《高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件 新人教版必修4.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 精講優(yōu)練課型 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件 新人教版必修4.ppt（58頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2 3 2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2 3 3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 知識提煉 1 平面向量正交分解的定義把一個(gè)平面向量分解為兩個(gè) 的向量 2 平面向量的坐標(biāo)表示 1 基底 在平面直角坐標(biāo)系中 分別取與x軸 y軸方向相同的兩個(gè) i j作為 互相垂直 單位向量 基底 2 坐標(biāo) 對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a 有且僅有一對實(shí)數(shù)x y 使得a 則有序?qū)崝?shù)對 x y 叫做向量a的坐標(biāo) 3 坐標(biāo)表示 a x y 4 特殊向量的坐標(biāo) i j 0 0 0 xi yj 1 0 0 1 3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)向量a x1 y1 b x2 y2 R 則有下表 和 差 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1

2、y1 終點(diǎn) 起點(diǎn) x2 x1 y2 y1 即時(shí)小測 1 思考下列問題 1 與坐標(biāo)軸平行的向量的坐標(biāo)有什么特點(diǎn) 提示 與x軸平行的向量的縱坐標(biāo)為0 即a x 0 與y軸平行的向量的橫坐標(biāo)為0 即b 0 y 2 若把向量平移到 則和的坐標(biāo)相同嗎 的坐標(biāo)是C點(diǎn)的坐標(biāo)嗎 提示 相同 的坐標(biāo)不是C點(diǎn)的坐標(biāo) 只有點(diǎn)B與原點(diǎn)O重合時(shí)的坐標(biāo)才是C點(diǎn)坐標(biāo) 2 如圖所示 在矩形ABCD中 AC與BD交于點(diǎn)O 下列是正交分解的是 解析 選B 由于 則是正交分解 3 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 已知i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 若a i 2j 則向量用坐標(biāo)表示a 解析 由于i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 所以a 1 2 答

3、案 1 2 4 若a 2 3 b 3 1 則a b 解析 a b 2 3 3 1 1 4 答案 1 4 5 若點(diǎn)M 3 5 點(diǎn)N 2 1 用坐標(biāo)表示向量 解析 2 1 3 5 1 4 答案 1 4 知識探究 知識點(diǎn)1平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示觀察圖形 回答下列問題 問題1 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)有什么區(qū)別 問題2 相等向量的坐標(biāo)相同嗎 相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)一定相同嗎 總結(jié)提升 1 解讀平面向量的坐標(biāo)表示 1 向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對位置有關(guān) 而與它們的具體位置無關(guān) 2 向量確定后 向量的坐標(biāo)就被確定了 3 引入向量的坐標(biāo)表示以后 向量就有兩種表示方法 一種是幾何法 即用向量的長度和方向表

4、示 另一種是坐標(biāo)法 即用一對有序?qū)崝?shù)表示 有了向量的坐標(biāo)表示 就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決 2 辨析點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo) 1 平面向量的坐標(biāo)只有當(dāng)起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí) 向量的坐標(biāo)才與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同 2 書寫不同 向量a x y 中間用等號連接 而點(diǎn)的坐標(biāo)A x y 中間沒有等號 3 在平面直角坐標(biāo)系中 符號 x y 可表示一個(gè)點(diǎn) 也可表示一個(gè)向量 敘述中應(yīng)指明點(diǎn) x y 或向量 x y 4 給定一個(gè)向量 它的坐標(biāo)是唯一的 對應(yīng)一對實(shí)數(shù) 由于向量可以平移 故以這對實(shí)數(shù)為坐標(biāo)的向量有無窮多個(gè) 注意 相等向量的坐標(biāo)是相同的 但是兩個(gè)相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同 知識點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算觀

5、察如圖所示內(nèi)容 回答下列問題 問題1 兩個(gè)向量的和與差 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)如何運(yùn)算 問題2 求向量的坐標(biāo)需要哪些向量 問題3 向量可以平移 平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化嗎 總結(jié)提升 1 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)由于向量a x1 y1 b x2 y2 等價(jià)于a x1i y1j b x2i y2j 則a b x1i y1j x2i y2j x1 x2 i y1 y2 j 即a b x1 x2 y1 y2 同理可得a b x1 x2 y1 y2 這就是說 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 差 2 實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)由a x y 可得a xi yj 則 a xi yj xi yj 從

6、而 a x y 這就是說實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo) 題型探究 類型一平面向量的坐標(biāo)表示 典例 1 已知基向量i 1 0 j 0 1 m 4i j 則m的坐標(biāo)是 A 4 1 B 4 1 C 4 1 D 4 1 2 如圖 取與x軸 y軸同向的兩個(gè)單位向量i j作為基底 分別用i j表示并求出它們的坐標(biāo) 解題探究 1 典例1中向量i與向量j有什么關(guān)系 提示 向量i與向量j垂直 2 典例2中 點(diǎn)A B的坐標(biāo)分別是多少 如何用表示 提示 A 6 2 B 2 4 解析 1 選C 因?yàn)橄蛄縤與向量j垂直 m 4i j 所以m 4 1 2 由圖形可知 6i 2j 2i 4j 4i

7、2j 它們的坐標(biāo)表示為 6 2 2 4 4 2 方法技巧 求點(diǎn)和向量坐標(biāo)的常用方法 1 求一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 可以轉(zhuǎn)化為求該點(diǎn)相對于坐標(biāo)原點(diǎn)的位置的坐標(biāo) 2 求一個(gè)向量時(shí) 可以首先求出這個(gè)向量的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo) 再運(yùn)用終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)得到該向量的坐標(biāo) 變式訓(xùn)練 已知邊長為1的正方形ABCD中 AB與x軸正半軸成30 角 則 解析 由題知B D分別是30 120 角的終邊與單位圓的交點(diǎn) 設(shè)B x1 y1 D x2 y2 由三角函數(shù)的定義 得x1 cos30 y1 sin30 所以x2 cos120 y2 sin120 所以所以答案 補(bǔ)償訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xOy中 向量a b c的方向如圖所示 且

8、 a 2 b 3 c 4 分別計(jì)算出它們的坐標(biāo) 解題指南 題目中給出了向量a b c的模以及與坐標(biāo)軸的夾角 要求向量的坐標(biāo) 先將向量正交分解 把它們分解為橫 縱坐標(biāo)的形式 然后寫出其相應(yīng)的坐標(biāo) 解析 設(shè)a a1 a2 b b1 b2 c c1 c2 則a1 a cos45 2 a2 a sin45 2 b1 b cos120 3 b2 b sin120 3 c1 c cos 30 4 c2 c sin 30 4 因此a b c 2 2 類型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 典例 1 已知平面上三個(gè)點(diǎn)A 4 6 B 7 5 C 1 8 則 2 已知a 1 2 b 3 4 求向量a b a b 3a 4b的坐

9、標(biāo) 解題探究 1 典例1中 的坐標(biāo)分別為多少 提示 3 1 3 2 2 典例2中如何求向量和 差 數(shù)乘的坐標(biāo) 提示 直接利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解 解析 1 因?yàn)锳 4 6 B 7 5 C 1 8 所以 7 5 4 6 3 1 1 8 4 6 3 2 3 1 3 2 6 3 2 3 1 3 2 6 2 答案 6 3 2 a b 1 2 3 4 2 6 a b 1 2 3 4 4 2 3a 4b 3 1 2 4 3 4 15 10 延伸探究 若典例1中條件不變 則的坐標(biāo)是多少 解析 因?yàn)锳 4 6 B 7 5 C 1 8 所以 7 5 1 8 6 3 4 6 7 5 3 1 所以 方法技巧 平面

10、向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 1 若已知向量的坐標(biāo) 則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和 差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行 2 若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo) 則可先求出向量的坐標(biāo) 然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算 3 向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行 變式訓(xùn)練 1 若向量 2 3 4 7 則 A 2 4 B 3 4 C 6 10 D 6 10 解析 選A 因?yàn)?2 3 4 7 2 已知a 1 2 b 2 1 求 1 2a 3b 2 a 3b 3 解析 1 2a 3b 2 1 2 3 2 1 2 4 6 3 4 7 2 a 3b 1 2 3 2 1 1 2 6 3 7 1 補(bǔ)償訓(xùn)練 如圖所示 已知 ABC A 7 8 B 3 5

11、 C 4 3 M N D分別是AB AC BC的中點(diǎn) 且MN與AD交于點(diǎn)F 求的坐標(biāo) 解析 因?yàn)锳 7 8 B 3 5 C 4 3 所以 3 7 5 8 4 3 4 7 3 8 3 5 又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn) 所以因?yàn)镸 N分別為AB AC的中點(diǎn) 所以F為AD的中點(diǎn) 所以 類型三由相等向量求坐標(biāo) 典例 1 2015 江蘇高考 已知向量a 2 1 b 1 2 若ma nb 9 8 m n R 則m n的值為 2 已知A 2 4 B 4 6 若則的坐標(biāo)為 3 已知點(diǎn)O 0 0 A 1 2 B 4 5 及 1 t為何值時(shí) 點(diǎn)P在x軸上 點(diǎn)P在y軸上 2 四邊形OABP能為平行四邊形嗎 若能 求出t值

12、若不能 說明理由 解題探究 1 典例1中如何利用ma nb 9 8 這個(gè)條件 提示 先求出ma nb的坐標(biāo) 然后根據(jù)相等向量的坐標(biāo)對應(yīng)相等求解m n 2 典例2中能確定哪些點(diǎn)的坐標(biāo) 提示 由可確定點(diǎn)C的坐標(biāo) 由可確定點(diǎn)D的坐標(biāo) 3 典例3中點(diǎn)P在x軸上 在y軸上的坐標(biāo)有何特點(diǎn) 提示 點(diǎn)P在x軸上 縱坐標(biāo)為0 在y軸上橫坐標(biāo)為0 解析 1 因?yàn)閍 2 1 b 1 2 所以ma nb m 2 1 n 1 2 2m n m 2n 又因?yàn)閙a nb 9 8 所以解得所以m n 3 答案 3 2 設(shè)C x y 則由得 x 2 y 4 6 2 解得x 7 y 7 即點(diǎn)C的坐標(biāo)為C 7 7 又設(shè)D m n

13、則由得 m 4 n 6 6 2 解得m 4 n 即D點(diǎn)的坐標(biāo)為 4 故答案 3 1 1 2 t 3 3 1 3t 2 3t 若點(diǎn)P在x軸上 則2 3t 0 所以t 若點(diǎn)P在y軸上 則1 3t 0 所以t 2 1 2 3 3t 3 3t 若四邊形OABP為平行四邊形 則所以該方程組無解 故四邊形OABP不能成為平行四邊形 延伸探究 1 改變問法 若本例3條件不變 問t為何值時(shí) B為線段AP的中點(diǎn) 解析 由得所以當(dāng)t 2時(shí) B為線段AP的中點(diǎn) 2 改變問法 若本例3條件不變 問t為何值時(shí) 點(diǎn)P在第二象限 解析 若點(diǎn)P在第二象限 則所以 方法技巧 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 1 條件 相等向量

14、的對應(yīng)坐標(biāo)相等 2 應(yīng)用 利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件 可以建立相等關(guān)系 由此可求某些參數(shù)的值 變式訓(xùn)練 2015 泰安高一檢測 已知向量 3 4 6 3 2 6 1 若四邊形ABCD為平行四邊形 求D點(diǎn)坐標(biāo) 2 若求實(shí)數(shù)的值 解析 1 設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為 m n 則 m n 因?yàn)?3 4 6 3 2 6 所以 6 3 3 4 3 1 2 6 m n 2 m 6 n 又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形 所以所以所以所以D點(diǎn)坐標(biāo)為 1 7 2 因?yàn)樗?3 4 x 6 3 y 2 6 6x 2y 3x 6y 所以解得所以 補(bǔ)償訓(xùn)練 已知A 1 2 B 2 1 C 3 2 和D 2 3 以為一組基底來表示

15、 解析 因?yàn)?1 3 2 4 3 5 4 2 5 1 所以 3 5 4 2 5 1 12 8 根據(jù)平面向量基本定理 一定存在實(shí)數(shù)m n 使得 所以 12 8 m 1 3 n 2 4 也就是 12 8 m 2n 3m 4n 即解得m 32 n 22 所以 易錯(cuò)案例向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo) 典例 2015 湛江高一檢測 已知點(diǎn)A 2 3 B 5 4 C 7 10 若第三象限的點(diǎn)P滿足則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 失誤案例 錯(cuò)解分析 分析解題過程 你知道錯(cuò)在哪里嗎 提示 錯(cuò)誤的根本原因是混淆了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)P的坐標(biāo) 誤認(rèn)為 3 5 1 7 為P的坐標(biāo) 自我矯正 選A 方法一 設(shè)P x y 則 x 2 y 3 又于是可得 x 2 y 3 3 5 1 7 所以即因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限 所以解得 1 故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 1 方法二 所以P 5 5 4 7 因?yàn)辄c(diǎn)P在第三象限內(nèi) 所以所以 1 防范措施 明確向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)注點(diǎn) 1 明確向量坐標(biāo)與點(diǎn)坐標(biāo)的概念 當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí) 向量坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同 2 明確向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加 減 數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行 正確進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算是解題的關(guān)鍵