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1、,1.直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度問題,一質(zhì)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng),已知路程 s 與時(shí)間 t 的,試確定t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).,這段時(shí)間內(nèi)的平均速度,在每個(gè)時(shí)刻的速度.,解,若運(yùn)動(dòng)是勻速的,平均速度就等于質(zhì)點(diǎn),一、問題的提出,關(guān)系,質(zhì)點(diǎn)走過的路程,此式既是它的定義式,又指明了它的計(jì)算,它越近似的,定義為,并稱之為t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).,瞬時(shí)速度是路程對(duì)時(shí)間的變化率.,若運(yùn)動(dòng)是非勻速的,平均速度,是這段,時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)快慢的平均值,越小,表明 t0 時(shí)運(yùn)動(dòng)的快慢.,因此, 人們把 t0時(shí)的速度,注,方法,割線的極限位置,對(duì)于一般曲線如何定義其切線呢?,2.曲線的切線斜率問題,若已知平面曲線,如何作過,的切線

2、呢.,初等數(shù)學(xué)中并沒有給出曲線切線的定義.,過該點(diǎn)的切線.,我們知道與圓周有唯一交點(diǎn)的直線,即為圓周,但此定義不適應(yīng)其它曲線.,如,與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線不一定是切線.,切線位置.,?,曲線上點(diǎn),法國,數(shù)學(xué)家費(fèi)馬在1629年提出了如下的定義和求法,P.de Fermat 1601-1665,從而圓滿地解決了這個(gè)問題.,如圖,如果割線MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點(diǎn)M處的切線.,極限位置即,二、導(dǎo)數(shù)的定義,定義,其它形式,即,處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.,特別當(dāng)(1)式的極限為,有時(shí)也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正(負(fù))無,當(dāng)極限(1)式不存在時(shí),就說函數(shù) f (x)在x0,正(負(fù))無

3、窮時(shí),窮大,但這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在.,關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明：,注意:,播放,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,例,用導(dǎo)數(shù)表示下列極限,解,練習(xí),解,2.右導(dǎo)數(shù):,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,三、由定義求導(dǎo)數(shù),步驟:,例,解,例,解,更一般地,例如,例,解,例,解,例,解,例,解,四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義,1.幾何意義,切線方程為,法線方程為,例,解,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 得切線斜率為,所求切線方程為,法線方程為,2.物理意義,非均勻變化量的瞬時(shí)變化率.,變速直線運(yùn)動(dòng):路程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時(shí)速度.,交流電路:電量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為電流強(qiáng)度.,非均勻的物體:質(zhì)量對(duì)長(zhǎng)度(面積,體積)的導(dǎo)數(shù)為

4、物體的線(面,體)密度.,五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系,定理 凡可導(dǎo)函數(shù)都是連續(xù)函數(shù).,證,連續(xù)函數(shù)不存在導(dǎo)數(shù)舉例,例如,注意: 該定理的逆定理不成立.,例如,例如,例,解,練習(xí),為了使 f(x) 在x0處可導(dǎo),解,首先函數(shù)必須在x0處連續(xù).,由于,故應(yīng)有,又因,應(yīng)如何選取a,b ?,從而,當(dāng),f(x) 在x0處可導(dǎo).,六、小結(jié),1. 導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì): 增量比的極限;,3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率;,4. 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo);,5. 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義求導(dǎo)數(shù).,6. 判斷可導(dǎo)性,不連續(xù),一定不可導(dǎo).,連續(xù),直接用定義;,看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等.,思考題1,思考題1解答,思

5、考題2,(是非題),非,可導(dǎo);,但,不可導(dǎo).,非,但,不可導(dǎo).,作業(yè),習(xí)題2-1(85頁),4. 6. 8.(3)(4) 9. (2) 11.,練習(xí)題答案,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.切線問題,割線的極限位置切線位置,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,2.導(dǎo)函數(shù)(瞬時(shí)變化率)是函數(shù)平均變化率的逼近函數(shù).,