類
男生
x
5
3
女生
y
3
3
(1)求出表中x,y的值;
(2)根據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù),完成下面的列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認為“參加閱讀與否”與性別有關;
男生
女生
總計
不參加課外閱讀
參加課外閱讀
總計
(3)從抽出的女生中再隨機抽取3人進一步了解情況,記X為抽取的這3名女生中A類人數(shù)和C類人數(shù)差的絕對值,求
17、X的均值.
附:K2=.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.01
k0
2.706
3.841
6.635
解 (1)設抽取的20人中,男、女生人數(shù)分別為n1,n2,
則
所以x=12-5-3=4,y=8-3-3=2.
(2)列聯(lián)表如下:
男生
女生
總計
不參加課外閱讀
4
2
6
參加課外閱讀
8
6
14
總計
12
8
20
K2的觀測值k==
≈0.159<2.706,
所以沒有90%的把握認為“參加閱讀與否”與性別有關.
(3)X的可能取值為0,1,2,3,
則P(X=0)==,
P(X=1)=
18、=,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以E(X)=0×+1×+2×+3×=.
21.(12分)在直角坐標系xOy中,直線y=x+4與拋物線C:x2=2py(p>0)交于A,B兩點,且OA⊥OB.
(1)求C的方程;
(2)試問:在x軸的正半軸上是否存在一點D,使得△ABD的外心在C上?若存在,求出D的坐標;若不存在,請說明理由.
解 (1)聯(lián)立
得x2-2px-8p=0,Δ=4p2+32p>0,
設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2p,x1x2=-8p,
從而y1y2=(x1+4)(x2+4)=x1x2+4(x1+x2)+16.
∵OA⊥OB,∴·
19、=x1x2+y1y2
=2x1x2+4(x1+x2)+16=0,
即-16p+8p+16=0,解得p=2,故C的方程為x2=4y.
(2)設線段AB的中點為N(x0,y0),
由(1)知,x0==2,y0=x0+4=6,
則線段AB的中垂線方程為y-6=-(x-2),
即y=-x+8.
聯(lián)立得x2+4x-32=0,解得x=-8或4,
從而△ABD的外心P的坐標為(4,4)或(-8,16).
假設存在點D(m,0)(m>0),設P的坐標為(4,4),
∵|AB|=
=×=4,
∴|PA|==4,
則|DP|==4.
∵m>0,∴m=4+4.
若P的坐標為(-8,16
20、),
則|PA|==4,
|DP|=>4,
則P的坐標不可能為(-8,16).
故在x軸的正半軸上存在一點D(4+4,0),使得△ABD的外心在C上.
22.(12分)(2019·安徽省江淮名校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex+ax2在x=1處的切線方程為y=bx+1.
(1)求a,b的值;
(2)證明:當x>0時ex+2x≥x2+ex+1.
(1)解 f′(x)=ex+2ax,
由題設解得
(2)證明 實際上是證明當x>0時,f(x)=ex-x2的圖象在直線y=(e-2)x+1的上方.
令g(x)=ex-x2-(e-2)x-1,x>0,則g′(x)=ex-2x-e+2,令t
21、(x)=ex-2x-e+2,則t′(x)=ex-2,
所以g′(x)在(0,ln2)上單調遞減,在(ln2,+∞)上單調遞增;g′(x)在x=ln2處取唯一的極小值.
注意到g′(0)=3-e>0,g′(1)=0,而00,
當x∈(x0,1)時,g′(x)<0;
所以當x∈(0,x0)或x∈(1,+∞)時,g(x)單調遞增,當x∈(x0,1)時,g(x)單調遞減;
由于g(0)=g(1)=0,所以g(x)=ex-x2-(e-2)x-1≥0,當且僅當x=1時等號成立.
所以當x>0時,不等式ex+2x≥x2+ex+1成立.
12